单元7 定积分及其应用（7-1）

单元7定积分及其应用(7-1)教学内容索引【引例探析】【引例7-1】计算曲边梯形面积【引例7-2】求变速直线运动的路程【引例7-3】计算变力所作的功

【概念认知】1．定积分的概念2．定积分的几何意义3．定积分存在定理【课堂引入】知识目标掌握定积分的定义、几何意义和定积分存在定理技能目标会解释定积分的定义和几何意义态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用定积分知识解决实际问题教学重点定积分的定义、几何意义和定积分存在定理教学难点定积分存在定理【引例探析】【引例7-1】计算曲边梯形的面积【问题描述】试采取“化整为零”、“积零为整”的方法来计算曲边梯形的面积A．【问题求解】图7-1曲边梯形

下面我们将采取“化整为零”、“积零为整”的方法来计算曲边梯形的面积A．

计算曲边梯形面积可分为四个步骤：（1）分割区间[a,b]

将曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在区间[a,b]中任意取n-1个分点，它们依次为a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b，这些点把区间[a,b]划分成n个小区间[x0,x1]，[x1,x2],…，[xi-1,xi]，…，[xn-1,xn]，

每一个小区间的长度依次为

Δx1=x1–x0，Δx2=x2–x1，…,Δxi=xi–xi-1，…，Δxn=xn–xn-1

，

过各分点xi（i=1,2,…,n-1）作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，如图7-2所示，其中第i个小曲边梯形的面积记为

ΔAi(i=1，2，…，n)，

则有A=ΔS1+ΔS2+…+ΔSi+…+ΔSn

．图7-2将曲边梯形分成n个小曲边梯形（2）近似代替

使用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积．

当第i个小区间[xi-1,xi]的长度Δxi很小时，曲边梯形的高f(x)在该区间内的变化很小，这时用该小区间上任一点ξi(xi-1

≤ξi

≤xi)处的函数值f(ξi)近似作为第i个小曲边梯形的高，

即用以第i个小区间[xi-1,xi]（长为Δxi）为底，f(ξi)为高的小矩形的面积来近似代替同一底[xi-1,xi]上的第i个小曲边梯形的面积ΔAi，即

ΔAi

≈f(ξi)Δxi

（i=1，2，…，n）（3）求和

将n个小矩形面积相加，便得所求曲边梯形的面积S的近似值（4）计算极限这样便可得到所求曲边梯形的面积．可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限．【引例探析】【引例7-2】求变速直线运动的路程【问题描述】【问题求解】（1）分割区间

在时间区间[a,b]中任意插入若个分点，把时间区间[a,b]分成n个小时间段（2）近似代替

在第i个小时间段[ti-1,ti]上，任取一个时刻ξi，用这个时刻ξi的速度v(ξi)近似代替在第i个小时间段[ti-1,ti]上各时刻的速度，便可得到第i个小时间段[ti-1,ti]上的路程Δsi的近似值为Δsi≈v(ξi)Δti(i=1，2，…，n)．（3）求和

将n段小时间段上的路程si的近似值v(ξi)Δti相加，便得物体在时间区间[a,b]上所经过的路程s的近似值．所求路程S的近似值为（4）求极限可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限．【引例探析】【引例7-3】计算变力所作的功【问题描述】【问题求解】（1）分割区间（2）近似代替（3）求和（4）求极限可见，变力所做的功也是一个和式的极限．【概念认知】1．定积分的概念

其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a、b分别叫做积分下限与积分上限，[a,b]叫做积分区间．

利用定积分的定义，前面所讨论的三个实际问题可以分别表述如下：关于定积分的定义，有以下几点说明：④初等函数在其定义区间内都可积的．2．定积分的几何