2026年高考数学一轮复习专题8.2 两条直线的位置关系（举一反三讲义）（全国）（解析版）

专题8.2两条直线的位置关系(举一反三讲义)【全国通用】【题型1求与已知直线平行、垂直的直线方程】 【题型2两条直线平行及其应用】 【题型3两条直线垂直及其应用】 【题型4直线的交点问题】 【题型5点到直线的距离公式的应用】 【题型6两条平行直线间的距离公式的应用】 1【题型7与距离有关的最值问题】 【题型8点、线间的对称问题】 【题型9直线系方程】 1、两条直线的位置关系真题统计(1)能根据斜率判定两条直线(2)能用解方程组的方法求两会求两条平行直线间的距离2022年上海卷：第7题，5分2024年北京卷：第3题，4分2025年全国一卷：第7题，5分2025年天津卷：第12题，5分两条直线的位置关系、距离公式的考查灵活求解.知识点1两条直线的位置关系1.两条直线的位置关系A₁B₂-A₂B₁≠0(当A₂B₂≠0时，记为≠A₁A₂+B₁B₂=0(当B₁B₂≠0时，记为ki=k2且bi≠b₂(当A₂B₂C₂≠0时，记为ki=k2且b₁=b2(当A₂B₂C₂≠0时，记为平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0.3.垂直的直线的设法垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.知识点2直线的交点坐标1.两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标一般地，将两条直线的方程联立，得方程组·若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0(A²+B²≠0),直线l₂:A₂x+B₂y+C₂=0(A²+B²≠0).直线l₁和l2的公共点个数一个直线li和l2的位置关系过直线l₁:A₁x+B₁y+C₁=0与l₂:A₂x+B₂y+C₂=0的交点的直线系方程为A₁x+B₁y+C₁+2(A₂x+B₂y+C₂)=0,λ∈R,但不包括直线l₂.知识点3距离公式1.两点间的距离公式平面内两点P(x₁,y),P₂(x₂,y₂)间的距离公式为|P₁P₂|=√(x₂—x₁)²+(y₂-y)².特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为IOP|=√x²+y².2.点到直线的距离公式点P到直线1的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.已知一个定点P(x₀,y),一条直线为1:Ax+By+C=0,则定点P到直线l的距离为3.两条平行直线间的距离公式两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.设有两条平行直线l₁:Ax+By+C₁=0,l₂:Ax+By+C₂=0,则它们之间的距离为知识点4点、线间的对称关系1.六种常用对称关系(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).(5)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).2.对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.【方法技巧与总结】【方法技巧与总结】1.判断两条直线位置关系的注意点：(1)斜率不存在的特殊情况；(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.2.使用两条平行线间的距离公式前要把两条直线方程化为一般式且x,y的系数对应相等.【题型1求与已知直线平行、垂直的直线方程】0垂直的直线方程为()A.2x+y-3=0【解题思路】根据恒过定点化简直线方程求出P(1,1),再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可.【解答过程】由x-my+m-1=0,得x-1=m(y-1),所以所求直线的斜率为-2,其方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,A.x-y+2=0B.x-2y+4=0【解题思路】依题意设直线l的方程为x-y+m=0,代入(0,-2)求出参数的值，即可得解.【解答过程】因为直线l平行于直线x-y=0,所以因为在y轴上的截距是-2,则过点(0,-2),代入直线方程得0-(-2)+m=0,解得m=-2,所以直线l的方程是x-y-2=0.直线l₂的方程是()A.2x-y+4=0B.x+y+2=0C.x-y-2=0【解题思路】由题意可知，l₁⊥l₂,所以l₁,l₂的斜率之积为-1,可得到l₂的斜率，再由l₂过点(2,0),即可得到答案.因为l₂过点(2,0),所以由直线的点斜式方程可知l₂的方程为y-0=1·(x-2),A.3x-y-1=0B.3x-y-2=0C.3x+y-5=0【答案】A【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出k₁=3,最后利用点斜式方程可得解.因为直线l与直线AB垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为-1,即3x-y-1=0,【题型2两条直线平行及其应用】【解题思路】根据直线一般方程的平行关系求m的值，并代入检验即可.若m=-1时，直线l₁:x-y-1=0与直线l₂:x-y+1=0A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要【解题思路】利用两者之间推出的关系可得条件关系.【解答过程】若a=1,则直线l:x+y=1,直线l₂:x+y=2,此时l₁,l₂平行，A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解题思路】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解.若l₁//l₂,则1×(-a)=2a(3a-1),解【答案】C【解题思路】根据两直线平行时系数的关系求解即可.【解答过程】根据两直线平行，可知解得m=±1.【题型3两条直线垂直及其应用】【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得.【变式3-1】(2025-河南郑州·模拟预测)已知直线l₁:x+my+A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题思路】由l₁⊥l₂,计算得m=1即可判断.【解答过程】因为l₁⊥l₂,解得m=1【变式3-2】(2024-河南·三模)已知直线Ax+By+C=0与直线y=2x-3垂直，则()A.A=-2B≠0B.A=2B≠0【解题思路】由直线垂直的充要条件即可列式得解.【解答过程】直线y=2x-3的斜率为2,又两直线互相垂直，所以直线Ax+By+C=0的斜率【变式3-3】(25-26高三上·四川绵阳【解题思路】对k分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解.当k≠0时，若l₁⊥l₂,则2解得k=2.【题型4直线的交点问题】A.(4,3)B.(3,4)C.(-4,3)【解题思路】联立方程求解即可.【解答过程】由方程组,即交点为(-4,3).【变式4-1】(24-25高二上云南曲靖·期中)已知直线l过直线l₁:x-y=0和l₂:x+y-2=A.3x+4y+7=0B.3x+4y-7=0C.4x-3y+1=0D.4x-3y-1=0【解题思路】求出直线l₁、l₂的交点坐标，根据题意，设直线l的方程为3x+4y+m=0,线l的方程，求出实数m的值，即可得出直线l的方程.因此，直线l的方程为3x+4y-7=0.线的交点坐标为()A.(1,5)B.(-1,-1)C.(-1,1)【解题思路】先利用垂直关系求出a,再代入方程联立求解交点【解答过程】直线2x-y+3=0与x+ay-1=0互相垂直，可得2×1+(-a)=0,即a=2.把a=2代入直线x+ay-1=0,得到x+2y解得x=-1.把x=-1代入y=2x+3,得y=2×(-1)+3=1.所以交点坐标为(-1,1).【解题思路】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案.即直线l₁:x+2y-4=0与直线l₂:kx-y+2k+1=0的即实数k的取值范围是【题型5点到直线的距离公式的应用】A.√2B.2√2C.3√2等，则a的值为()A.-4B.√2C则点M到直线l₃:2x-y+1=0的距离为()A.B.C.√5【答案】A【解题思路】解方程组求得交点M坐标，由点到直线距离公式计算出距离.【解答过程】由即M(1,2),【题型6两条平行直线间的距离公式的应用】【例6】(2024-浙江杭州·模拟预测)平行直线l₁:2x-3y+2=0与l₂:ay-x+2=0之间的距离为()【解题思路】先根据两直线平行求出a的值，再由两直线间的距离公式求解.【解答过程】因为直线l₁:2x-3y+2=0与l₂:ay-x+2=0平行，所以2a-(-1)×(-3)=0,则,也就是2x-3y-4=0,则这两条直线间的距离为()【解题思路】先由直线平行求出参数k,再由两平行直线的距离公式即可求解.【解答过程】因为直线l₁:x+2y-3=0与直线l₂:kx-2y+1=0(k∈R)平行，所,所以k=-1,所以直线l₂:—x-2y+1=0即x+2y-1=0,【解题思路】先通过平行求出m,再利用平行线的距离公式求解即可.∴l₁与l₂之间的距离l₂:5x-12y+8=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()【解题思路】根据动点A,B满足的关系式，结合中点公式可得中点M满足的方程，利用点到直线的距离求解.【答案】D【解题思路】转换主参变量，利用点到直线的距离公式来求得a²+b²的最小值.(a,b)表示坐标系a0b中，直线(x²-1)a+xb+1-2x²=0(x看成参数)上的点，由于1≤x≤2,1≤x²≤4,所以当x=1时，d²取得最小值为4-3=1,所以a²+b²的最小值为1.满足|IPF₁I|+|PF₂I|=4,Q是直线l:x+2y-5=0上的动点，则|PQ|的最小值为()【答案】A【解题思路】由题意可知P的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称，进而先研究其在x≥0,y≥0时的函数解析式，并画出其图象，结合对称性可将图象补充完整，数形结合求解即可.【解答过程】由题意可知，P的轨迹关于x轴对称，也关于y轴对称.即画出此函数的图象，并结合对称性可得点P的轨迹是如图所示的六边形.【题型8点、线间的对称问题】【例8】(24-25高二下·上海·阶段练习)点P(2,-3)关于直线l:y=x+1的对称点为()A.(-3,4)B.(-4,-3)C.(-4,3)D.(-3,-4)【解题思路】设点P(2,-3)关于直线l:y=x+1的对称点为Q(x,y),列出方程组，即可求解.【解答过程】设点P(2,-3)关于直线l:y=x+1的对称点为Q(x,y),直线为l₂,则直线l₂的方程是()A.x-y-3=0B.xC.x-y+3=0【解题思路】根据条件判断L₂//L₀,可设l₂:x-y+m=0,利用对称性可知L₁与L₀间的距离等于l₂与L₀间的距离，列方程求解即得.【解答过程】因为L₁//Lo,所以l₂//Lo,设直线l₂的方程为x-y+m=0(m≠3且m≠-1).因为直线l₁,l₂关于直线l对称，所以l₁与l₀间的距离等于l₂与l₀间的距离.由两平行直线间的距离公式，得解得m=-5或m=3(舍去).所以直线l₂的方程为x-y-5=0.【变式8-2】(24-25高二上·江苏无锡·阶段练习)如图已知A(4,0),B(0,4),O(0,0),若光线L从点P(2,0)射出，直线AB反射后到直线OB上，再经直线OB反射回原点P,则光线L所在的直线方程为()【答案】C【解题思路】由点P关于y轴的对称点P₁(-2,0),设点P关于直线AB:x+y-4=0的对称点P₂(a,b)列方程组求出a=4,b=2,从而求出直线MN:x-3y+2=0,联立,得M点坐标，由此能求出光线L所在的直线方程.【解答过程】由题意知，过点A(4,0)和点B(0,4)的直线为x+y-4=0,且点P(2,0),设光线分别射在AB,OB上的M,N处，由于光线从点P经两次反射后又回到P点，根据反射规律，则∠PMA=∠BMN,∠PNO=∠BNM作出点P关于OB的对称点P₁,作出点P关于AB的对称点P₂,,解得a=4,b=2,,解得故选：A.【题型9直线系方程】【例9】(24-25高二上·全国·课后作业)过两直线l₁:x-3y+4=0和l₂:2x+y+5=0的交点和原点的直线A.3x-19y=0B.19x-3y=0【答案】D【解题思路】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标，得4+5λ=0,求解即可.【解答过程】设过两直线交点的直线系方程为x-3y+4+λ(2x+y+5)=0,代入原点坐标，得4+5λ=0,解得；故所求直线方程,即3x+19y=0.故选：D.C.x+2y-7=0D.x-2y+5=0【答案】A【解题思路】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得.解得：λ=7,点的直线方程为【变式9-3】(24-25高二上·湖北武汉·阶段练习)过两直线2023x-2022y-1=0和2022x+2023y+1=0的交点且过原点的直线方程为_【答案】4045x+y=0又直线过原点，则-1+λ=0→λ=1,过关测试过关测试则实数a的值为()【答案】A【解题思路】根据平行直线的性质进行求解即可.A.充分不必要条件B.必要不充分条件【答案】A【解题思路】由l₁⊥l₂,得到a(a-4)-5=0,求解即可判断.【解答过程】由l₁⊥l₂,则a(a-4)-5=0,解得a=5或a=-1,A.x-2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x+y-3=0D.2x+y-1=0【答案】B【解题思路】先求出m,然后由平行线之间的距离求解即可.【解答过程】直线2x+y-2m=0即直线4x+2y-4m=0,与直线4x-my-3=0平行，则m=-2,故所求即为平行直线4x+2y+8=0与4x+2y-3=0之间的距离，即所求5.(2024·山东·一模)过直线x+y+2=0与x-y-4=0的交点且与直线A.x+2y+5=0B.x+2y-5=0C.2x-y+5=0【答案】D【解题思路】求出两条直线的交点，设出所求直线的方程，并求出待定系数即得.【解答过程】由解得,则所求方程的直线过点(1,-3),设所求直线方程为2x-y+m=0,于是2×1-(-3)+m=0,解得m=-5,所以所求直线方程为2x-y-5=0.距离为()【答案】C【解题思路】由对称关系求得Q,再由点到线距离公式求解；【解答过程】设A(-1,3)关于直线x-y=0的对称点为Q(a,b),A.2B.1【解题思路】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解.【解答过程】a²-2a+b²=(a-1)²+所以(a-1)²+b²-1的最小值为1,3一2向直线l射出，经l反射后与x轴交于点M,再次经x轴反射后与y轴交于点N.若则k的值为()3一21一21一2【解题思路】根据光学的性质，根据对称性可先求0关于直线L的对称点A,后求直线AP,可得M、N两点坐标，进而由可得k.【解答过程】ANP′PX如图，设点0关于直线l的对称点为A(x₁,y₁),由题意知y=kx(x≥0)与直线l不平行，故k≠-1,故直线AP的斜率为若则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件.二、多选题说法正确的是()C.若L₁//L₂,则a=-1D.直线l₂的纵截距为-a【解题思路】本题给了两条含参的直线方程，通过不同条件判断直线的性质或已知直线性质求参数范围.【解答过程】对于A,当a=1时，直线l₁:x+y+1=0,斜率k=-1,则倾斜角为135°,故A错误；对于B,l₁⊥l₂,等价于a-1+a=0,对于D,l₂:(a-1)x+y+a=0,当x=0时，y=-a,所以直线l₂的纵截距为-a,故D正确.故选BD.10.(25-26高二上·全国·单元测试)平行于直线x-y-2=0,且与它距离为√2的直线方程可能是()A.x-y=0B.x-y-1=0C.x-y+1=0【解题思路】设与直线x-y-2=0平行的直线方程为x-y+m=0,m≠-2,然后由平行直线距离公式可得答案.距离公式可得解得m=0或m=-4,0(m∈R),下列选项正确的是()B.直线l₂过定点(3,-1)【解题思路】对于A,根据两直线垂直，设出直线方程，代入已知点，可得答案；对于B,整理直线方程，建立方程组，可得答案；对于C,根据两直线垂直，建立方程，可得答案；对于D,根据两直线平行，建立方程，求得参数，利用平行线距离公式，可得答案.【解答过程】对于A,垂直于直线4x-3y+4=0的直线方程为3x+4y+t=0,将点(-1,2)代入得t=-5,故所求直线方程为3求得直线l₂过定点(-3,-1),故B错误；对于C,l₁⊥l₂时有：4(m+2)+3(m+1)=0,解得故C错误；对于D,当l₁IⅡl₂时，解得m=2,三、填空题【答案】-5【解题思路】根据L₁//L₂可得出关于m的等式，计算可解得m的值.【解答过程】若l₁//l₂,则m(m+3)-2×5=m²+3m-10=(m-2)(m+5)=0,【解题思路】由两直线平行可求得m=-1,再由平行线间的距离公式代入计算可得结果.重合，则m·n的值是·【解题思路】折痕为点(2,0)与点(1,1)的中垂线，得方程x-y-1=0,再根据点(m,n)与原点(0,0)对称可得答案.【解答过程】如图：可知折痕为点(2,0)与点(1,1)的中垂线，中点坐标为故折痕直线方程为,即x-y-1=0,故答案为：-1.(2)若l₁⊥l₂,求实数a的值.【答案】(1)a=2(2)a=6或a=0.【解题思路】(1)根据两条直线平行公式计