“考研”数学一真题中矩阵的特征值、特征向量

绪论1.1课题研究的目的和意义矩阵的特征值、特征向量是线性代数课程中的重要组成部分，求解特征值、特征向量问题是线性代数的重要内容之一。由于矩阵的特征值、特征向量在高等代数、线性代数的教学中具有典型性，而考研数学作为硕士研究生入学考试的重要组成部分，其指导思想是既有利于国家对高层次人才的选拔，又有利于各个高校各类数学课程教学质量的提高。通过研究生考试，正确引导高等学校的数学教学向培养应用数学能力的方向进行发展，使得学生能够学以致用，从而对教学质量的提高起到积极的促进作用。本文围绕考研数学大纲矩阵的特征值、特征向量相关问题划定的考试内容范围对“考研”数学一真题中的相关题目做一些分析讨论，希望给考研学生以及考研辅导老师有一定的积极作用。1.2国内外研究现状对于矩阵的特征值、特征向量相关问题的研究，特别是“考研”数学一中真题的研究是必要的。2007年，黄金伟在文献[1]中给出了矩阵的特征值、特征向量的两种求解方法：行列互逆变换方法、列初等变换方法。2008年，汤正华在文献[2]中对矩阵的特征值、特征向量的定义、性质作了讨论；王英瑛在文献[3]中利用矩阵的初等变换理论，详细介绍了矩阵特征值和特征向量的求解方法；夏慧明、周永权在文献[4]中提出一种基于进化策略求解矩阵特征值及特征向量的新方法。2009年，赵院娥、李顺琴在文献[5]中进一步研究了几种矩阵的特征值问题。同样，向以华在文献[6]中归纳特征值、特征向量相关问题时，也得出了通过对矩阵进行行列互逆变换，可同时求出特征值、特征向量的结论，并且讨论了反问题。张红玉在文献[7]中通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值，再由特征值与正定矩阵之间的关系，得出正定矩阵的结论。近年来，对矩阵特征值与特征向量的研究已经非常深入，本文将对“考研”数学一真题中的矩阵特征值、特征向量的相关题目进行分类解析，为老师和考研学生提供参考。矩阵的特征值、特征向量问题与解析最新颁布的全国硕士研究生入学考试数学考试大纲对本节的要求是：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量。抽象矩阵求特征值常以填空题形式出现，有关特征向量基本概念的考查以选择题为主。2.1预备知识定义2.1[8]A是一个n阶方阵，如果存在一个数λ和一个n维非零列向量α，使得Aα=λα成立，则称λ为矩阵A的特征值，非零列向量α称为矩阵A的属于特征值λ的特征向量。定义2.2[9]A为n阶方阵，λ为未知量，则矩阵λE称为矩阵A的特征矩阵；其行列式fλ=λE−A为λ的n次多项式，称为矩阵A的特征多项式；性质2.1[9]特征值和特征向量的基本性质（1）n阶矩阵A与它的转置矩阵AT（2）属于A的不同特征值的特征向量必定线性无关（但属于相同特征值的特征向量不一定相关）；（3）属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于该特征值的特征向量；（4）设λ1,λ2,⋯,λ1+λ1+⋯+对角线的元素的和；λ（5）λ为矩阵A的特征值，α是A的属于λ的特征向量，则kλ是kA的特征值（kλm是Am的特征值（当A可逆时，λ−1是A−1的特征值，Pλ是PA的特征值，其中P注：α是A的属于λ的特征向量，则α仍是矩阵kA、Am定理2.1[9]若矩阵A可逆⇔矩阵A的特征值全不为零。求数字方阵的特征值与特征向量步骤：（1）计算特征多项式f（2）特征方程λE−A=0，它的全部根λ1（3）对每一个特征值λi1≤i≤n,求出齐次方程组λiE−Ax=0的一个基础解系ai12.2真题解析例2.1（1998年考研数学一第4题）若A为n阶矩阵，A≠0,A∗为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值λ，则A分析由于A≠0,故λ≠0.设α是A对应于λ从而AA−1α而A另一方面Eα所以A即A∗2故答案为Aλ评注抽象矩阵求特征值的结论：（1）若fx为关于x的多项式，若λ是矩阵A的特征值，fA是矩阵A的矩阵多项式，则f（2）若矩阵A可逆，A的特征值为λ，则A−1的特征值为1λ,例2.2（2003年考研数学四第13题）设矩阵A=21112111a可逆，向量α=1b1是矩阵A∗的一个特征向量，解矩阵A∗的属于特征值λ的特征向量为α.由于矩阵A可逆，故A∗可逆，于是λ≠0,A≠0A∗两边同时左乘A，得AAα=即2由此，得方程组3+b=解得b=1或b=−2由于A由3+b=Aλ=所以，当b=1时，λ=1;当b评注设n阶矩阵A的特征值为λ，对应的特征向量为α.当题目中涉及特征值和特征向量时，首先要写出Aα=λα,若只是求特征值时，λE−A=0或例2.3（2003年考研数学一第9题）设矩阵A求B+2E的特征值与特征向量，其中A∗为A的伴随矩阵，解（方法一）经计算可得APB从而Bλ故B+2当λ1η所以对应于特征值9的全部特征向量为k其中k1,当λ3η所以对应于特征值3的全部特征向量为k其中k3是不为零的任意常数（方法二）设A的特征值为λ，对应的特征向量为η，即Aη=λη.由于A=7≠0,所以又因AA∗A于是有BB因此，Aλ+2为B由于λE故A的特征值为λ当λ1η当λ3η由P得P因此，B+2对应于特征值9得全部特征向量为k其中k1,对应于特征值3的全部特征向量为k其中k3是不为零的任意常数评注本题（方法一）使用具体矩阵求特征值、特征向量的计算方法；而（方法二）则使用抽象矩阵有关特征值、特征向量的结论求解，复习过程中还应注意近几年对伴随矩阵的要求提高了。在复习时应做到一题多解，并选择出最优的方法，才能考试时节约时间从而提高做题的速度。例2.4（2005考研数学一第4题）设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1（A）λ1≠0（C）λ1=0分析（方法一）令k1则kk由于α1k当λ2≠0时，显然有k1=0,反过来，若α1,A否则，α1故应选（B）.（方法二）由于α可见α1,故应选（B）.评注本题综合考查了特征值、特征向量的定义及向量组线性相关、线性无关的定义，所以在平时的学习中应当注重知识点定义的复习。例2.5（2008年考研数学一第13题）设A为2阶矩阵，α1,α2为线性无关的2维列向量，Aα分析A记P=α1P所以A和B有相同的特征值λE即λ1=0,故应填1.评注本题的思路是寻找具体矩阵B，使B和抽象矩阵A相似，进而利用结论“相似矩阵有相同的特征值”求解。实际上，抽象矩阵求特征值还是可利用定义求解。例如本题：Aα1=0=0⋅α1A故A有特征值1.例2.6（2011年考研数学一第21题）设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A1（1）求A的所有特征值与特征向量；（2）求矩阵A.解（1）记α由题设条件知A所以，A有特征值λ1=又rA=2，故A=0,从而另一个特征值λ3=0,设λ3α解得α从而A的特征值分别为−1,1,0,其对应的特征向量分别为（2）由于不同特征值的特征向量正交，则只需将α1r令Q=则Q所以A=Q==评注（1）要将题目的式子转化为Aα1,α（2）将（1）中所求出的特征向量单位化后组成正交矩阵，套用公式进行计算，在计算过程中要细心，避免出现计算错误而丢分的情况。例2.7（2017年考研数学一第5题）设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）.E−E+E+2E−2分析矩阵不可逆的充要条件就是矩阵的行列式为零或0是其特征值.所判断的矩阵都是矩阵ααT的多项式，只要推导出ααT的特征值，就可以得到所有矩阵的特征值.注意到ααT的特征值是评注这里要特别注意ααT的特征值为0,⋯,0,1,例2.8（2018年考研数学一第13题）设2阶矩阵有两个不同特征值，α1,α2是A的两线性无关的特征向量，且满足A2分析此题表面是计算行列式，实际上是求矩阵的特征值。设A的两个不同的特征值为λ1,A因为A所以λ故λ12评注利用特征值，特征向量的定义以及对应不同特征值的特征向量线性无关的理论。矩阵的相似问题与解析考研大纲中，要求考生理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握矩阵化为相似对角矩阵的方法。根据上述描述，可以看出“相似”和“相似对角化”是两个相关联的概念，所以遇见“相似”的考题，可以发散性地考虑是否可以与“相似对角化”有关。因此，该知识点是十分重要的。3.1预备知识定义3.1[8]设A,B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P则称矩阵B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A∼B.定义3.2对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使其为对角阵，则称方阵A可对角化。性质3.1[8]设A,B和C是任意同阶方阵，则有（1）反身性：A∼A;（2）对称性：若A∼B,则B∼A;（3）传递性：若A∼B,B∼C,则A∼C;（4）若A∼B,则r（5）若A∼B,且A可逆，则B也可逆，且B∼A.矩阵可对角化的条件：（1）n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量；（2）n阶方阵A有n个不同的特征值，则A一定可对角化；（3）实对称矩阵必可对角化，且存在正交矩阵P（PT=P定理3.1[8]n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。推论3.1[8]若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似。3.2真题解析3.2.1抽象矩阵的相似问题判断两个抽象矩阵是否相似，只有用定义进行验证。例3.1（2016年考研数学一第5题）设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）.（A）AT与B（B）A−1与（C）A+AT（D）A+A−1分析因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P使 P−将式子两端转置便有PT所以（A）正确。将P−P−所以（B）正确。由P−1AP=BP−所以（D）正确。故选择（C）.评注由已知写出定义中的公式，然后根据选项进行验证，很容易得出答案。3.2.2可对角化问题矩阵是否相似对角化，是常常遇到的考题，只需推导出满足可对角化的条件。例3.2（2012年考研数学一第6题）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P若P=α1,（A）10002000分析Q==αQ==故应选（B）.例3.3（2014年考研数学一第14题）证明n阶矩阵1111⋯解因为矩阵相似的必要条件是特征值相同，所以先计算两个矩阵的特征值；又一个是对称矩阵，所以可以对角化，故只需证明另一个矩阵可对角化即可。为了方便起见，设A,B分别表示依次两个矩阵，因为AB−λE所以两个矩阵有相同的特征值；又Bx=0有n−1个线性无关的解，所以B可对角化，而A是对称矩阵，也可对角化，故A与B评注在历年的考研真题中证明题出现的次数较少，遇到证明题考生可能会胆怯，其实证明题相对于计算题更不容易丢分，本题可以根据矩阵相似的条件入手。例3.4（2015年考研数学一第21题）设矩阵A相似于矩阵B,其中A=0求a,b求可逆矩阵P,使P−1解（1）可利用矩阵相似的必要条件求解因为A与B相似，所以trA=tr（2）是常规题。（略）评注矩阵相似的必要条件很多，用的巧可以化简问题，做题时可尝试，适当调整。例3.5（2017）已知矩阵A=20A与C相似,B与C相似；A与C相似,B与C不相似；A与C不相似,B与C相似；A与C不相似,B与C不相似。分析显然三个矩阵的特征值相同，只需判断A与B哪个可对角化即可。因为2是重特征值，rA−2E=1,rB−2E=2,所以评注由此题可见特征值相同的矩阵不一定相似，特征值相同只是矩阵相似的必要条件，这个一定要注意！例3.6（2020年考研数学一第21题）设A为2阶矩阵，P=α,Aα证明P为可逆矩阵；若A2α+A解（1）因为α是非0向量，且不是A的特征向量，所以Aα≠λα,从而P=α,Aα的2列向量不成比例，所以α、Aα（2）根据A2α所以，AP=P06P−即B=061−1,又λE−B进而可知B的两个特征值互不相同，从而B可对角化。又A与B相似，所以A可对角化。评注本题考查的知识比较全面，所以在做题时应该注意知识点之间的关系。3.2.3不可对角化问题对于两个均不可对角化的矩阵是否相似的问题，是一个难点，甚至超过了数学一的大纲。但可以利用必要条件否定一些结果，从而给出正确选项，只可能是选择题。这里推导一个必要条件，以便使用。定理3.2如果A,B相似，若λ0是证明若A~B，则A−例3.7（2018年考研数学一第5题）下列矩阵中与矩阵1100（A）11−1（C）11−1分析这是关于相似非对角矩阵的问题。不妨设选择的4个矩阵依次为A,B,C,D,题中的矩阵为J;矩阵的特征值都是1，且rJ−E=2,rr故选择（A）.评注2018年的考题为什么反应比较难，是因为它已超出了对角化的范围。例3.8（2019年考研数学一第21题）已知矩阵A=−2−求x求可逆矩阵P使得P解（1）因为矩阵A与B相似，所以trA=x解得x矩阵B的特征多项式为λE所以B的特征值为2,−1,−2.由于A与B相似，所以A的特征值也为2,−1,−2.A的属于特征值2的特征向量为ξ1A的属于特征值-1的特征向量为ξ2A的属于特征值-2的特征向量为ξ3记P1P1B的属于特征值2的特征向量为η1B的属于特征值-1的特征向量为η2B的属于特征值-2的特征向量为η3记P2P2由P1−P1P=P则P−1评注本题（1）根据相似的性质很容易就能解出答案；而（2）可能会比较麻烦一点，需要对A,B分别对角化，才能求解问题。这种题目实对称矩阵的相似对角化问题与解析最新颁布的全国硕士研究生入学考试大纲对本节的要求是掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；会计算实对称矩阵的相似对角化的相关题目。4.1预备知识定义4.1[7]设A,B为两个方阵，若存在可逆矩阵Q，使B=QTAQ成立，称A定理4.1如果实对称矩阵A与B相似，则A与B合同。证明因为实对称矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征值，从而xTAx与xTBx有相同的正惯性指数，因此但是，若实对称矩阵矩阵A与B合同，则推不出A与B相似。合同的相关结论：设A,B均是n阶实对称矩阵，则有（1）A与B合同的充分条件是A与B有相同的特征值；（2）A与B合同的必要条件是rA（3）A与B合同的充要条件是A与B有相同的正负惯性指数。矩阵的相似与合同，特别是实对称矩阵的相似与合同是考研中重点和难点。另外，实对称矩阵相似对角化的题目多以综合计算或讨论题为主，通过填空题或讨论题出现的可能性较小。4.2真题解析例4.1（2001年考研数学一第4题）设A=111111合同且相似；合同但不相似；不合同但相似；不合同且不相似。分析矩阵A为实对称矩阵，可求得其特征值为4,0,0,0.B为对角阵，易得特征值也为4,0,0,0.即A,B有相同的特征值。所以应选（A）.评注实对称矩阵A,B有相同的特征值，则A,B既相似又合同（实对称矩阵相似必合同）。例4.2(2007考研数学一第8题)设矩阵A=2−1−1−(A)合同，且相似；(B)合同，但不相似；(C)不合同，但相似；(D)既不合同，也不相似。分析根据相似的必要条件trA=trB,易得A和由λE−A知矩阵A的特征值为3,3,0.故二次型xTAx的正惯性指数p=2,负惯性指数q=0.而二次型xTBx的正惯性指数也为p=2,负惯性指数q=0,所以A故应选（B）.评注由此题可见，选择题虽然可以使用排除法，但是也建立在一定知识的基础上，两对称矩阵相似的必要条件是排除选项的关键，再根据两矩阵合同的充要条件即可从剩余选项中选出答案。例4.3（2010年考研数学一第6题）设A为4阶实对称矩阵，且A2+A=0.若A的秩为3，则（A）1001（C）10000分析设λ是A的特征值，由于A2+A=0, 所以λ2故A的特征值为−1或0.又A为实对称矩阵，所以A可相似于对角阵Λ.且r于是Λ=-1故选择（D）.例4.4（2013年考研数学一第6题）矩阵1a1abaa=0,b=2;(B)a=2,b=0;(D)分析因为1a1aba1a1为对称矩阵，所以它一定可以对角化，故其与某对角阵相似的充分必要条件就是11−21−ba故得a=0,b为任意数。选（B）.评注对于实对称矩阵而言，它一定可以对角化，且与某对角阵相似的充要条件就是它们的特征值相同，这一点是与一般矩阵不同的地方，这一点一定要引起注意！结论本文主要探讨了“考研”数学一真题中的矩阵的特征值、特征向量的相关问题。首先给出了有关的定理与性质等预备知识，并且介绍了求解特征值与特征向量的方法。然后分析了近十多年来年真题中与特征值、特征向量相关的题目，并且进行了分类。由此可以发现，该类题目可根据不同的类型选择不同的方法进行求解，掌握其中的规律并且多付诸于实践，当遇到该类题目时就会手到擒来。希望本文的研究对于后面考研的同学，特别是考数学一的学生以及辅导考研老师能有一定的帮助。参考文献[1]黄金伟.矩阵的特征值与特征向量的简易求法[J].福建信息技术教育,2007(04):34-45 [2]汤正华. 关于矩阵的特征值与特征向量的探讨[J].山东行政学院山东省经济管理干部学院学报,2008(06):91-108[3]王英瑛. 矩阵特征值和特征向量求法的探讨[J]. 山东理工大学学报( 自然科学版),2008(05):45-50 [4]夏慧明,周永权. 求解矩阵特征值及特征向量的新方法[J]. (广西民族大学数学与计算机科学学院学报,2008(11):83-93 [5]赵院娥,李顺琴. 矩阵的特征值与特征向量[J].江西科学,2009(10):05-14 [6]向以华.矩阵的特征值与特征向量的研究[J].重庆三峡学院学报,2009(03):105-117[7]张红玉. 矩阵特征值的理论及应用[J]. 山西大同大学学报(自然科学版),2009(02):15-01[8]