平面向量与坐标运算的精髓-高考数学第35讲要点解析与技巧探讨

平面向量与坐标运算的精髓_高考数学第35讲要点解析与技巧探讨一、引言在高考数学的知识体系中，平面向量与坐标运算是一块重要的内容。它不仅是连接代数与几何的桥梁，也是解决许多数学问题和实际问题的有力工具。在高考中，平面向量与坐标运算相关的题目频繁出现，题型涵盖选择、填空和解答题等多种形式，分值占比可观。深入理解平面向量与坐标运算的精髓，掌握其要点和解题技巧，对于考生在高考中取得优异成绩至关重要。本文将围绕高考数学第35讲的内容，对平面向量与坐标运算进行全面而深入的解析，并探讨相关的解题技巧。二、平面向量的基本概念回顾（一）向量的定义向量是既有大小又有方向的量。我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。例如，在物理学中，力、速度等都是向量的实际例子。（二）向量的模向量的模是指向量的大小，记作\(\vert\vec{a}\vert\)。对于平面向量\(\vec{a}=(x,y)\)，其模的计算公式为\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。比如，向量\(\vec{a}=(3,4)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。（三）零向量和单位向量零向量是模为\(0\)的向量，记作\(\vec{0}\)，其方向是任意的。单位向量是模为\(1\)的向量。对于任意非零向量\(\vec{a}\)，与它同向的单位向量为\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。例如，已知向量\(\vec{a}=(2,0)\)，\(\vert\vec{a}\vert=2\)，则与\(\vec{a}\)同向的单位向量为\((1,0)\)。（四）平行向量和相等向量平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量。规定零向量与任意向量平行。相等向量是指长度相等且方向相同的向量。三、平面向量的坐标表示及其运算（一）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与\(x\)轴、\(y\)轴方向相同的两个单位向量\(\vec{i}\)，\(\vec{j}\)作为基底。对于平面内的任一向量\(\vec{a}\)，有且只有一对实数\(x\)，\(y\)，使得\(\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}\)，我们把有序数对\((x,y)\)叫做向量\(\vec{a}\)的坐标，记作\(\vec{a}=(x,y)\)。（二）向量的坐标运算1.加法运算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)。例如，\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，那么\(\vec{a}+\vec{b}=(1+3,2+4)=(4,6)\)。从几何意义上看，向量加法满足平行四边形法则或三角形法则。2.减法运算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)。例如，\(\vec{a}=(5,3)\)，\(\vec{b}=(2,1)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}=(5-2,3-1)=(3,2)\)。3.数乘运算若\(\vec{a}=(x,y)\)，\(\lambda\)是实数，则\(\lambda\vec{a}=(\lambdax,\lambday)\)。当\(\lambda>0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相同；当\(\lambda<0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。例如，若\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\lambda=3\)，则\(3\vec{a}=(6,-3)\)。4.向量的数量积运算若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)。向量的数量积是一个数量，而不是向量。例如，\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,-1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times(-1)=3-2=1\)。（三）向量坐标运算的重要性质1.向量平行的坐标表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，且\(\vec{b}\neq\vec{0}\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)的充要条件是\(x_1y_2-x_2y_1=0\)。例如，已知\(\vec{a}=(2,m)\)，\(\vec{b}=(4,-2)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(2\times(-2)-4m=0\)，解得\(m=-1\)。2.向量垂直的坐标表示若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)的充要条件是\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，即\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。例如，若\(\vec{a}=(3,4)\)，\(\vec{b}=(-4,k)\)，且\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(3\times(-4)+4k=0\)，解得\(k=3\)。四、平面向量与坐标运算在高考中的常见题型及解题技巧（一）向量的线性运算问题这类题目主要考查向量的加法、减法和数乘运算。解题的关键是熟练掌握向量坐标运算的法则。例1：已知\(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(1,-1)\)，\(\vec{c}=(3,-2)\)，且\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}\)，求\(p\)，\(q\)的值。解析：因为\(\vec{c}=p\vec{a}+q\vec{b}\)，\(\vec{a}=(-1,2)\)，\(\vec{b}=(1,-1)\)，所以\(\vec{c}=p(-1,2)+q(1,-1)=(-p+q,2p-q)\)。又因为\(\vec{c}=(3,-2)\)，则可得方程组\(\begin{cases}-p+q=3\\2p-q=-2\end{cases}\)，将两式相加消去\(q\)可得\(p=1\)，把\(p=1\)代入\(-p+q=3\)得\(q=4\)。（二）向量的数量积问题向量的数量积问题常常与向量的模、夹角等知识结合考查。解题时要灵活运用数量积的定义和坐标运算公式。例2：已知向量\(\vec{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\vec{b}=(\sqrt{3},1)\)，求\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角\(\theta\)。解析：首先计算\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times\sqrt{3}+\sqrt{3}\times1=2\sqrt{3}\)，\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=2\)，\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2\)。根据向量的夹角公式\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\)，可得\(\cos\theta=\frac{2\sqrt{3}}{2\times2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因为\(0\leqslant\theta\leqslant\pi\)，所以\(\theta=\frac{\pi}{6}\)。（三）向量与几何图形的结合问题这类题目需要将几何图形中的线段关系转化为向量关系，再利用向量的坐标运算求解。例3：在平行四边形\(ABCD\)中，\(A(0,0)\)，\(B(4,-3)\)，\(C(5,2)\)，求点\(D\)的坐标。解析：设\(D(x,y)\)，因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)。\(\overrightarrow{AB}=(4,-3)-(0,0)=(4,-3)\)，\(\overrightarrow{DC}=(5,2)-(x,y)=(5-x,2-y)\)。则可得\(\begin{cases}5-x=4\\2-y=-3\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}\)，所以点\(D\)的坐标为\((1,5)\)。（四）向量在三角函数中的应用问题向量与三角函数的结合是高考的热点之一。通常利用向量的数量积公式得到三角函数的表达式，再进行化简和求解。例4：已知向量\(\vec{m}=(\sinA,\cosA)\)，\(\vec{n}=(\sqrt{3},-1)\)，\(\vec{m}\cdot\vec{n}=1\)，且\(A\)为锐角，求角\(A\)的大小。解析：因为\(\vec{m}\cdot\vec{n}=\sqrt{3}\sinA-\cosA=1\)，根据辅助角公式\(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha+\varphi)\)（其中\(\tan\varphi=\frac{b}{a}\)），则\(\sqrt{3}\sinA-\cosA=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sinA-\frac{1}{2}\cosA)=2\sin(A-\frac{\pi}{6})=1\)，即\(\sin(A-\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}\)。因为\(A\)为锐角，所以\(A-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)，解得\(A=\frac{\pi}{3}\)。五、总结平面向量与坐标运算作为高考数学的重要内容，其精髓在于通过坐标的方式将向量的几何性质与代数运算紧密结合起来。在复习备考过程中，考生要深入理解向量的基本概念和坐标