2026年高考数学一轮复习重难点20 数列的综合应用（举一反三专项训练）（全国）（解析版）

重难点20数列的综合应用【全国通用】题型归纳题型归纳【题型1等差、等比数列的综合问题】 2【题型2数列中的数学文化问题】 5【题型3数列的通项公式的求解】 7【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】 【题型5数列中的不等式证明问题】 【题型6数列求和问题】 【题型7数列中的结构不良题】 【题型8数列与其他知识的交汇问题】 【题型9数列中的新定义、新情景问题】 命题规律命题规律数列是高考的重点内容和热点内容，命题形式多种多样，大小均有，属于高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，数列的综合应用问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考的热点前n项和公式等.这类问题综合性强，难度大，需要学会灵活求解.方法技巧方法技巧知识点1等差、等比数列的交汇问题的解题策略(1)等差与等比数列的基本量间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.(2)数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化.知识点2数列的数学文化问题(3)求解模型：利用数列知识求解数列的基本量、通项公式、前n项和等，解决问题.知识点3数列的新定义、新情景问题要求，“照章办事”,逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决.(2)新情景问题：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.知识点4数列的综合应用析法、放缩法等；若是含参数的不等式恒成立、有解问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决.第四步：反思解题过程，检验易错点，规范解题步骤.对式子化简变形.注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性.3.子数列问题的解题策略子数列是数列问题中的一种常见题型，将原数列转化为子数列问题一般适用于某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维.(1)先定后动，先对题目中确定的条件进行分析推断，再观察分析“动”条件，结合题干要求选出最适合自己解答的条件求解.(2)最优法，当题干中确定的条件只有一个时，要根据自己的知识行解答.【题型1等差、等比数列的综合问题】ag成等比数列，则a₆=()A.30B.32C.36【解题思路】利用等差数列的求和公式可得a₁+2d=14,再由等比中项可得d=3a₁,两式联立可得a₁和d,然后求出数列的通项可得a₆.【解答过程】由,即a₁+2d=14,又a₂,a₄,ag成等比数列，则a2=a₂ag,即(a₁+3d)²=(a₁+d)(a₁+8d),得d=3a₁,故选：B.【变式1-1】(2025·湖北黄冈·三模)给出条件p:△ABC的三边既成等差数列又成等比数列；q:△ABC为正三角形；则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解题思路】本题可根据充分条件和必要条件的定义，分别判断p能否推出q以及q能否推出p.【解答过程】若△ABC的三边既成等差数列又成等比数列，则2b=a+c,b²=ac.,a=C∴a=c=b,即△ABC的形状是等边三角形.若△ABC为正三角形，则三边a=b=c.因为a=b=c,所以2b=a+c,满足等差数列定义，公差为0;又因为a=b=c,所以b²=ac,满足等比数列定义，公比为1,即三边既成等差数列又成等比数列，所以q→p,p是q的必要条件，所以p是q的充分必要条件，【变式1-2】(2025·全国·模拟预测)已知等差数列{an}满足azn=2an+1,且a₁+1,a₂+1,a₃+3为等比数列.(2)由(1)知an=2n-1,故bn=3n-1an=(2n-1)3n-1,利用错位相减法即可求解.【解答过程】(1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a₁+(n-1)d,n∈N*.(2)由(1)知an=2n-1,∴bn=3n-1an=(2n-1)3n-1,3Sn=1×3¹+3×3²+5×3³+…+(2n-3)·3n且bn+1>bn,,a₄-b₂=5.(2)由(1)可知Cn=anbn=(2n-1)2n-1,利用错位减法求解前n项和Tn即可.【解答过程】(1)设等差数列{an}的首项为a₁,公差为d,等比数列{bn}的首项为b₁,公比为q,,解得(2)由(1)可知Cn=anbn=(2n-1)2n-1,当c₁=a₁b₁=1,则Tn=C₁+C₂+C₃+…+Cn-1+Cn=2⁰+3×2¹+5×2²+…+(2n-3)×2n-2+(2n-12Tn=2¹+3×2²+5×2³+…+(2n-3)×2n-1+(2=-1-2×2¹-2×2²+…-2×2n-1+n×=-1-2(2¹+2²+…+2n-1)+n×【题型2数列中的数学文化问题】春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为()A.15B.16C.17【解题思路】令所给等差数列为{an},由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解.【解答过程】令所给等差数列为{an},n∈N*,n≤12,其前n项和为Sn,则数列{an}的公差d=a₅-a₄=1,所以谷雨日影长ag=a₅+4d=16.【变式2-1】(2025·陕西汉中·模拟预测)鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为1mm、公差为4mm的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为190mm,则该鬼工球的层数为()A.9B.10【答案】C【解题思路】根据已知条件确定该等差数列的首项、公差，再利用前n项和公式建立方程，进而求解鬼工球的层数n.【解答过程】已知每层与其外一层球面的间距构成首项a₁=1mm、公差d=4mm的等差数列.设该鬼工球的层数为n,由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前n项和，即Sn=190mm.根据等差数列前n项和公式得到n₁=10,(因为层数n为正整数，所以舍去).该鬼工球的层数为11.故选：C.【变式2-2】(2025·云南昆明·模拟预测)每年6月到9月，昆明大观公园的荷花陆续开放，已知池塘内某种单瓣荷花的花期为3天(第四天完全凋谢),池塘内共有2000个花蕾，第一天有10个花蕾开花，之后每天花蕾开放的数量都是前一天的2倍，则在第几天池塘内开放荷花的数量达到最大()A.6【答案】C【解题思路】每天荷花的数量都是前一天的2倍，则荷花朵数为等比数列，利用等比数列的通项公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋谢的情况.【解答过程】设第n天水塘中的荷花朵数为an,则an=10×2n-1,设第n天池塘内开放荷花的数量为bn,则b₁=a₁,b₂=a₁+a₂,bn=an+an-1+an-2=70×2n-3,3≤n所以荷花的数量在第8天达到最大.【变式2-3】(2025·山东青岛·三模)《九章算术》是中国古代的数学名著,书中有“分钱问题”:现有5个人分5钱，5人分得钱数依次成等差数列，前两人分得钱数之和等于后三人分得钱数之和，则分得钱数最少的一人钱数为()【答案】C【解题思路】设第n(1≤n≤5,n∈N*)所得钱数为an钱，设数列a₁、a₂、a₃、a₄、as的公差为d,根据已知条件可得出关于a₁、d的值，即可求得a₅的值.【解答过程】设第n(1≤n≤5,n∈N*)所得钱数为an钱，则数列a₁、a₂、a₃、a4、a₅为等差数列，【题型3数列的通项公式的求解】【例3】(2025-江西新余·模拟预测)已知数列{an}满足34n+1-3an=2n,且a₁=1,则数列{an}的通项公式C.an=log₃(2n+1)D.an=log₃(2n+1-【解题思路】由累加法及等比数列前n和公式可得3n=2n+1,即可得到an=log₃(2n+1).【解答过程】由3n+1-3an=2n,知(3a²-341)+(3a³-3a2)+…+(3an-3an-1)=2+2²+…+2n-1,故an=log₃(2n+1),又a₁=1适合上式，故an=log₃(2n+1A.bn=2n-1+1B.bn=2”+1C.bn=2n-1-1【解题思路】根据条件，利用an与Sn间的关系，得到an=2n-1,从而有bn+1-bn=2n-1,再利用累加法，即可求解.【解题思路】(1)根据an与Sn的关系化简题设可得数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列，进而求解即【解答过程】(1)令n=1,,即a₁=2,所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列，(2)由(1)知，数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列，且an=2×3n-1,(3)由裂项相消法求和即可.【解答过程】(1)由Sn=anan+1可得Sn-1=an-1an,n≥2,由S₁=a₁a₂→a₂=1,所以a₂,a₄,a6,…,a₂k是公差为1的等差数列，从而azk=1+(k-1)×1=k,所以所所【题型4数列中的不等式恒成立、有解问题】恒成立，则实数λ的取值范围是()A.B.(-∞,1)【解题思路】构造等比数列,由题意对于任意的n∈N*,恒成立，故只需求出即可.【解答过程】由题意令an+1-λ=2(an-λ),所以an+1=2an-λ,对比可得所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，对于任意的n∈N*,λ(2an-1)<2an-2恒成立，即对于任意的n∈N*,λ·2n+1<2n+1-1恒成立，即对于任意的n∈N*,恒成立，A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】根据题意，利用反例法，可得判定充分性不成立；结合|anI=ISn-Sn-1l<ISnI+ISn-1<2m₂,取M₁=2M₂,得到均有|anl<M₁,所以必要性成立，即可得到答案.【解答过程】若an=1,则对于任意的n∈N*,均有|anl<2,此时Sn=n,对于任意的n∈N*,不存在M₂>0,使得|SnI<M₂,所以充分性不成立；若对于任意的n∈N*,存在M₂>0,使得|SnI<M₂,则对于任意的n∈N*,均有|anl<M₁,所以必要性成立，所以“存在M₁>0,对于Vn∈N*,|anl<M₁”【变式4-2】(2025·山西忻州·模拟预测)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n+1+1.【解题思路】(1)根据数列前n项和Sn与通项an的关系来求解数列的通项公式，最后需要检验n=1时的情况是否满足n≥2时的通项公式.(2)已知条件得到关于λ的不等式，通过构造数列{cn},求出数列{cn}的最小值，进而确定λ的取值范围.【解答过程】(1)Sn=2n+1+1,则当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1+1-(2n+1)=2n,只需解得3≤n≤4,.【解题思路】(1)由an与Sn的关系，代入计算，结合等差数列的通项公式，即可得到结果；【解答过程】(1)令n=1,可得4S₁=a²+2a₁+1,故4a₁=a²+2a₁+1,所以a₁=1,所以2an+2an-1=(an+an-1)(an-所以(an+an-1)(an-an-1-2数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列，通项公式为an=2n-1.所以Tn=(4+12+20+…+4n-4)+(2当n=3时，n²-7n取最小值，最小值为-12,所以λ≤-12,当n=4时，n²-9n取最小值，最小值为-20,所以λ≤-20,【题型5数列中的不等式证明问题】【解题思路】(1)求出数列的公差，可求出数列的通项公式，进而可求得数列{an}的通项公式；(2)利用裂项求和法求出Sn,即可证得结论成立.【解答过程】(1)因为数列{an}中，a₁=3,a₃=15,且数列为等差数列，【解题思路】(1)令n=1,求出a₁的值，对任意的n∈N*,由Sn=2an-n可得两【解答过程】(1)因为Sn=2an-n(n∈N*)①,所以a₁=2a₁-1,解得a₁=1,(2)证明：(2)利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可.【解答过程】(1)因为Sn=2an-n①.令n=1得S₁=2a₁-1,由①-②得an=2an-2an-1-1,又a₁+1=2≠0,所以数列{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列，故an+1=2n,所以an=2n-1.①求{bn}的前20项和；②②证明见解析【解题思路】(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意可得2a₁=d,对于,即可求出a₁、【解答过程】(1)设等差数列{an}的公差为d,取n=1,得a₂=2a₁(2)①由(1)知，所以,所以{bn}的前20项和为20【题型6数列求和问题】【例6】(2025-江西·模拟预测)已知数列{an}满足：a₁=2,an+1=a₁+2a₂+3a₃+…+nan,令bn=,数列{bn}的前n项和Sn,则S₂025=()3a₃+…+(n-1)an-1,两式作差得出,利用累乘法可求出an在n≥2时的表达式，结合裂项相【变式6-1】(2025-湖北武汉·模拟预测)数列{(-1)n-1.n}(n∈N*)的前2025项和为()A.1012B.-1012C.1013【解答过程】设数列{(-1)n-1.n}的前n项和为Sn,则S2025=1-2+3-4+5-6+…+2023-2024+可以将相邻两项看作一组，即(1-2),(3-4),(5-6),…,(2023-2024),一共有2024÷2=1012组，每一组的值都为-1,例如1-2=-1,3-4=-1,5-6=-1,以此类推.因为一共有1012组，每组的值为-1,所以前2024项分组后的和为1012×(-1)=-1012.S₂025等于前2024项分组后的和加上最后一项2025,即S₂025=-1012+2025=1013.bn=Tn-Tn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1(n≥2,n∈(2)由(1)知，b₃=1.【解答过程】(1){an}是等差数列，设公差为d,{bn}是等比数列，设公比为q,则q≠0,解得d=q=2或d=q=0(舍去)T₂n=C₁+C₂+…+C₂n=(c₁+C₃+…+C₂n-1)【题型7数列中的结构不良题】中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上(只要写序号),并解答该题.(2),数列{bn}的前n项和为Tn,证明： 如果选条件③,可直接得到Sn与an的关系，进而可得到an的通项公式.(2)由已知条件，可求得bn的通项公式，从而得到Tn的表达式，即可证明【解答过程】(1)对于条件①,当n=1时，a₁=S₁=1²-2=-1<0,不符合题意.(如果选条件①,不得分)如选②:a₁=1,an+1=√Sn+1+√Sn,Sn+1-Sn=√Sn+1+√Sn,(√Sn+1-√Sn)(√Sn+1+√Sn)=√Sn+1+√Sn即(an-an-1-2)(an+an-1)=0,因为an>0,所以an-an-1=2,则{an}是首项为1,公差为2的等差数列，在下面的问题中，并解答.(注：若选择多个解答，按第一个解答计分)【解题思路】(1)选择条件①②③,利用等比数列的通项公式及前n项和列出方程，求出首项、公比即可得解.选择条件①,S₂-3a₁=0,则a₁+a₂-3a₁=0,即a₂=2a₁,于是a₁=q=2,(2)由(1)知，当n为奇数时，bn=2n-1,当n为偶数时，bn=an=2n,=(1+5+9+…+4n-3)+(4+4²+下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.【解答过程】(1)设等比数列{bn}的公比为q,(q>0)(2)选①:3S₂=S₃-3,∴3(b₁+3b₁)=b₁+3b₁+9b₁-3,∴b₁=3 【解题思路】(1)若选择条件①,根据等比中项的性质求出d,即可求出通项,解得即可.所以a²=ag·a₁,即(1+2d)²=1+8d,解得d=1或d=0(舍去),,所以9d=a₄+a₅+a₆-(a₁+a₂+a₃)=9,则d=1,(2)由(1)可得因,所以Sn<2.【解题思路】(1)根据题目所给条件化简，即可证明结论；(2)先求出{an}的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x,作差并利用等比数列前n项和得出导函数表达式，即可得出结论.【解答过程】(1)由题意证明如下，n∈N*,∴{nan}是以a₁=3为首项，1为公差的等差数列.(2)由题意及(1)得，n∈N*,在数列{nan}中，首项为3,公差为1,f(x)的所有大于0的零点构成递增数列{an}.【答案】6【解题思路】(1)由二倍角公式和辅助角公式化简可得令f(x)=0,结合正弦(2)由错位相减法求和可得结果.【解答过程】(1)由题-2Sn=1×(-2)²+2×(-2)³+3×(-2)⁴+…+(n-1)·(-2)①-②,得3Sn=-2+(-2)²+(-2)³+…+(-2)n-n·(-2)n+1【变式8-2】(2025-河南周口·模拟预测)已知点P₁(t+1,t)在抛物线C:x²=4y上，过线交C于另一个点Q₁,设P₂与Q₁关于y轴对称，再过P₂作斜率为-1的直线交C于另一个点Q₂,设P₃与Q₂关于y轴对称，以此类推一直作下去，设Pn(xn,yn)(n∈N*).【解题思路】(1)由点在抛物线上，坐标代入求参数值；(2)根据已知得1、Qn-1(-xn,Yn),联立抛物线得xn=Xn-1+4,根据等差数列的定义有xn=4n-2,最后应用裂项相消法及数列的单调性求Tn范围；(3)由(2)及已知得PnPn+2为(2n+1)x-y-4n²-4n+3=0,应用点线距离公式、两点距离公式以及三角形面积公式求△PnPn+1Pn+2(n∈N*)的面积.【解答过程】(1)因为点P₁(t+1,t)在抛物线C:x²=4y上，则(t+1)²=4t,解得t=1;故数列{xn}是首项为2,公差为4的等差数列，所以xn=2+4(n-1)=4n-2,IPnPn+21=√(4n+6-4n+2)²+[(2n+3)²-(2n-1)²]²=√64(2n+1)²+64=8次的状态有关，与第n-1,n-2,n-3,.….次状态无关.已知有A,B两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从A,B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn,恰有1个红球的概率为pn,恰有2个红球的概率为qn·【答案】【解题思路】(1)根据题意可得A盒子中没有红球的概率为1-Pn-In,进而根据规则求解即可；(2)由题意可得整理可(3)由题意可得qn=Pn-1,整理可得进而求解Xn的分布列，再计算数学期望即可.【解答过程】(1)由题意，A盒子中没有红球的概率为1-Pn-qn,所以数列是为首项，公比的等比数列，所以2则Xn的可能取值为0,1,2,012P【题型9数列中的新定义、新情景问题】【例9】(2025-河南信阳·模拟预测)对于数列{xn},若存在实数M>0,使得对一切正整数n,恒有|xnl≤M成立，则称数列{xn}为有界数列.设数列{an}的前n项和为Sn,则下列选项中，满足数列{Sn}为有界数列的是()A.an=2n+1B.an=(-2)nC.【答案】C【解题思路】根据有界的概念，求出每个选项的前n项和为Sn,再判断是否存在实数M>0,使|SnI≤M恒成立即可.【解答过程】对于A,an=2n+1,此时{an}为等差数列，则,无界，故A错误；对于B,an=(-2)”,此时{an}为等比数列，则,无界，故B错误；对于C,所以|SnI≤1恒成立，即Sn有界，故C正确；对于D,an=(-1)nn²,则a₂m-1+a₂m=-(2m-1)²+(2m)²=4m-1,【答案】C【解题思路】对于ABD:举反例说明即可；对于C:根据题意分析可得am₂>am₁,结合单调性可得m₂>m₁,即可得结果.【解答过程】对于选项AB:例题an=1,可知{an}即为等差数列也为等比数列，则a₁+a₂=2,但不存在m∈N*,使得am=2,对于选项C:因为an>0,对任意n1,n₂∈N*,n₁<n₂,可知存在m₁,m₂∈N*,则am₂-am₁=an₁+1+an₁+2+…+anz>0,【解答过程】(1)令an+1-an=dn,则dn=(n+1)²+2(n+1)-(n²+2n)=2n+3,(2)令an+1-an=dn,所以Sn=a₁+a₂+a₃+…+an=(a整理得2(n²-1)Sn≤n(n+1)Sn-1+n(n-1)Sn+1,所【变式9-3】(2025-湖北·三模)已知数列A:a₁,a₂,…,an(n≥4),其中a₁,a₂,…,an∈Z,且a₁<a₂<…<an·若数列B:b₁,b₂,…,bn满足b₁=a₁,bn=an,当i=2,3,…,n-1时，bi=ai-1+1或ai+1-1,则称数列B:b₁,b₂,…,bn为数列A的“调节数列”.例如，数列A:1,3,5,7的所有“调节数列”为1,2,4,7;或者1,2,6,7;或者1,4,4,7;或者1,4,6,7.(1)直接写出数列A:1,3,6,7,8的所有“调节数列”B;(2)若数列A满足通项an=2n(n∈N*),将数列A的“调节数列”中的递增数列记为Bk,数列Bk中的各项和为Sk,求所有S的和；(3)已知数列A满足：a₁=1,an=2025,若数列A的所有“调节数列”B均为递增数列，求所有符合条件的数列A的个数.【答案】(1)B₁:1,2,4,7,8;B₂:1,2,6,7,8;B₃:1,5,4,7,8;B₄:1,5,6,7,8(3)所有符合条件的数列A共有2026-n个【解题思路】(1)根据“调和数列”B的定义，即可求解；(2)根据条件依次写出满足条件的BR,再根据分组转化法求和；(3)首先由数列A为递增数列，则条件ai-1+1<ai+1①,ai+都恒成立，再由ai+1-1<ai+1④分析，得到a₂的不同取法种数，即可求解符合条件的数列A的个数.【解答过程】(1)B₁:1,2,4,7,8;B₂:1,2,6,7,8;B₃:1,5,4,7,8;B₄:1,5,6,7,8.(2)因为a₁=2,an=2n,由题意bi∈{3,5,…2n-1}不妨设B₁:2,3,5,...2n-3,2n;则S₁=2+3+5+…+2n-5+2n-3+2nB₂:2,3,5,..2n-5,2n-1,2n;则S₂=2+3+5+…+2n-5+2n-1+2n依此类推Bn-1:2,5,7,…2n-3,2n-1,2n;则Sn-1=2+5+7+…+2n-3+2n-1+2n=2(n-1)(1+n)+(n-2)(3+5+…+2n-=2(n-1)(1+n)+(n-2)(n+1(3)依题意，对任意i=2,3,…,n-2,有bi=ai-1+1或ai+1-1,bi+1=ai+1或ai+2-1,ai-1+1<ai+1①,ai+1-1<ai+2-1②,ai-1+1<ai+2-1③,ai+1-1<ai+1④.又因为A为整数数列，对于③,ai-1+1≤ai<ai+1≤ai+2-1也恒成立.对于④,一方面，由ai+1-1<ai+1,得ai+1<ai+2,即ai+1≤ai+1.即A从第2项到第n-1项是连续的正整数，所以a₂≥a1+1=2,an-1=a₂+n-3≤an-1=因此2≤a₂≤2027-n,故a₂共有2026-n种不同取值，即所有符合条件的数列A共有2026-n个.过关测试过关测试一、单选题【解题思路】应用累加法，结合分组求和、等差等比前n项和公式求通项公式.【解答过程】由题设an+1-an=n+2n,即an=an-an-1+…+a₃-a₂+a₂-a₁+a₁=(n-1)+2n-1+…+2+2²+1+2¹+1,该数列的前5项和为()A.10B.15C.30【解题思路】由5a₂是a₄与3a₃的等差中项可得2×5a₂=a₄+3aʒ,再利用等比数列的通项公式代入求出a₁和q,最后利用等比数列的前n项和公式求解即可.又5a₂是a₄与3a₃的等差中项，所以2×5a₂=a₄+3a₃=a₂q²+3a₂q,即2q²+6q=20,所以该数列的前5项和【解题思路】根据给定的递推公式求出azn-1即可求解.【解答过程】依题意，,则,而【答案】C再裂项求和即可.则数列是首项为1,公差为1的等差数列，所!,则5.(2025-江西九江·三模)九江银行·2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑.此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划.计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束.请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的A.736公里B.724公里C.692公里D.660公里【答案】C【解题思路】根据题意，前4周的跑步量为等比数列，第5周到第10周的跑步量为等差数列，第11周到第20周的跑步量为常数列，分别求和即可.【解答过程】记第一周跑步量为a₁=2,则S₄=2+4+8+16=30,所以前4周的跑步量为等比数列，所以a₅=30+2=32,则a10=32+5×2=42,a₁1=42+2=44,故第5周到第10周的跑步量为等差数第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是30+222+440=692公里.6.(2025·广西·模拟预测)行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若,a₁=1,则S₇=()A.31B.63C.127D.【答案】C【解题思路】根据行列式定义及等比数列的通项公式求出公比，再由求和公式得解.【解答过程】根据题意可得：2a₃-a₄=0,因为数列{an}是等比数列，a₁=1,则化简得2a₁q²-a₁q³=q²(2-q)=0,7.(2025·甘肃定西·模拟预测)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a₁+a₃=5,S₄=15,若对于任意n∈N*,A.(-8,2)B.(-2,8)C.(-10,6)D.(-6,【解题思路】根据已知及等比数列通项公式、前n项和公式求基本量，再应用基本不等式的最小值，由不等式恒成立并解一元二次不等式求参数范围.【解答过程】设数列{an}的公比为q,由题意知q≠1,所以an=2n-1,,当且仅当,当且仅当即n=4时等号成立，(1-λ)bn.若对任意的λ∈[0,1],an、bn、Cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有()A.4个B.3个C.1个D.无数个【答案】B【解题思路】由Cn=λan+(1-λ)bn可知cn范围，再由三角形三边关系可得an,bn,Cn的不等关系，结合函数零点解不等式可得.【解答过程】由题意an,bn,Cn>0,不妨设A(n,an),B(n,bn),C(n,cn),①若an≤bn,即10n-9≤2n时，此时n=1或n≥6.所以有,解得n=6;②若an≥bn,即10n-9≥2”时，此时n=2,3,4,5.A.为等差数列B.采用分组求和和错位相减法求和判断D.证明为递增数列判断C;,所是首项为3,公比为的等比数列，,整理故B正确；数列{2n-1}为首项为1,公差为2的等差数列，则数列{2n-1}的前n项和“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……设第n层有an个球，则()B.S₃n,S6n-S₃n,Sgn-S(Sgn-S6n)-(S6n-S₃n)=9n²d,(S6n-S₃n)-S3n=9n²d,(Sgn-S6n)-(S₆n-S3n)=(S6n-S∴Sn=na₁,Szn=2na₁,S3n=3na₁,Szn若n≥2,则a₁+2a₂+…+2n-2an-1=(n-1则an·d+1=2n,即an·d=2n-1,故答案为：255.(2)通过裂项相消的方法化简Tn的表达式，并证明不等式.【解答过程】(1)在等差数列{an}中，Ba₂=9,则a₂=3.【答案】【解题思路】(1)根据导数的几何意义写出切线方程，求出关于数列{xn}的递推公式，判断数列的性质求其通项公式或利用累乘法求其通项公式.(2)利用错位相减法求数列的前n项和，或构造数列{cn},,根据nxn=Cn+1-Cn利用裂项求和法求数列的前n项和，再判断Sn与4的大小.【解答过程】(1)由已知f'(x)=2x,令y=0,得-x2=2xn(xn+1-xn).因为x₁=1,代入上式，依次解得所当n=1时，因为x₁=1,所以上式亦成立.(2)解法一：【解题思路】(1)由an+1=Sn+1-Sn和an+1+an+2=Sn+2-Sn并结合题意即可求解；(2)由(1)可求得an=(-2)n-1,从而可得anbn=(n-1)(-2)n-1,再利用错位相减法即可求解.【解答过程】(1)由题意若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则得2Sn=Sn+1+Sn+2,即2Sn=Sn+an+1+Sn+an+1+an+2,故q=-2.所以anbn=(n-1)(-2)n-1,Tn=0+1×(-2)+2×(-2)²+…+(n-2)(-2)n-²+(n-1-2Tn=0+1×(-2)²+2×(-2)³+…+(n-2)(-2)n-1+所以数列{anbn}的前n项和(2)Vn∈N*,I={0,1},有Tn={p₁a₁b₁+P₂a₂b₂+…+Pn-1an-1bn-1+PnanbnIP₁,p₂…Pn-(i)求证：对任意实数t∈Tn,均有t<an+1bn+1;(ii)求Tn所有元素之和.【答案】(1)an=3n-1,bn=2”;(2)(i)证明见解析；(ii)2n-1·[8+(3n-4)2n+【解题思路】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}公比为q(q≠0),由题设列出关于d和q(q≠0)的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解；(2)(i)由题意结合(1)求出an+1bn+1和p₁a₁b₁+P₂a₂b₂+…+pn-1an-1bn-1+Pnanbn的最大值，再作差比较两者大小即可证明；(ii)法一：根据p₁,P₂…,Pn-1,Pn中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将Tn中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解；法二：根据Tn元素的特征得到Tn中的所有元素的和中各项a;bi(i∈{1,2,…,n})出现的次数均为2n-1次即可求解.【解答过程】(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}公比为q(q≠0),所