24.7 向量的线性运算同步练习-第1课时深度解析与实战练习

24.7向量的线性运算同步练习_第1课时深度解析与实战练习一、知识回顾（一）向量的基本概念1.向量的定义向量是既有大小又有方向的量。我们可以用有向线段来直观地表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。例如，在物理学中，力就是一个典型的向量，它不仅有大小（如力的大小可以用牛顿来度量），还有方向（如拉力的方向、推力的方向等）。2.向量的模向量的模是指向量的大小，记作\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)。若向量\(\overrightarrow{a}\)用有向线段\(\overrightarrow{AB}\)表示，则\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{AB}\vert\)，它就是线段\(AB\)的长度。3.零向量与单位向量零向量是模为\(0\)的向量，记作\(\overrightarrow{0}\)，它的方向是任意的。单位向量是模为\(1\)的向量。对于任意非零向量\(\overrightarrow{a}\)，与它同方向的单位向量可以表示为\(\frac{\overrightarrow{a}}{\vert\overrightarrow{a}\vert}\)。（二）向量的线性运算1.向量的加法-三角形法则：已知非零向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，在平面内任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和，记作\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，即\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。-平行四边形法则：以同一点\(O\)为起点的两个已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)为邻边作平行四边形\(OACB\)，则以\(O\)为起点的对角线\(\overrightarrow{OC}\)就是\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的和。-加法运算律：向量加法满足交换律\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)和结合律\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。2.向量的减法向量的减法是加法的逆运算。若\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}\)，则\(\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)。在平面内任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}\)。3.向量的数乘实数\(\lambda\)与向量\(\overrightarrow{a}\)的积是一个向量，记作\(\lambda\overrightarrow{a}\)，它的长度与方向规定如下：-\(\vert\lambda\overrightarrow{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\overrightarrow{a}\vert\)；-当\(\lambda\gt0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)的方向相同；当\(\lambda\lt0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{a}\)的方向相反；当\(\lambda=0\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)。-数乘运算律：\(\lambda(\mu\overrightarrow{a})=(\lambda\mu)\overrightarrow{a}\)，\((\lambda+\mu)\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{a}+\mu\overrightarrow{a}\)，\(\lambda(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=\lambda\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow{b}\)。二、深度解析（一）向量加法与减法的几何意义向量加法的三角形法则和平行四边形法则是理解向量加法几何意义的关键。三角形法则强调的是向量首尾相连，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；平行四边形法则则是基于平行四边形的性质，通过邻边向量来确定和向量。例如，在一个物理情境中，一个物体同时受到两个力\(\overrightarrow{F_1}\)和\(\overrightarrow{F_2}\)的作用，我们可以用向量加法来求出这两个力的合力\(\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\)。如果用三角形法则，我们可以将\(\overrightarrow{F_2}\)的起点平移到\(\overrightarrow{F_1}\)的终点，那么从\(\overrightarrow{F_1}\)的起点到\(\overrightarrow{F_2}\)的终点的向量就是合力\(\overrightarrow{F}\)；若用平行四边形法则，以\(\overrightarrow{F_1}\)和\(\overrightarrow{F_2}\)为邻边作平行四边形，则从共同起点出发的对角线向量就是合力\(\overrightarrow{F}\)。向量减法的几何意义是连接两个向量的终点，方向指向被减向量的终点。例如，在平面直角坐标系中，已知\(\overrightarrow{OA}=(3,4)\)，\(\overrightarrow{OB}=(1,2)\)，则\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(3-1,4-2)=(2,2)\)。从几何角度看，\(\overrightarrow{OA}\)和\(\overrightarrow{OB}\)的终点分别为\(A(3,4)\)和\(B(1,2)\)，\(\overrightarrow{BA}\)就是从\(B\)指向\(A\)的向量。（二）向量数乘的作用向量数乘可以改变向量的大小和方向。当\(\lambda\gt1\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的模比\(\overrightarrow{a}\)的模大，即向量被伸长；当\(0\lt\lambda\lt1\)时，\(\lambda\overrightarrow{a}\)的模比\(\overrightarrow{a}\)的模小，向量被缩短；当\(\lambda\lt0\)时，不仅向量的大小会改变，方向也会与\(\overrightarrow{a}\)相反。例如，在一个速度向量\(\overrightarrow{v}\)中，如果\(\lambda=2\)，那么\(2\overrightarrow{v}\)表示速度大小变为原来的\(2\)倍，方向不变；如果\(\lambda=-\frac{1}{2}\)，则\(-\frac{1}{2}\overrightarrow{v}\)表示速度大小变为原来的\(\frac{1}{2}\)，方向与原来相反。（三）向量线性运算的综合应用在解决向量线性运算的综合问题时，常常需要结合向量的基本性质和运算律。例如，已知\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)不共线，且\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{BC}=-5\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{CD}=7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)，判断\(A\)，\(B\)，\(D\)三点是否共线。首先，我们需要求出\(\overrightarrow{BD}\)，根据向量加法的三角形法则，\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(-5\overrightarrow{a}+6\overrightarrow{b})+(7\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}\)。又因为\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\)，所以\(\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}\)。根据向量共线的判定定理，如果存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{BD}=\lambda\overrightarrow{AB}\)，则\(\overrightarrow{BD}\)与\(\overrightarrow{AB}\)共线，且\(\overrightarrow{BD}\)与\(\overrightarrow{AB}\)有公共点\(B\)，所以\(A\)，\(B\)，\(D\)三点共线。三、实战练习（一）基础题1.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)，\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}\)。-解：-\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+(-3),2+4)=(-2,6)\)；-\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(1-(-3),2-4)=(4,-2)\)；-\(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=3(1,2)-2(-3,4)=(3,6)-(-6,8)=(3-(-6),6-8)=(9,-2)\)。2.若\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{AC}\)等于（）-A.\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)-B.\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)-C.\(-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)-D.\(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)-解：根据向量加法的三角形法则，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，所以答案选A。3.已知\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=2\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)方向相反，则\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的关系是（）-A.\(\overrightarrow{a}=\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\)-B.\(\overrightarrow{a}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\)-C.\(\overrightarrow{a}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)-D.\(\overrightarrow{a}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)-解：因为\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)方向相反，且\(\vert\overrightarrow{a}\vert=3\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert=2\)，所以\(\overrightarrow{a}=-\frac{\vert\overrightarrow{a}\vert}{\vert\overrightarrow{b}\vert}\overrightarrow{b}=-\frac{3}{2}\overrightarrow{b}\)，答案选B。（二）提高题1.设\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)是两个不共线的向量，已知\(\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}\)，\(\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}\)，若\(A\)，\(B\)，\(D\)三点共线，求\(k\)的值。-解：首先求出\(\overrightarrow{BD}\)，\(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=(2\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2})-(\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2})=\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2}\)。因为\(A\)，\(B\)，\(D\)三点共线，所以\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{BD}\)共线，即存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{BD}\)。则\(2\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}=\lambda(\overrightarrow{e_1}-4\overrightarrow{e_2})=\lambda\overrightarrow{e_1}-4\lambda\overrightarrow{e_2}\)。由于\(\overrightarrow{e_1}\)，\(\overrightarrow{e_2}\)不共线，所以\(\left\{\begin{array}{l}2=\lambda\\k=-4\lambda\end{array}\right.\)，将\(\lambda=2\)代入\(k=-4\lambda\)，得\(k=-8\)。2.已知\(\overrightarrow{OA}=(3,-4)\)，\(\overrightarrow{OB}=(6,-3)\)，\(\overrightarrow{OC}=(5-m,-3-m)\)，若\(\triangleABC\)为直角三角形，且\(\angleA\)为直角，求实数\(m\)的值。-解：首先求出\(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AC}\)。\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(6-3,-3-(-4))=(3,1)\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(5-m-3,-3-m-(-4))=(2-m,1-m)\)。因为\(\angleA\)为直角，所以\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，根据向量垂直的性质，若\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)。所以\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3(2-m)+1\times(1-m)=0\)，即\(6-3m+1-m=0\)，\(7-4m=0\)，解得\(m=\frac{7}{4}\)。（三）拓展题1.在\(\triangleABC\)中，\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\)，若点\(D\)满足\(\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}\)，则\(\overrightarrow{AD}\)等于（）-A.\(\frac{2}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)-B.\(\frac{5}{3}\overrightarrow{c}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\)-C.\(\frac{2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)-D.\(\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}\)-解：因为\(\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}\)，所以\(\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)。又因为\(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)，所以\(\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\)。则\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{c}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=\overrightarrow{c}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}-\frac{2}{3}\overrightarrow{c}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}\)，答案选A。2.已知\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)是两个不共线的向量，\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{OC}=t\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\)。-（1）若\(A\)，\(B\)，\(C\)三点共线，求\(t\)的值；-（2）若\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\vert\overrightarrow{b}\vert=1\)，且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(120^{\circ}\)，当\(t\)为何值时，\(\overrightarrow{OC}\perp\overrightarrow{AB}\)？-解：-（1）\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)，\