中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题8填空题压轴题之动点问题(原卷版+解析)

专题8填空题压轴题之动点问题（原卷版）

模块一2022中考真题训练

类型一用函数观点描述几何图形

1.（2023•烟台）如图1,ZVIBC中，N48C=60°,。是8c边上的一个动点（不与点8,。重合），DE//

AB,交AC于点、E,EF//BC,交AB于点F.设8D的长为以四边形BDEF的面积为y,y与x的函数

图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2,3）,则4B的长为.

2.（2023•营口）如图1,在四边形48CD中，BC//AD,ZD=90°,ZA=45°,动点P,。同时从点A

出发，点P以或C77而的速度沿A8向点B运动（运动到B点即停止），点。以2cm/s的速度沿折线AD-

DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（$）,2X4。。的面积为），（。层），若），与工之间的函数关系的

图象如图2所示，当A-（$）时，则y=cni1.

3.（2023•湖北）如图1,在△ABC中，/8=36°,动点P从点A出发，沿折线C匀速运动至点C

停止.若点尸的运动速度为15心，设点P的运动时间为f（s）,AP的长度为y（cm）,y与/的函数图象

如图2所示.当八户恰好平分/MCH'J/的值为

类型二三角形、多边形上的动点问题

4.（2023•遵义）如图，在等腰直角三角形A8C中，N/MC=90°,点M,N分别为8C,AC上的动点，且

AN=CM,AB=V2.当AM+8V的值最小时，CM的长为

5.（2U23•黄石）如图，等边△AHC中，A8=l。，点七.为高上的一动点，以6片为边作等边△打上?，连

接。F,CF,则N5C/=,尸B+尸。的最小值为.

6.（2023•广州）如图，在矩形46co中，8c=2AB,点〃为边A。上的一个动点，线段8。绕点8顺时针

旋转60°得到线段8P',连接PP',CP'.当点P'落在边BC上时，ZPP'C的度数为；当

线段CP'的长度最小时，/尸P'C的度数为.

7.（2023•柳州）如图，在正方形A8CO中，A8=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=

2,连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90°得到线段。F,连接C凡则线段C尸长的最小值为.

8.（2023•辽宁）如图，在RtZXA5c中，ZACB=90°,ZB=60°,3c=2,点夕为斜边A4上的一个动点

（点。不与点A、3重合），过点。作PO_LAC,PELBC,垂足分别为点。和点£,连接PC交于

点Q，连接AQ，当△4PQ为直角三角形时，AP的长是.

9.（2023•陕西）如图，在菱形A8C。中，AB=4,80=7.若M、N分别是边A。、8C上的动点，且AM=

BN,作MELB。,NF工BD,垂足分别为E、F,则ME+NF均值为

10.（2023•盘龙区）如图，已知四边形4BCD中,AB=lOcw,BC=8cm,CD=\2cm,NB=NC,点E为

4B的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度沿B-C-B运动，同时，点。在线段C。上由C点

向D点运动.当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPE与△CQP全等.

类型三有关圆的动点问题

11.（2023•宁波）如图，在△A8C=，AC=2,BC=4,点。在8c上，以。8为半径的圆与AC相切于点A.D

是BC边上的动点，当△AC。为直角三角形时，人D的长为.

12.（2023•东城区模拟）如图，在平面直角坐标系xO.y中，点A与点8的坐标分别是（1,0）与（7,0）.对

于坐标平面内的一动点P,给出如下定义：若NAP8=45°,则称点P为线段A8的“等角点”.

①若点P为线段AB在笫一象限的“等角点”，且在直线x=4上，则点。的坐标为：

②若点P为线段43的“等角点”，并且在），轴正半轴上，则点P的坐标为.

模块二2023中考押题预测

13.（2023•驻马店二模）如图，四边形A8C。中，AB//CD,ZABC=60°,AO=8C=CO=4,点M是四

边形48CQ内的一个动点，满足/4"。=90°,则点M到直线8c的距离的最小值为.

14.（2023•普定县模拟）如图，点M是/AOB平分线上一点，/AO8=60°,MELOATE,OE=巫,如

果〃是（小上一动点，则线段仞产的取值范围是.

15.（2023•徐州二模）如图，在等边三角形A8C中，48=2,点。，E,F分别是边8C,AB,AC边上的动

点，则△/）£：/周长的最小值为.

16.（2023•仁怀市模拟）如图，在RtZXA3c中，ZC=90°,NA=30°,A4=8,点。为边A3的中点,

点P为边AC上的动点，则尸。+尸。的最小值为.

17.（2023•亭湖区校级三模）在平面直角坐标系中，A（3,3）,B（6,0）,点£>、E是OB的三等分点，点

P是线段上的一个动点，若只存在唯一一个点P使得P/>PE=m则。需满足的条件是：.

18.（2023•夏邑县校级模拟）如图，在等腰三角形/WC中，ZA=3（）°,8C=2,点。为八。的中点，点、E

为边48上一个动点，连接。£点A关于直线。£的对称点为点凡分别连接OREF,当E凡LAC时，

AE的长为.

c

19.（2023•新昌县模拟）在△ABC中，NA=60°,点P和点。分别是边AC和8c上的两个动点，分别连

结BP和尸Q.把△ABC分割成三个三角形.若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则NABC的度数

20.（2023•新化县一模）已知在RiZkABC中，NC=90°,ZABC=15°,A8=5.点£为边AC上的动点,

点尸为边A8上的动点，则线段/E+E8的最小值是.

21.（2023•顺城区模拟）如图，在□△ABC中，N4CB=90°,NA=30°,AC=6,点M是射线AC上的

一个动点，MC=l,连接8M,以A8为边在A8的上方作直线BE交AC的延长线于点

F,则CF=.

23.（2023•碧江区一模）如图，在△ABC中，48=6,BC=7,AC=4,直线/〃是△ABC中8c边的垂直平

AC1

24.（2023•抚顺县二模）如图，在RtZXAB。中，NO84=90°,A（4,4）,点C在边A3上，且九=不

CB3

点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在04上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P

的坐标为

25.（2023•德保县二模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为4的等边三角形，。。是A8边上的

高，点P是0。上的一个动点，若点C的坐标是（0,-V3）,则以+PC的最小值是.

26.（2023•元宝区校级一模）如图，在△ABC中，NC=90°,AC=6,8c=8,动点户从点8出发以每秒

1个单位长度的速度沿B-A匀速运动；同时点Q从点A出发以同样的速度沿A-C-8匀速运动.当点

P到达点A时，P、。同时停止运动，设运动时间为，秒，当f为时，以3、P、。为顶点的三角

形是等腰三角形.

27.（2023•大理州二模）如图，RlZ\ACB中，NACB=90°,4B=13cm,AC=5c/n,动点尸从点B出发沿

射线以2o〃/$的速度运动，设运动时间为当△人P“为等腰三角形时，/的值为.

28.（2023•锡山区校级模拟）如图，△ABC中，ZC=90°,BC=6,/ABC的平分线与线段AC交于点。，

且有AQ=8Z）,点E是线段AB上的动点（与A、8不重合），连结。E,当aBDE是等腰三角形时，则

AE的长为.

29.（2023•衡南县校级二模）等腰△48C的底边8c=8cm,腰长A/?=5c〃?，一动点尸在底边上从点B开始

向点C以0.25c、"?/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点户运动的时间应为秒.

30.（2023•大冶市校级模拟）如图，已知四边形A8C。是正方形A4=2或，点E为对角线AC上一动点，

连接过点笈作E"LQE,交射线8c于点R以。£瓦为邻边作矩形QEFG,连CG.

（1）CE+CG=；

（2）若四边形OEFG面积为5时，贝UCG=.

A

BFCH

31.（2023•玉树市校级一模）如图，菱形A8CO中，ZA=60°.AD=4,尸是48边一个动点，E、尸分别

是DP、BP的中点，则线段Er的长为.

32.（2023•浙河区校级模拟）如图，在矩形纸片48C。中，AB=4,AO=5,点r是48的中点，点£为A。

上一动点，作aAE尸关于直线E尸的对称图形，点力的对应点为点A',作E/关于直线4'E的对

称图形，点尸的对应点为产.当点尸落在矩形ABC。的边上对，AE的长为.

33.（2023•嵩县模拟）如图，四边形A8C。和AEFG都是正方形，点E是48边上一个动点，点G在AO边

上，AB=y[2cm,连接BF,CF,若△8CF'恰为等腰三角形，则AE的长为cm.

34.（2023•赣州模拟）如图，矩形A8C。中，AB=6,AO=2,点E是边CO的中点，点P在A8边上运动,

点尸为。尸的中点；当尸为等腰三角形时，则AP的长为.

35.（2023•华龙区校级模拟）如图，正方形A4CD中，A3=6,点石为对角线AC上的动点，以OE为边作

正方形DEFG,点H是CD上一点,且短〃=会D,连接G兄则GH的最小值为.

AD

36.（2023•柘城县校级二模）如图，在矩形A8CQ中，AB=\,BC=点E为射线4。上的动点（不与

点A,。重合），点A关于直线8E的对称点为连接A石，A,D,AC,当△A5C是以8C为底边的等

接二角形时，A七的长为

37.（2023•武汉模拟）如图，菱形48CO中，AB=5,8。=4次，动点、E、尸分别在边A。、BC1.,且AE

=CF,过点B作BP上EF于P,当E点从4点运动到。点时，线段CP的长度的取值范闱为

38.（2023•保亭县二模）如图1,在矩形4BCO中，点E在CD上,NAEB=90°,点P从点A出发，沿A

一七一B的路径匀速运动到点B停止，作PQJLC7）于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长为户若y与x

之间的函数关系图象如图2,则8c的长为；当x=6时，PQ的长为.

39.（2023•丹江口市模拟）已知定点P（a,。），且动点Q（x,））到点P的距离等于定长r,根据平面内两

点间距离公式可得（X-。）2+（）,・“）2=凡这就是到定点P的距离等于定长「圆的方程.已知一次函数

的y=-2x+10的图象交），轴于点4,交x轴于点8,C是线段人区上的一个动点，则当以。。为半径的OC

的面积最小时，OC的方程为

40.（2023•香洲区校级三模）如图正方形ABCO的边长为3,E是8c上一点且C£=1,r是线段。£上的

动点.连接CR将线段绕点。逆时针旋转90°得到CG连接EG,则EG的最小值是

41.（2023•韶关模拟）如图，已知正方形ABCQ中，AB=2,点E为BC边上一动点、（不与点B、。重合），

连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90得到ER连接。凡连接A尸与CQ相交于点G,连接OF,当DF

最小时，四边形CEGF的面积是.

42.（2023•珠海校级二模）如图，在矩形A3CO中，A3=4,3。=6,点尸是线段3C上一动点，将线段出

烧点〃顺时针转90°得到线段PA,,连接D4',则D41的最小值为

43.（2023•仁怀市模拟）如图，在等边△/WC中,AO是边上的高，点石是上一动点，连接CE,将

线段CE绕点E顺时针旋转6（），得到线段FE,连接A兄若A4=4,AF=V19,则C厂的长为

44.（2023•大庆二模）如图是边长为2的等边三角形ABC,。为△ABC内（包括△ABC的边）一动点，且

满足C£>2=A£>2+8D2,则co的长度〃?的取值范围为

45.（2023•雁塔区校级模拟）如医，正方形ABCO中，A3=4,点E为边上一动点，将点A绕点E顺时

针旋转90。得到点尸，则。F的最小值为

46.（2023•沈阳二模）如图，在矩形A8CO中，AB=5,BC=6,点E（不与点8重合）是8。边上一个动

点,将线段EB绕点引II页时针旋转90°得到线段石尸，当△。尸。是直角三角形时，那么8E的长是.

47.（2023•台山市校级一模）△ABC中，A8=AC=13,。。=24,点。为△A8C的对称轴上一动点，过点

D作。0与8C相切，B。与。。相交于点E,那么AE的最大值为.

48.（2023•蓬江区校级一模）矩形ABCO中，AB=2,8C=6,点P为矩形内一个动点.且满足NPBC=N

PCD,则线段PD的最小值为.

49.（2023•芜湖二模）如图，在RCABC中，NACB=90°,AC=6,BC=4.点尸为射线CB上一动点,

过点C作CM_LA/于交AB于E。是AB的中点，则。M长度的最小值是.

50.（2023•周至县一模）如图，在RlAABC中，NB=90°,NC=30°,4。平分NB4C,BC=6,点。为

线段上的动点，若以点O为圆心，1为半径的OO在△ABC内（。0可以与△ABC的边相切），则点

D到OO上的点的距离最大值为.

A

51.（2023•丹东模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（-4,0）,B（2,0）,点M是），轴上的一个动点,

当NBM4=30°时，点M的坐标为.

52.（2023•常山县模拟）如图，在矩形4BC。中，4B=6,BC=8,E为AD上一月,且4E=2,F为BC边

53.（2023•元宝区校级模拟）如图，四边形A8CQ中，AB//CD,ZABC=60°,AD=8C=CO=4,点M

是四边形ABC。内的一个动点，满足NAMQ=90°,则△M8C面积的最小值为.

54.（2023•亭湖区校级一模）如图，AB为。。的直径，C为。。上一点，过8点的切线交AC的延长线于

点。E为弦4c的中点，4D=6,BD=4,若点尸为直径上的一个动点，连接EP,若△AEP与4

相似，4P的长.

55.（2023•柯桥区一模）如图，在平面直角坐标系中，M、N、。三点的坐标分别为（1,2）,（6,2）,（6,

0）.点A为线段MN上的一个动点，连接AC,过点A作4B_LAC交），轴于点艮当点A从M运动到N

时，点B随之运动，点B经过的路径长是.

专题8填空题压轴题之动点问题（解析版）

模块一2022中考真题训练

类型一用函数观点描述几何图形

1.（2023•烟台）如图1,△A8C中，ZABC=60°,。是8C边上的一个动点（不与点8,

。重合），OE〃/W,交AC于点E,EF//BC,交A8于点E设8。的长为工，四边形

的面积为乃y与X的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2,3）,

则A8的长为.

思路引领：根据抛物线的对称性知，BC=4,作"7,8。于从当B/）=2时，回的

面积为3,则此时6尸=百，AB=2BF,即可解决问题.

解：•・•抛物线的顶点为（2,3）,过点（0,0）,

，x=4时，y=0,

ABC=4,

作"7_L4c于〃，当以）=2时，团8OE户的面积为3,

•：3=2FH,

；.FH=/

VZABC=60°,

3

'"=71^=后

'：DE//AB,

:.AB=2BF=2®

故答案为：2V3.

总结提升：本题主要考查J'动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，

特殊角的三角函数值等知识，求出8c=4是解题的关键.

2.（2023•营口）如图1,在四边形ABCD中，BC//AD,ZD=90°,/4=45°,动点尸,

Q同时从点A出发，点P以Niemis的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止〕，点

Q以2cMs的速度沿折线AD-DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（5）,^APQ

的面积为），（。帝），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x=:（s）时，则y

35

=—rrr?r.

图1图2

思路引领：根据题意以及函数图像可得出△AEQS^APQ,则点。在A。上运动时，△

人PQ为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时x=3,

则AO=2x=6cm,当3VxW4时，过点P作PF_L4）于点尸，结合面积公式，分别表示

出相关线段可得y与x之间的函数解析式，最后代入求解即可.

解：过点。作OE_LA8,垂足为E,

VZAED=90°,ZEAD=45°,

tAEy/2

••—,

AD2

•••点P的速度为点Q的速度为2cm!s,

：.AP=V2.v,AQ=2x,

.APy[2xV2

AQ2x2

在△APQ和△A£O中，

AEAPy/2

—=—=—,ZA=45a，

ADAQ2

・•・XAEOsXAPQ、

・••点。在AO上运动时，^人尸。为等腰直角三角形，

：.AP=PQ=V2x,

・•・当点Q在4。上运动时，），=8尸・AQ=1xV2xxV2.v=?,

由图像可知，当），=9此时面积最大，x=3或-3（负值舍去）,

.\AD=2x=6cm,

当3<xW4时，过点P作夕凡1_4加于点凡如图：

止匕时S、A-Q=SvV>F+S内边VQQF-S/.ADQ,

在RtZ\APF中，AP=42X,ZPAF=45°,

：・AF=PF=x,FD=6-x,QD=2x-6t

11

(x+2x-6)*(6-x)—5X6义(Zt-6),

2

即y=-W+6x,

当时，y=-(()2+6X：=苧，

故答案为：—.

4

总结提升：本题考查了动点问题的函数图像，注意分类讨论，求出各段函数的函数关系

式是解答本题的关键.

3.（2023•湖北）如图I,在△/WC中，/B=36°,动点P从点A出发，沿折线人一8->。

匀速运动至点C停止.若点P的运动速度为\cmls,设点P的运动时间为t（S）,AP的

长度为y（cm）,y与/的函数图象如图2所示.当AP恰好平分NBAC时t的值为

275+2.

思路引领,rh图象可得48=区。=%〃］，通过证明△<PCSA84。，可求4P的长，即可

求解.

解：如图，连接AP，

由图2可得AI3=BC=^cm,

VZ5=36°,AB=BC,

：.ZBAC=ZC=12°,

尸平分N8AC,

AZBAP=^PAC=Z5=36°,

:,AP=BP,ZAPC=12°=ZC,

：.AP=AC=BP,

•.•/^C=NB,ZC=ZC,

/.△APCS/\BAC,

APPC

•t■=9

ADAC

：,AP2=AB*PC=4（4-AP）,

・・.八夕=2花-2=3。，（负值舍去），

・・・/=4+2f_2=2遥+2,

故答案为：2遍+2.

总结提升：本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定

和性质，证明三角形杆似是解题的关犍.

类型二三角形、多边形上的动点问题

4.（2023•遵义）如图，在等腰直角三角形A4C中，N3AC=90°,点M,N分别为BC,

AC上的动点，且4N=CM,AB=V2.当AM+8N的值最小时，CM的长为」一夜.

BM

思路引领：过点4作AH1BC于点H.设AN=CM=x.AM+BN=712+(l-x)2+

J(V2)24-x2,欲求AM+8N的最小值，相当于在x轴上寻找一点0),至ljE(l,I),

F(0,V2)的距离和的最小值，如图1中，作点厂关于x轴的对称点尸，当E,P,F'

共线时，尸E+P广的值最小，此时直线EF的解析式为y=(V2+1)A-V2,求出点P的

坐标，可得结论.

解：过点4作于点H.设AN=CM=x.

HMC

a：AB=AC=>/2,N84C=90°,

：.BH=AH=},

：.AH=BH=CH=\,

・•・AM+BN=Vl2+(l-x)2+(V2)2+x2,

欲求AM+BN的最小值，相当于在k轴上寻找一点P(x,0),到E(I,1),F(0,V2)

的距离和的最小值，如图1中，

作点尸关于x轴的对称点F',当E,P,F共线时，PE+P尸的值最小，

此时直线的解析式为y=(V2+I)x-V2,

当)，=0时，x=2一企，

•••AM+BN的值最小时，CM的值为2-

解法二：过点。作。及LC6,使得C£=AC,连接过点片作4。_14。于点。.

'：AB=AC=CE,NBAN=/ECM=9&,AN=CM,

•••△BAN之ZXECM(SAS),

:.BN=EM,

：.AM+BN=AM+ME,

，当A,M,七共线时，AM+8N的值最小，

'：AD//EC.

CMCE

:.—=—=<2r,

DMAD

CM=—~~7=x1=2—V2.

1+72

故答案为：2-夜.

总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题，•次函数的性质等知识，

解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属「中考常考题型.

5.(2023•黄石)如图，等边△4BC中，A8=10,点E为高AZ)上的一动点，以8E为边作

等边△HER连接。凡CF,则NBC/=30°,-8+少。的最小值为5b.

思路引领：首先证明(SAS),推出NB4E=N4C尸=30°,作点。关于

Cr的对称点G,连接CG,DG,BG,BG交CF千点、F',连接。尸，此时B尸+DF'

的值最小，最小值=线段BG的长.

解：如图，

•••△ABC是等边三角形，ADLCB,

・・.NBAE=」N8AC=3D。,

•.•△加卯是等边三角形，

AZ£BF=ZABC=609,BE=BF,

：.NABE=NCBF,

在△BAE和中,

BA=BC

乙ABE=乙CBF,

BE=BF

:.ABAE@ABCF(SAS),

：.^BAE=^BCF=W,

作点D关于CF的对称点G,连接CG,DG,BG,BG交CF的延长线于点尸，连接

。尸，此时B尸+DF'的值最小，最小值=线段BG的长.

VZDCF=ZFCG=30°,

/.ZDCG=60°,

VCD=CG=5,

•••△CQG是等边三角形，

：.DB=DC=DG,

・・・NCG8=90°,

・,.BG=VZ?C?-CG7=V107-5?=5x/3,

・・・"+Qb的最小值为56，

故答案为：30°,5A/3.

总结提升：本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的

关键是正确寻找全等三角形解决问题，属「中考常考题型.

6.(2023•广州)如图，在矩形4BC。中，8c=2A8,点尸为边A。上的一个动点，线段8P

绕点8顺时针旋转60°得到线段8P',连接PP',CP'.当点P'落在边BC上时，

思路引领：如图，以为边向右作等边△ABE,连接EP'.利用全等三角形的性质证

明N8EP'=90°,推出点P'在射线EP'上运动，如图1中，设EP'交BC于点O,

再证明△BE。是等腰直角三角形，可得结论.

解：如图，以AB为边向右作等边△4BE,连接EP'.

•••△8PP'是等边三角形，

:・NABE=NPBP'=60°,BP=BP',BA=BE,

••・/ABP=NEBP',

在aAB尸和△E8P'中,

(BA=BE

Z.ABP=乙EBP',

BP=BP'

・•・&BPg△EBP'(SAS),

；・/BAP=NBEP'=90°,

••・点、P'在射线£P'上运动,

图1

当点P落在8c上时，点P'与O重合，此时/PPC=180°-60°=120°,

当CP'±EP'时，CP'的长最小，此时NE30=N0CP'=30°,

：・EO=OB,OP'=^OC,

:・EP'=EO+OP,=IOB+\OC=ifiC,

LLL

*：BC=2AB,

:,FP=AR=ER,

:./EBP'=NEP'"45°,

：・/BP'C=45°+90°=135°,

:./PP'C=NBP'C-ZBP'0=135°-60°=75°.

故答案为：120°,75c.

总结提升：本题考查旋转的性质，矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定

和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构

造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

7.（2023•柳州）如图，在正方形A8C。中，AB=4,G是BC的中点，点E是正方形内一个

动点，且EG=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接CF,

则线段长的最小值为2V5-2.

思路引领：连接DG,将DG绕点D逆时针旋转90°得DM,连接MG,CM,MF,作

MH工CD于H,利用SAS证明得MF=EG=2,再说明△OGCg/\DM”

CAAS）,得CG=DH=2,MH=CD=4,求出CM的长，再利用三角形三边关系可得答

案.

解：连接。G,将。G绕点。逆时针旋转90°得。M,连接MG,CM,MF,

作MHLCD于H,

:・/EDG=NFDM,

;DE=D3DG=DM,

•••△EQG丝△MO/（SAS）,

:.MF=EG=2,

'：/GDC=NDMH,NDCG=NDHM,DG=DM,

:.△DGC/AMDH（A4S）,

:.CG=DH=2,MH=CD=4,

：.CM=V42+22=2瓜

•••CF2CM-MF,

.•・cr的最小值为2遥-2,

故答案为：2V5-2.

总结提升：本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾

股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.

8.（2023•辽宁）如图，在中，NACB=90°,ZB=60°,BC=2,点P为斜边

4B上的一个动点（点P不与点4、8重合），过点P作PO_LAC,PELBC,垂足分别为

点。和点E,连接。EPC交于点Q,连接AQ,当△APQ为直角三角形时，AP的长是

3或20.

思路引领：由己知求出AB=4,AC=2g,再分NAPQ=90°和NAQP=90°两种情况

进行讨论，即可求出答案.

解：在中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

・・・NB4C=30°，

.\AB=2BC=2X2=4,

：.AC=>JAB2-BC2=V42-22=28，

当NA尸Q=90°时,如图I,

图1

在RlaABC中，NACB=90°,NB=60°,BC=2,

AZBAC-30°,

；・AB=2BC=2X2=4,

：.AC=y/AB2-BC2=V42-22=2>/3,

VZAPQ=ZACB=^,ZCAP=ZBAC,

：./\CkPsXBkC,

—=—,即---=—尸,

APACAP273

・・・AP=3,

当NAQP=90°时，如图2,

VPD1AC,PEA.BC,N4C8=90°,

・•・四边形QPEC是矩形，

ACQ=QP.

VZAQP=W,

・・・AQ垂直平分CP,

：.AP=AC=2V3,

综上所述，当△APQ为直角三角形时，AP的长是3或2遍，

故答案为：3或2y/T

总结提升：本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握含3（）度角的

直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的

判定与性质，分类讨论的数学思想是解决问题的关键.

9.（2023•陕西）如图，在菱形A8CD中，44=4,40=7.若M、N分别是边A。、±

的动点，且AM=BN,作MELBD,NFLBD,垂足分别为E、F,则ME+NF的值为

V15

2一.

思路引领：连接AC交B。于。，根据菱形的性质得到BO_L4C,OB=OD=LOA=OC,

根据勾股定理求出0A,证明△OEMSAQOA,根据相似三角形的性质列出比例式，用

含AM的代数式表示ME、NF,计算即可.

解：连接AC交于。，

•・•四边形ABCD为菱形，

：.BD±AC,OB=OD=*7OA=OC,

由勾股定理得：0A=函2-082=@2-弓）2=苧，

•••MEtBD,AOA.BD,

:.MEaAO,

:.ADEMsADOA,

MEDM“ME4-AM

:.----=------,BP-7=-=---------,

OAAD2114

2

解得：ME=--------g--------,

同理可得：N尸=也件

O

:.ME+NF=组

故答案为：

总结提升：本题考杳的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似

三角形的判定定理是解题的关键.

10.(2023•盘龙区二模)如图，已知四边形ABC。中，A8=10c，〃，BC=8cm,CD=\2cm,

/B=/C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cMs的速度沿B・C-B运动，

同时，点Q在线段CO上由C点向。点运动.当点0的运动速度为2或3或:或停

—1344

crn/s时，能够使ABPE与△CQP全等.

思路引领：设点。在线段8c上运动的时间为/s,分两种情况讨论，①点。由3向C运

动时，△BPE^△CQP®△BPE^△CPQ，③点P由C向B运动时，ABPE/ACQP,

④△BPEg^CPQ,根据全等三角形的对应边相等列方程解出即可.

解：设点P在线段4c上运动的时间为巴

①点P由8向。运动时，BP=3t(cvn),CP=(8-3/)cm,

■:4BPE"/\CQP,

：.BE=CP=5,

，5=8-3t,

解得f=L

：,BP=CQ=3,

此时，点Q的运动速度为3+1=3(cm/s)；

②点尸由B向C运动时，

:,BP=CP,

A3/=8-31,

t=q,

此时，点。的运动速度为：5+H。威s）：

③点P由。向8运动时，CP=3f-8,

♦：4BPEq/\CQP,

:・BE=CP=5,

・・・5=3L8,

解得/=塔

：.BP=CQ=3,

此时，点Q的运动速度为3+苧=与（c〃?/s）；

④点P由C向8运动时，

,:△BPE02CPQ,

：.BP=CP=4,

3t-8=4,

7=4,

*：BE=CQ=5,

此时，点Q的运动速度为5+4=1（c加s）；

9515

综上所述：点Q的运动速度为石山海或3cm/s或或7-5而；

故答案为：77或3或:或

1344

总结提升：本题考查三角形全等的判定，掌握动点问题在解决全等三角形时边长的表示

及分情况讨论，它们也是解决问题的关键.

类型三有关圆的动点问题

11.（2023•宁波）如图，在△ABC中，AC=2,8C=4,点。在3c上，以08为半径的圆

与AC相切于点A.。是8C边上的动点，当△ACO为直角三角形时，A。的长为_|或

6

思路引领：根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可.

解：连接OA，过点A作AO_L8C于点。，

•・•圆与AC相切于点A.

：，OAA.AC,

由题意可知：。点位置分为两种情况，

①当NCA。为90°时，此时。点与。点重合，设圆的半径=r,

：.OA=rfOC=4-r,

•；AC=2,

在RtZXAOC中，根据勾股定理可得：7+4=（4-r）2,

解得：，=家

即AD=AO=去

②当NAOC=90°时，AD=^^-,

35

-_

20C=4-r=

AC=2,2?

：.AD=f,

36

综上所述，4。的长为二或二,

25

36

故答案为：£或g.

B

总结提升：本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题

的关键.

12.（2023•东城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xQy中，点A与点B的坐标分别是

（1,0）与（7,0）.对于坐标平面内的--动点P,给出如下定义：若N4PB=45°,则

称点夕为线段4/6的“等角点”.

①若点尸为线段48在第一象限的“等角点”,且在直线x=4上，则点P的坐标为（4,

3V2+3）；

②若点P为线段A4的“等角点”，并且在），轴正半轴二，则点P的坐标为（0,3±x/2）

或（0,・3士&）.

思路引领：①根据P在直线x=4上画图1,作△APB的外接圆C,连接AC,BC,可知

48=6,。。的半径为3鱼，最后计算出）的长可得点P的坐标；

②同理根据作辅助线，计算0P和0P的长，可得点尸的坐标，注意不要丢解.

解：①如图1,作AAPB的外接圆，设圆心为C,连接AC,BC,

•・•点A与点8的坐标分别是（1,0）与（7,0）,

：.AB=1-1=6,

•・・/AP8=45°,

，N4CB=90°,

•：AC=BC,

•••△A4C是等腰直角三角形，

：,AC=BC=3V2,

：.PC=3^2,

丁点尸在直线％=4上，

：.AD=4-1=3,

:・AD=BD,

VCDlAfi,

：,CD=AD=3,

:.P（4,3迎+3）,

故答案为：（4,3&+3）；

②如图2所示，同理作△AP8的外接圆，设圆心为C,过。作CQJ_x轴于。，作CE_L

OP于E,连接PC,P1C,

在），轴上存在NAP8=NAPi8=45°,

则①知：CD=OE=3,OD=CE=4,PC=3孱,

由勾股定理得：PE=1（3或y—42=企，

・••尸。=3+也

同理得：OP\=3-五,

:.P（0,3±V2）,

综上分析，点户的坐标为（0,3±V2）.

故答案为：（0,3±V2）.

总结提升：本题主要考查了坐标和图形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，解题关

键是作aAPB的外接圆.

模块二2023中考押题预测

13.(2023•驻马店二模)如图，四边形4BC。中，AB//CD,NA8C=60°,AD=BC=CD

=4,点M是四边形ABCQ内的一个动点，满足NAMQ=9(T,则点M到直线8c的距

离的最小值为3V3-2

思路引领：取A。的中点O,连接OM,过点M作ME_L8C交4c的延长线于E,过点O

作0F_L8C于F,交CZ)于G,则0M+ME20F.求出。M,。尸即可解决问题.

解：取AO的中点O,连接0M,过点M作ME_L8C交8c的延长线于E,过点。作。尸

±BC于F,交CD于G,则OM+ME2OF.

VZAMD=90°,AD=4,OA=OD,

1

OM=^AD=2,

,:AB〃CD,

••・NGCF=NB=60°,

：,ZDGO=ZCGF=30U,

•；AD=BC,

••・ND4B=N8=60°,

/.ZADC=ZBCD=120°,

AZDOG=30°=ZDGO,

：.DG=DO=2,

VCD=4,

・•・CG=2,

・・・OG=2OO・cos30°=2x/3,GF=瓜。/=3百，

・•・ME力OF-OM=3V3-2,

・•・当。，M,七共线时，ME的值最小，最小值为3遥一2.

总结提升：本题考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，

解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

14.(2023•普定具模拟)如图，点M是440/3平分线上一点，ZA()B=6(Y),ME_LQA于

E,OE=正,如果P是OB上一动点，则线段MP的取值范围是MPN泮.

-------3-

0'B

思路引领：过M点作MRLOB于F,如图，先根据角平分线的性质得到ME=MF,ZAOM

=30°,再利用含30度角的直角三角形三边的关系得到"£=单，所以MF=隼，然

后根据垂线段最短可确定线段MP的取值范围.

解：过M点作于F,如图,

•••。”平分/4。8,"£_104,“尸_108,

11

:,ME=MF,ZAOM=^ZAOB=x60°=30°,

在RlZSOME中，VZA7OE=30°，

:.ME=*