高等数学实例教程 课件 单元3 导数及其应用

单元3导数及其应用(3-1）教学内容索引【引例探析】【引例3-1】求变速直线运动的瞬时速度【引例3-2】求电路中的电流强度【引例3-3】求平面曲线的切线斜率【概念认知】1．导数的概念2．导数的几何意义3．导数可导性与连续性的关系【课堂引入】知识目标掌握导数的定义、左、右导数的概念、导数几何意义；理解函数的可导性与连续性之间的关系技能目标会求曲线的切线方程态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点导数的定义；左、右导数的概念；函数的可导性与连续性之间的关系教学难点导数的定义；计算分段函数导数【引例探析】【引例3-1】求变速直线运动的瞬时速度【问题描述】【问题求解】【问题求解】

而物体做变速直线运动时，它在不同时刻的速度是不同的，物理学中把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，而上式中的速度只能反映物体在某时段内的平均速度．我们假定这个物体沿数轴的正方向前进，如图3-1所示。图3-1物体的变速直线运动【问题求解】

就是说，物体运动的瞬时速度是路程函数的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限．

【引例3-2】求电路中的电流强度【问题描述】

带电粒子（电子、离子等）的有序运动形成电流，通过某处的电荷量与所需时间之比称为电流强度，简称为电流，如果在电路闭合后的一段时间t（秒）内，流过导线横截面的电荷量为Q（库伦），求时刻t0的电流强度．【问题求解】

也就是说，电路中的电流强度是电荷量函数的增量与时间的增量之比，当时间的增量趋于零时的极限．

【引例3-3】求平面曲线的切线斜率【问题描述】【问题求解】【问题求解】图3-2平面曲线的切线【概念认知】1．导数的概念（1）函数在点x0处的导数【定义3.1】：函数y=f(x)在点x0处的导数即（2）函数在点x0处的左导数与右导数函数在一点处的左导数、右导数与函数在该点处的导数间有如下关系：（3）导函数的定义2．导数的几何意义（1）切线的斜率（2）切线方程（3）法线方程【特殊情况】：3．函数可导性与连续性的关系【定理3.2】：函数可导性与连续性的关系如果函数y=f(x)在点x0处可导，则函数y=f(x)在点x0处必连续．快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-2)教学内容索引【知识疏理】3.1应用导数的定义求基本

初等函数的导数3.2基本初等函数的求导公式【实例精讲】【实例3-1】求曲线的切线方程

与法线方程【实例3-2】探析函数的

连续性与可导性【实例3-3】探析函数可导性

的应用【实例3-4】应用导数的定义

求基本初等函数的导数【课堂引入】知识目标掌握应用导数的定义求基本初等函数的导数；熟练掌握初等函数的求导公式技能目标会求曲线的切线方程与法线方程，会应用导数的定义求基本初等函数的导数态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点初等函数的求导公式教学难点应用导数的定义求基本初等函数的导数【知识疏理】3.1应用导数的定义求基本初等函数的导数3.2基本初等函数的求导公式基本初等函数的导数公式总结如下：【实例精讲】

【实例3-1】求曲线的切线方程与法线方程【问题描述】【问题求解】【实例精讲】

【实例3-2】探析函数的连续性与可导性【问题描述】【问题求解】【问题求解】【实例精讲】

【实例3-3】探析函数可导性的应用【问题描述】【问题求解】

又若使f(x)在x=0点可导，必使之左右导数存在且相等，由函数知，左右导数是存在的，【实例精讲】

【实例3-4】应用导数的定义求基本初等函数的导数【问题描述】【问题求解】【问题求解】【问题求解】【问题求解】快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-3）教学内容索引【知识疏理】3.3导数的四则运算法则3.4复合函数的求导法则【实例精讲】【实例3-5】应用导数的求导公式和四则运算法则

求函数的导数【实例3-6】应用复合函数的求导法则求函数的导数【课堂引入】知识目标（1）掌握函数的和、差、积、商的求导法则；（2）掌握复合函数的求导法则技能目标会应用导数的求导公式和四则运算法则求函数的导数，会应用复合函数的求导法则求函数的导数态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点（1）函数的和、差、积、商的求导法则；（2）复合函数的求导法则教学难点复合函数的求导法则【知识疏理】3.3导数的四则运算法则【定理3.3】：导数的四则运算法则3.4复合函数的求导法则【定理3.4】：复合函数的求导法则【示例3.10】：求(为常数)的导数．【实例精讲】

【实例3-5】应用导数的求导公式和

四则运算法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】【实例精讲】

【实例3-6】应用复合函数的求导法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-4)【课堂引入】知识目标（1）掌握反函数的导数法则；（2）掌握隐函数求导方法、对数求导方法以及参数方程求导方法；（5）掌握高阶导数的运算法则，熟记常见函数的高阶导数公式技能目标会应用反函数的求导法则、隐函数及参数式函数的求导法则、高阶导数的求导法则求函数的导数，态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点反函数的导数法则；隐函数导数、参数方程导数、对数求导法则、高阶导数的求导法则教学难点反函数的求导法则，隐函数及参数式函数的求导法则教学内容索引【知识疏理】3.5反函数的求导法则3.6隐函数及参数式

函数的导法则3.7高阶导数【实例精讲】【实例3-7】应用反函数的求导法则求函数的导数【实例3-8】应用隐函数及参数式函数的求导法则求函数的导数【实例3-9】应用高阶导数的求导法则求函数的导数【引例探析】3.5

反函数的求导法则3.6隐函数及参数式函数的求导法则3.6.1隐函数的导数3.6.2

对数求导法解法一：利用对数求导法求导解法二：将幂指函数变成复合函数，再求导3.6.3由参数方程所确定的函数的导数3.7

高阶导数3.7.1高阶导数的定义【定义3.3】：二阶导数

二阶以及二阶以上的导数统称为高阶导数．

求函数的高阶导数，只要逐阶求导，直到所要求的阶数即可，所以仍用前面的求导方法来计算高阶导数．3.7.2二阶导数的物理意义物体作变速直线运动时，若其运动方程为s=s(t)，则物体在某一时刻的运动速度v(t)是

路程s(t)对时间t的一阶导数，3.7.3高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则如下：【实例精讲】

【实例3-7】应用反函数的求导法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】【实例精讲】【实例3-8】应用隐函数及参数式函数的

求导法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】【实例精讲】【实例3-8】应用隐函数及参数式函数的

求导法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】【问题求解】【实例精讲】

【实例3-9】应用高阶导数的求导法则求函数的导数【问题描述】【问题求解】【问题求解】快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-5)教学内容索引【知识疏理】3.8中值定理3.9应用洛必达法则求权限【实例精讲】【实例3-10】应用洛必达法则求函数的极限【课堂引入】知识目标（1）理解并会用罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理;（2）掌握洛必达法则，并会求未定型的极限技能目标会应用洛必达法则求函数的极限态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点洛必达法则，求未定型的极限教学难点求未定型的极限【知识疏理】3.8中值定理3.8.1罗尔中值定理

绘制一条闭区间上连续、相应开区间内光滑、且两端点连线水平的曲线，

从其图像可以看出：至少有一个最高点或一个最低点，且在最高点或最低点处有一条水平切线，如图3-4所示，这就是下面要介绍的罗尔中值定理的几何解释．图3-4罗尔中值定理的几何解释3.8.2拉格朗日中值定理图3-5拉格朗日中值定理的几何解释【定理3.7】：拉格朗日（Lagrange）中值定理罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况（增加条件f(a)=f(b)即可），而拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广．拉格朗日中值定理是研究函数曲线性态的理论依据．作为拉格朗日中值定理的一个应用，推导出从下两个重要的推论：3.8.3柯西中值定理【问题求解】3.9应用洛必达法则求权限【定理3.9】：洛必达法则1【定理3.10】：洛必达法则23.9.3其它未定式的极限求法【实例精讲】

【实例3-10】应用洛必达法则求函数的极限【问题描述】应用洛必达法则求以下各个函数的极限．【问题求解】【实例精讲】

【实例3-10】应用洛必达法则求函数的极限【问题描述】应用洛必达法则求以下各个函数的极限．【问题求解】【问题求解】【问题求解】【问题求解】【问题求解】快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-6）教学内容索引【知识疏理】3.10函数单调性的判定3.11函数极值及求解【实例精讲】【实例3-11】求函数的单调区间并判断各区间的单调性【实例3-12】求函数的极值【课堂引入】知识目标（1）掌握用导数判断函数的单调性的方法；

利用单调性证明不等式（2）理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法技能目标会求函数的单调区间并判断各区间的单调性，会求函数的极值态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点判断函数的单调性，求函数的极值教学难点求函数的极值【知识疏理】3.10函数单调性的判定图3-6单调递增函数的图形图3-7单调递减函数的图形【定理3.11】：函数单调性的判定方法④列表分析函数的单调性：求函数单调区间的步骤如下：①求函数的定义域；②求函数的导数；3.11函数极值及求解1．函数极值的定义图3-8函数极值示意图【定义3.4】：函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值；极大值点和极小值点统称为函数的极值点．2．函数极值的判定和求法【定理3.12】：极值存在的必要条件2．函数极值的判定和求法【定理3.13】：极值的第一充分条件图3-9函数的极大值示意图图3-10函数的极小值示意图⑤由上表知，函数的极大值为f(-2)=21，极小值为f(1)=-6．【定理3.14】：极值的第二充分条件【实例精讲】【实例3-11】求函数的单调区间并判断各区间的单调性【问题描述】【问题求解】【实例精讲】【实例3-12】求函数的极值【问题描述】【问题求解】快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-7）教学内容索引【知识疏理】3.12函数最值及求解3.13曲线的凹凸性与拐点及求解3.14曲线的渐近线及求解【实例精讲】【实例3-13】求函数的最大值或最小值【实例3-14】求函数的凹凸区间和拐点【课堂引入】知识目标（1）掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用；（2）理解函数凹凸与拐点的定义，会用导数判断函数图形的凹凸性和函数图形的拐点；会求水平渐近线和铅直渐近线技能目标会求函数的最大值或最小值，会求函数的凹凸区间和拐点态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点求函数的最值，判断函数的凹凸性和函数图形的拐点教学难点判断函数的凹凸性，计算闭区间连续函数的最值【知识疏理】3.12

函数最值及求解求函数f(x)在区间[a,b]上的最大（小）值的步骤为（1）求函数f(x)的导数，并求出所有的驻点和导数不存在的点；（2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值；（3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，最小的就是f(x)在闭区间[a,b]上的最小值．由题意知，这个最近距离是存在的，即函数的最小值存在．3.13

曲线的凹凸性与拐点及求解1．函数的凹凸性图3-11曲线不同的弯曲方向【定义3.5】：函数的凹区间与凸区间

一个可导函数y=f(x)的图形，在开区间(a,b)内，如果曲线上每一点处的切线都在它的下方，则称曲线在(a,b)内是凹的，开区间(a,b)称为曲线的凹区间；

如果曲线上每一点处的切线都在它的上方，则称曲线在(a,b)内是凸的，开区间(a,b)称为曲线的凸区间2．函数凹凸性的判断定理【定理3.15】：函数凹凸性的判断定理3．曲线的拐点及其判断【定义3.6】：曲线的拐点【定理3.16】：拐点存在的必要条件【注意】：

在拐点处，函数的二阶导数为零或不存在；但二阶导数为零或二阶导数不存在的点不一定是拐点．【定理3.17】：拐点存在的充分条件判断曲线凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤如下：3.14曲线的渐近线及求解先看下面的例子：【定义3.7】：水平渐近线【定义3.8】：垂直渐近线【示例3.47】：求下列曲线的水平渐近线和垂直渐近线．【实例精讲】

【实例3-13】求函数的最大值或最小值【问题描述】【问题求解】【实例精讲】

【3-14】求函数的凹凸区间和拐点【问题描述】【问题求解】事实上，在整个定义域内曲线是凹的，所以它没有拐点，如图3-15．图3-15抛物线的图形快乐学习、高效学习单元3导数及其应用(3-8）教学内容索引【释疑解难】【问题3-1】【问题3-2】【问题3-3】【问题3-4】【问题3-5】【问题3-6】【问题3-7】【问题3-8】【应用求解】【应用3-1】求物体直线运动的速度与加速度【应用3-2】求圆柱形容器表面积最小时的底面半径【课堂引入】知识目标熟练掌握导数的相关知识，理解导数的疑难问题技能目标灵活应用导数的相关知识求解实际应用问题态度目标培养学生的计算能力、逻辑思维能力和自我学习能力，为学习专业课程打下良好的基础，并能用导数知识解决实际问题教学重点应用导数的相关知识求解实际应用问题教学难点应用导数的相关知识求解实际应用问题教学内容索引【应用求解】【应用3-3】求边际成本和最大利润【应用3-4】求边际收入和边际利润【应用3-5】求费用最低的运输路线【应用3-6】求电路中的电流【应用3-7】求电容器的充电速度【应用3-8】求简谐运动的速度与加速度【应用3-9】求冰箱内温度关于时间的变化率【释疑解难】【问题3-8】二阶导数为零或二阶导数不存在的点一定是拐点吗？【问题3-4】如果函数在一点连续，则在该点也一定可导吗？【问题3-5】罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理之间有什么联系？【问题3-7】函数的驻点一定是极值点吗？【应用求解】

【应用3-1】求物体直线运动的速度与加速度【问题描述】【问题求解】【应用求解】

【应用3-2】求圆柱形容器表面积最小时的底面半径【问题描述】【问题求解】图3-16圆柱形容器【应用求解】

【应用3-3】求边际成本和最大利润【问题描述】【问题求解】【应用求解】

【应用3-4】求边际收入和边际利润【问题描述】【问题求解】【应用求解