第十一章 不等式与不等式组（单元重难点题型归纳与训练）【原卷版】

2/2第十一章不等式与不等式组单元重难点题型归纳与训练题型归纳题型归纳题型讲解题型讲解一.不等式及不等式组定义【题型解读】此种题主要是根据不等式与一元一次不等式定义解题例1．下列数学表达式中，不等式有（

）①-3<0；②a+b；③x=3；④x2+xy+y2；⑤x≠2；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个例2．下列式子①5>4；②3x≥2π+1；③x+y>1；④x2+3>2x；⑤1A．4个 B．3个 C．2个 D．1个对应练习：1.下列式子中，①2x=7；②3x+4y；③-3<2；④2y-3≥0；⑤b≠1；⑥x-y>1．不等式有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．1个2.下列式子中：①3>0；②5x-4<8；③2x+4y；④m=-1；⑤t2+2t≥-1．其中不等式有（

）A．2 B．3 C．4 D．53．已知m-3x|m|-2-2>6是关于x4.已知k+3k-2+5<-4是关于x【解法提炼】根据定义，通过未知数的次数为1，未知数系数不等于0，建立方程求字母的取值二.不等式的性质【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质例1．已知a<b，则下列式子中不正确的是（

）A．a-2<b-2 B．a+3<b+3C．2a<2b D．-3a<-3b例2.比较大小，用“>”或“<”填空：若x<y，且(a-b)x>(a-b)y，则ab．对应练习：1.若a>b，则下列不等式中，一定成立的是（

）A．a-3<b-3 B．-12a>-12b C2.设a>b>0，有下列不等式：①a-b>0；②-4+a>-4+b；③-3a>-3b；④-12a-1<-12b-1A．1 B．2 C．3 D．43.设x<y，用“＜”或“＞”号填空（1）x+3y+3；

（2）23x（3）-2x-2y；

（4）x-ny-n．4.若x＜y，且(a+5)x＞(a+5)y，则a的取值范围()A．a>-5 B．a≥-5 C．a<-55．（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如果关于x的不等式a-2x>5的解集是x<5a-2，那么a6．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式a-3x>2a-3的解集为x<2，则a的取值范围是【解法提炼】①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.(易错点)三.解不等式及不等式组【题型解读】此种题型主要考查利用不等式的性质求解集例1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）解下列不等式(1)4(x+1)<x-5(2)1-例2.解不等组：5x+4<3对应练习：1.求不等式2(x-1)>3x-1的最大整数解．2．解不等式：2x-13．解不等式组2x+7>3(x+1)24．求不等式组4(x+1)≤7x-8x-5<5．求不等式组2x-6>016．求不等式组2x-1>x+1x+8≥4x-1【解法提炼】①解题步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1；②易错点去分母和系数化为1，注意不等号是否变号；③求不等式组解集口诀：大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大无处找。四.求含参不等式(组)中字母的取值【题型解读】此种题型考查解集相同例1.若关于x的不等式-3x+a≤2的解集是x≥1,求a的值．例2.如果不等式组x+2a≥42x-b3<1的解集是0≤x＜1，那么a+b对应练习：1．若关于x的不等式3x+2>5x+2(m+x)的解集与不等式2x+53-1<2-x的解集相同，则m2.已知不等式mx+n＞0的解集为x＜2，则mn+n3．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若关于x的不等式2x-a<0的解集和不等式2x-4<0的解集相同，则a的值为4．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组x+1<2ax-b>1的解集是2<x<3，则关于x的方程ax+b=0的解为5．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组x+m>2n-x>-4的解集为1<x<2，则m+n20256.关于x的不等式组2x+1>3a-x>1的解集为1＜x＜4，则a的值为【解法提炼】求解不等式再根据已知的解集建立方程求字母的取值五.求含参不等式(组)中字母的取值范围【题型解读】此种题型主要考查不等式的性质例1．若关于x的不等式2x-2a≤0的正整数解是1、2、3，则a的取值范围是（

）A．3<a<72 B．3<a<4 C．3≤a<7例2.若不等式x≤m的解都是不等式2-3x≥5的解，则m的取值范围是（

）A．m≤-1 B．m<-1 C．m≥-1 D．m>-1例3.已知关于x的不等式组x-a<0,2x+3>0的解集中至少有5个整数解，则整数a的最小值为（

A．2 B．3 C．4 D．5例4.（22-23九年级下·河南洛阳·期末）如果关于x的一元一次不等式组-3x+5<-4x-m>-1的解集是x>3，求m的取值范围对应练习：1．若数a使关于x的不等式5x-2≥x+a的最小正整数解是x=1，则a的取值范围是（

）A．a>-2 B．a<2 C．-2<a<2 D．a≤22．已知不等式x-a<0的正整数解有3个，那么a的取值范围是（）A．3<a<4 B．3<a≤4 C．3≤a≤4 D．3≤a<43．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）若关于x的不等式2x-a>0的解集中存在负数解，但不存在负整数解，则a的取值范围是（

）A．a≥-2 B．a<0 C．-2≤a<0 D．4.若不等式组1+3x≥2x-3x+m≤1无解，求m的取值范围5.若关于x的不等式组x-2(x+1)≤1x-m2≤x-226.若关于x的不等式组4+x3>x+22x+a2<07.关于x的不等式组2x+1＞mx＜-38．已知关于x，y的二元一次方程组x+y=a+22x-y=2a+1的解均为正数，且不等式组x-3x-2≥4a1+2x3>x-1的解集为9.已知关于x、y的二元一次方程组x-y=a+32x+y=5a的解满足x>y，且关于x的不等式组2x+1<2a2x-11410．关于x的一元一次不等式组3x2-m≤x+12x-4≤x的解集为x≤4，且关于y且的方程my-2y=4有整数解，则符合条件的所有整数m【解法提炼】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出字母的取值范围是解此题的关键．求不等式组的解集的规律：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．六.求含参不等式的解集【题型解读】此种题型考查不等式的解集例1.已知关于x的不等式a-bx>a+b的解集是x>2，求不等式ax>b对应练习：1．已知ax-b>0的解集为x<-25，则不等式bx+a>0的解集为（A．x>52 B．x<52 C．2．设关于x的不等式2a-bx+a-5b>0的解集为x<65，求关于x3.已知关于x的不等式（5a-2b）x＞3b-a的解集是x＜18，则6ax＞7b的解集是【解法提炼】利用不等式的解集确定字母的取值范围以及两字母之间的数量关系．七.含参二元一次方程组与不等式【题型解读】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键是把参数作已知数表示出x+y的值，再得到关于参数的不等式．例1.若关于x、y的二元一次方程组x-3y=2a+3x+5y=3的解满足x+y≤0，求对应练习：1．（23-24七年级下·广西贺州·阶段练习）已知关于x,y的方程组x-3y=m-1x+y=-3m+7．若方程组的解满足x-y<5，则m的最小整数值为（

A．-1 B．-2 C．0 D．12.已知二元一次方程组{x+y=3t+1x-y=3t-3，xy≥2，则A．1 B．23 C．0 D．3．已知x、y满足2x+y=53x-4y=11m+2和x+y≤0，求m4．已知关于x，y的方程组2x+y=-10x+2y=-3k-11的解满足x≤0，y<0，若k为整数，且关于k的不等式(3k+2)t<3k+2的解集为t>1，则k的值为5．（22-23七年级下·江苏南通·期中）已知关于x,y的方程组&&2x-y=3a-5x+2y=5-a的解都为非负数，若a+b=4,W=2a-3b，则W的最小值为【解法提炼】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键．八.不等式(组)与盈亏问题【题型解读】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．例1.若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（

）A．4x+2-6x-1>04x+2-6C．4x+2-6x-2>04x+2-6对应练习：1．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（

）A．4x+77-6x>04x+77-6x<5 B．C．4x+77-6x-1>04x+77-62．（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（

）A．8x+7≤8+9(x-1) B．8x+7≥9(x-1)C．8x+7<8+9x-18x+7≥9x-13.将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个，若小朋友的人数为x，则下列正确的是（）A．0≤5x+12-8(x-1)<8 B．0<5x+12-8(x-1)≤8C．1≤5x+12-8(x-1)<8 D．1<5x+12-8(x-1)≤8【解法提炼】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据各数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题关键九.不等式(组)与方案设计【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用例1.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）为贯彻执行“德，智，体，美，劳”五育并举的教育方针，某中学组织8名教师，247名学生前往劳动实践基地开展劳动实践活动，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320(1)学校计划此次劳动实践活动共租8辆车，为了保障安全，每位师生都要有座位，但租金总费用不超过3100元，请问有几种租车方案？(2)学校应该如何租车才能使费用最少，最少费用是多少元？例2.（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有11kg面粉，9.4kg鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工1盒一般糕点需0.3kg面粉和0.1kg鸡蛋；加工1盒精制糕点需0.1kg面粉和0.3kg鸡蛋．(1)有哪几种加工方案？(2)如果销售1盒一般糕点和1盒精制糕点的利润分别为3元和4元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？对应练习：1．（24-25八年级下·山西·阶段练习）某小区计划购买10台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买1台B型健身器材比购买1台A型健身器材贵200元，购买2台A型健身器材和5台B型健身器材共花8000元．(1)A型健身器材和B型健身器材的单价各是多少元？(2)该小区计划购买B型健身器材的数量不得超过A型健身器材，购买资金不低于10800元．请通过计算说明共有几种购买方案？2.暑期临近，学生们也可轻松逛逛商场，选择自己心仪的衣服.安岳上府街一服装店老板打算不错失这一良机，计划购进甲、乙两种T恤.已知购进甲T恤2件和乙T恤3件共需310元；购进甲T恤1件和乙T恤2件共需190元1求甲、乙两种T恤每件的进价分别是多少元？2为满足市场需求，服装店需购进甲、乙两种T恤共100件，要求购买两种T恤的总费用不超过6540元，并且购买甲T恤的数量应小于购买甲乙两种T恤总数量的14，请你通过计算，确定服装店购买甲乙两种T3．为保护环境，我县公交公司计划购买甲型和乙型两种环保节能公交车共10辆，若购买甲型公交车1辆，乙型公交车3辆，共需380万元；若购买甲型公交车2辆，乙型公交车2辆，共需360万元．(1)求购买甲型和乙型公交车每辆各需多少万元？(2)预计在某线路上甲型和乙型公交车每辆年均载客量分别为50万人次和60万人次，若该公司购买甲型和乙型公交车的总费用不超过880万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于520万人次，则该公司有哪几种购车方案？(3)在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？4．在毕节市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和一体机，经过市场考察得知，购进3台笔记本电脑和2台一体机需要4.5万元，购进2台笔记本电脑和3台一体机需要5.5万元．(1)求笔记本电脑和一体机的单价？(2)根据学校实际，需购进笔记本电脑和一体机共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案．哪种方案费用最低．5．某街道积极响应垃圾分类号召，决定在街道内的所有小区安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱已知购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，购买3个温馨提示牌和2个垃圾箱共需450．（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该街道至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案．6．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣．已知购买甲型机器人1台，乙型机器人2台，共需7万元；购买甲型机器人2台，乙型机器人3台，共需12万元．(1)甲，乙两种型号机器人的单价各为多少万元？(2)已知1台甲型和1台乙型机器人每小时分拣快递的数量分别是1400件和1200件，该公司计划最多用16万元购买6台这两种型号的机器人，且至少购买甲型机器人2台，如何购买才能使每小时的分拣量最大？7．（24-25八年级上·重庆·期末）随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工种工人月工资相同．已知6个A种工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付工资总额540万元．(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，再招聘的B工种工人不超过再招聘的A工种工人的73，且最终车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总【解法提炼】通过题意列不等式组确定取值范围，从而确定最优方案十.不等式(组)与利润问题【题型解读】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组、找准各量之间的数量关系列出函数解析式是解题的关键；例1某市场假期对儿童服装进行促销活动，某套童装套装的标价为375元，已知该套装的进价为240元，若要保证利润率不低于25%例2某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？对应练习：1.（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？2．（24-25八年级下·江西九江·阶段练习）某商场购进A,B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元．(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元？(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A,B两种商品后获得的总利润不低于1700元，则购进A商品的件数最少为多少？3．（2025·广东东莞·一模）在东莞市全力推进“百县千镇万村高质量发展工程”的背景下，荔枝产业蓬勃发展，鲜果畅全国．某商贩看准商机，购进了一批桂味和糯米糍荔枝．已知购进桂味3千克、糯米糍1千克共需90元，购进桂味1千克、糯米糍2千克共需60元．(1)每千克桂味和糯米糍的进价分别是多少元？(2)该商贩决定购进桂味和糯米糍荔枝共100千克，投入资金不超过2040元，请问桂味最多可购进多少千克？将桂味的售价定为每千克40元，糯米糍的售价定为每千克30元，按照桂味的最大购进量，请算出该商贩把全部荔枝售出时获得的总利润．4．2019年“双11期间”，某天猫网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和1筒乙种羽毛球，共花费165元．（1）该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于乙种羽毛球数量的35，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40①若设购进甲种羽毛球m筒，则该网店有哪几种进货方案？②若所购进羽毛球均可全部售出，请求出最大利润是多少？5.小圆玩具工厂生产男孩玩具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生产男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元．（1）男孩玩具和女孩玩具每件成本多少元？（2）根据市场调查，销售一件男孩玩具可获利100元，销售1件女孩玩具可获利240元，小圆玩具工厂计划投入不超过21万资金生产两种玩具，且男孩玩具产量是女孩玩具产量的3倍，预计全部销售后利润不少于11万元，请通过计算说明有几种生产方案．6．（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：A种产品B种产品成本（万元/件）25利润（万元/件）13(1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？(2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？【解法提炼】（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据数量关系，正确列出一元一次不等式组十一.不等式与方案选择【题型解读】此种题型主要考查分类讨论思想例1．某超市采用线下、线上两种方式销售A,B两种款式的公仔纪念品，且线下、线上商品标价相同，在无促销活动时，购买2个A款和1个B款公仔纪念品共需50元，购买1个A款和2个B款公仔纪念品共需55元．超市为促销提供以下方案：①线下促销方案：顾客花费66元办理会员，凭会员卡购买超市内任何商品都可以打8折．②线上促销方案：顾客购买超市内任何商品，都可享受9折且包邮的优惠．(1)该超市在无促销活动时，A款公仔纪念品和B款公仔纪念品的标价各是多少元？(2)某班级计划在超市促销期间购买A,B两款公仔纪念品共40个，其中购买A款公仔纪念品m0<m<40个