概率初步与随机事件期末题

概率初步与随机事件期末题一、引言在数学的广袤领域中，概率初步与随机事件是一块充满趣味与挑战的知识板块。它不仅在理论上有着严谨的逻辑体系，在实际生活中也有着广泛的应用，如天气预报、保险风险评估、彩票中奖预测等。期末考试是对学生一学期学习成果的综合检验，下面我们将围绕概率初步与随机事件精心设计一套期末试题，涵盖选择题、填空题、解答题等多种题型，全面考查学生对这部分知识的理解和运用能力。二、期末试题（一）选择题（每题3分，共30分）1.下列事件中，是必然事件的是（）A.明天会下雨B.打开电视机，正在播放广告C.任意画一个三角形，其内角和是180°D.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上答案：C。必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件。三角形内角和是180°是定理，是必然的；而明天是否下雨、打开电视是否播放广告、抛硬币正面朝上都是随机事件。2.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球，是红球的概率为（）A.$\frac{1}{5}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{5}{8}$D.$\frac{3}{8}$答案：C。概率的计算公式是$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是所有可能出现的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数。这里$n=5+3=8$，$m=5$，所以摸出红球的概率是$\frac{5}{8}$。3.下列说法正确的是（）A.概率很小的事件不可能发生B.随机事件发生的概率为0.5C.必然事件发生的概率为1D.不确定事件发生的概率为0答案：C。概率很小的事件不是不可能发生，只是发生的机会较小，A错误；随机事件发生的概率在0到1之间，不一定是0.5，B错误；必然事件一定会发生，其概率为1，C正确；不确定事件就是随机事件，概率在0到1之间，D错误。4.一个骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，投掷这个骰子一次，向上一面的数字是偶数的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$答案：C。骰子向上一面的数字共有6种等可能的结果，其中偶数有2、4、6共3种结果，所以概率为$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。5.从分别写有数字-1，0，1，2的四张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，以第一次抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，点$(x,y)$落在第一象限的概率是（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{8}$C.$\frac{1}{16}$D.$\frac{3}{16}$答案：B。第一次抽取有4种可能，放回后第二次抽取也有4种可能，所以总的可能结果数为$4×4=16$种。点落在第一象限，则横坐标和纵坐标都大于0，满足条件的有$(1,1)$，$(1,2)$，$(2,1)$，$(2,2)$共2种情况，所以概率为$\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。6.在一个不透明的盒子里有2个红球和$n$个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是$\frac{1}{5}$，则$n$的值为（）A.3B.5C.8D.10答案：C。根据概率公式可得$\frac{2}{2+n}=\frac{1}{5}$，解得$n=8$。7.一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是（）A.$\frac{4}{15}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{5}$D.$\frac{3}{5}$答案：A。袋中球的总数为$4+5+6=15$个，白球有4个，所以摸出白球的概率是$\frac{4}{15}$。8.有三张正面分别写有数字-2，-1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为$x$的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为$y$的值，两次结果记为$(x,y)$，则使分式$\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x-y}$有意义的$(x,y)$出现的概率是（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{4}{9}$D.$\frac{5}{9}$答案：D。先对分式化简：$\frac{x^{2}-3xy}{x^{2}-y^{2}}-\frac{y}{x-y}=\frac{x^{2}-3xy-y(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^{2}-4xy-y^{2}}{(x+y)(x-y)}$，要使分式有意义，则分母不能为0，即$x\neq\pmy$。总的可能结果有$3×3=9$种，满足$x\neq\pmy$的有$(-2,1)$，$(-2,-1)$，$(-1,1)$，$(-1,-2)$，$(1,-2)$，$(1,-1)$共5种，所以概率为$\frac{5}{9}$。9.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球（）个。A.20B.24C.28D.30答案：A。设口袋中共有小球$x$个，根据频率与概率的关系，大量重复实验时，频率稳定在概率附近，可得$\frac{6}{x}=30\%$，解得$x=20$。10.如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指向黄色区域的概率是（）A.$\frac{1}{6}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{2}{3}$答案：B。转盘被等分成6个扇形区域，黄色区域有2个，所以指针指向黄色区域的概率是$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。（二）填空题（每题3分，共15分）1.事件“从地面往上抛出的篮球会落下”是______事件（填“必然”“随机”或“不可能”）。答案：必然。在现实生活中，由于重力的作用，从地面往上抛出的篮球一定会落下，这是必然会发生的事件。2.一个不透明的口袋中有3个红球，2个白球和1个黑球，它们除颜色外完全相同，从中任意摸出一个球，则摸出的是白球的概率是______。答案：$\frac{1}{3}$。口袋中球的总数为$3+2+1=6$个，白球有2个，根据概率公式可得摸出白球的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。3.在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率是______。答案：$\frac{2}{7}$。袋子里球的总数为$2+5=7$个，红球有2个，所以摸出红球的概率是$\frac{2}{7}$。4.一个盒子里装有除颜色外完全相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为$X$，则$P(X\leq1)=$______。答案：$\frac{19}{21}$。$P(X\leq1)=1-P(X=2)$，从$10+12+4=26$个球中任取2个的组合数为$C_{26}^2=\frac{26×25}{2×1}=325$，从4个白球中取2个的组合数为$C_{4}^2=\frac{4×3}{2×1}=6$，所以$P(X=2)=\frac{6}{325}$，则$P(X\leq1)=1-\frac{6}{325}=\frac{319}{325}=\frac{19}{21}$。5.有五张正面分别标有数字-2，-1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为$a$，则使关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a(a-3)=0$有两个不相等的实数根，且以$x$为自变量的二次函数$y=x^{2}-(a^{2}+1)x-a+2$的图象不经过点$(1,0)$的概率是______。答案：$\frac{2}{5}$。对于一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a(a-3)=0$，其判别式$\Delta=4(a-1)^{2}-4a(a-3)=4a^{2}-8a+4-4a^{2}+12a=4a+4\gt0$，解得$a\gt-1$。对于二次函数$y=x^{2}-(a^{2}+1)x-a+2$，若图象不经过点$(1,0)$，则$1-(a^{2}+1)-a+2\neq0$，即$a^{2}+a-2\neq0$，$(a+2)(a-1)\neq0$，解得$a\neq-2$且$a\neq1$。满足条件的$a$的值有0，2两个，所以概率为$\frac{2}{5}$。（三）解答题（共55分）1.（10分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同。小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为$x$；放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为$y$。（1）用列表法或画树状图表示出$(x,y)$的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上的概率。解：（1）列表如下：||1|2|3|4||||||||1|(1,1)|(1,2)|(1,3)|(1,4)||2|(2,1)|(2,2)|(2,3)|(2,4)||3|(3,1)|(3,2)|(3,3)|(3,4)||4|(4,1)|(4,2)|(4,3)|(4,4)|共有16种等可能的结果。（2）点$(x,y)$落在反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象上，即$xy=4$，满足条件的有$(1,4)$，$(2,2)$，$(4,1)$共3种情况，所以概率为$\frac{3}{16}$。2.（10分）某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？请说明理由。解：（1）因为转盘被平均分成16份，其中红色、黄色、绿色区域共6份，所以转动一次转盘获得购物券的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。（2）转动转盘获得购物券的平均金额为：$50×\frac{1}{16}+30×\frac{2}{16}+20×\frac{3}{16}=\frac{50+60+60}{16}=\frac{170}{16}=10.625$（元）因为$10.625\gt10$，所以转转盘对顾客更合算。3.（12分）某学校为了丰富学生的课余生活，计划购买一批篮球和足球。已知购买2个篮球和1个足球共需320元；购买3个篮球和2个足球共需540元。（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）学校决定购买篮球和足球共50个，总费用不超过5000元，那么最多可购买多少个足球？（3）在（2）的条件下，若购买足球的个数不少于篮球个数的$\frac{3}{2}$倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由。解：（1）设每个篮球的售价为$x$元，每个足球的售价为$y$元，根据题意可得方程组：$\begin{cases}2x+y=320\\3x+2y=540\end{cases}$由$2x+y=320$可得$y=320-2x$，代入$3x+2y=540$得：$3x+2(320-2x)=540$$3x+640-4x=540$$-x=-100$$x=100$则$y=320-2×100=120$所以每个篮球的售价为100元，每个足球的售价为120元。（2）设购买足球$m$个，则购买篮球$(50-m)$