2025年高三数学高考复数专题模拟试题

2025年高三数学高考复数专题模拟试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知复数(z=\frac{2}{1+i})（(i)为虚数单位），则(z)的虚部为（）A.-1B.1C.-iD.i若复数(z=(a^2-1)+(a-1)i)（(a\in\mathbb{R})）为纯虚数，则(a)的值为（）A.1B.-1C.±1D.0在复平面内，复数(z=-2+3i)对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知复数(z)满足(|z|=2)，则(|z-3+4i|)的最小值为（）A.3B.4C.5D.6若复数(z_1=1+2i)，(z_2=3-4i)，则(|z_1z_2|=)（）A.5B.(5\sqrt{5})C.25D.(\sqrt{5})设(i)为虚数单位，则(i^{2025}=)（）A.1B.-1C.iD.-i已知复数(z)满足(z(1+i)=2)，则(z)的共轭复数(\overline{z}=)（）A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i若复数(z=\frac{1+mi}{1-i})（(m\in\mathbb{R})）为实数，则(m=)（）A.-1B.0C.1D.2在复平面内，复数(z_1)，(z_2)对应的点分别为(Z_1(1,2))，(Z_2(3,4))，则(|z_1-z_2|=)（）A.(2\sqrt{2})B.(\sqrt{2})C.2D.4已知关于(x)的方程(x^2+2x+m=0)（(m\in\mathbb{R})）有一个虚根为(1+i)，则(m=)（）A.2B.-2C.3D.-3设复数(z)满足(|z-i|=1)，则(|z|)的最大值为（）A.0B.1C.2D.3若复数(z=\sin\theta+i\cos\theta)（(\theta\in\mathbb{R})）为纯虚数，则(\theta=)（）A.(\frac{\pi}{2}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）B.(k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）C.(\frac{\pi}{2}+2k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）D.(\frac{3\pi}{2}+2k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知复数(z=3-4i)，则(|z|=)________。若复数(z)满足(z+\overline{z}=4)，(z-\overline{z}=2i)，则(z=)________。在复平面内，复数(z=a+bi)（(a,b\in\mathbb{R})）对应的点位于第二象限，且(|z|=5)，(a+b=1)，则(z=)________。已知复数(z_1=2+i)，(z_2=1-2i)，则(z_1\cdotz_2=)________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）已知复数(z=\frac{2-i}{1+2i})。（1）求(|z|)；（2）求(z)的共轭复数(\overline{z})。（本小题满分12分）已知复数(z=a+bi)（(a,b\in\mathbb{R})）满足(z(1+i)=3-i)。（1）求(a)，(b)的值；（2）若复数(w=z+2m-3i)（(m\in\mathbb{R})）对应的点在第四象限，求(m)的取值范围。（本小题满分12分）在复平面内，复数(z_1)，(z_2)对应的点分别为(A(1,2))，(B(3,4))。（1）求(z_1+z_2)，(z_1-z_2)；（2）若复数(z=z_1\cdotz_2)，求(z)对应的点(C)的坐标。（本小题满分12分）已知复数(z)满足(|z|=\sqrt{5})，且(z-2)为纯虚数。（1）求复数(z)；（2）若(w=\frac{z}{1+i})，求(|w|)。（本小题满分12分）设复数(z=1+i)，(\omega=z+ai)（(a\in\mathbb{R})）。（1）若(|\omega|\leq2)，求(a)的取值范围；（2）若(\omega\cdot\overline{\omega}=6)，求(a)的值。（本小题满分12分）已知关于(x)的方程(x^2+mx+n=0)（(m,n\in\mathbb{R})）有一个根为(2+i)。（1）求(m)，(n)的值；（2）若方程的另一个根为(z)，求(|z|)。参考答案与解析一、选择题A解析：(z=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=1-i)，虚部为-1。B解析：由纯虚数定义得(\begin{cases}a^2-1=0\a-1\neq0\end{cases})，解得(a=-1)。B解析：实部-2<0，虚部3>0，对应点在第二象限。A解析：(|z-3+4i|)表示复数(z)对应的点到点(3,-4)的距离，最小值为(|\sqrt{3^2+(-4)^2}-2|=5-2=3)。B解析：(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|=\sqrt{1^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{5}\cdot5=5\sqrt{5})。C解析：(i^{2025}=i^{4\times506+1}=i^1=i)。A解析：(z=\frac{2}{1+i}=1-i)，共轭复数(\overline{z}=1+i)。A解析：(z=\frac{(1+mi)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{1-m+(m+1)i}{2})，由虚部(m+1=0)得(m=-1)。A解析：(z_1=1+2i)，(z_2=3+4i)，(z_1-z_2=-2-2i)，(|z_1-z_2|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}=2\sqrt{2})。A解析：将(x=1+i)代入方程得((1+i)^2+2(1+i)+m=0)，解得(m=2)。C解析：(|z-i|=1)表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，(|z|)最大值为圆心到原点距离加半径，即(1+1=2)。A解析：由纯虚数定义得(\begin{cases}\sin\theta=0\\cos\theta\neq0\end{cases})，解得(\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi)（(k\in\mathbb{Z})）。二、填空题5解析：(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5)。2+i解析：设(z=a+bi)，则(\overline{z}=a-bi)，由(\begin{cases}2a=4\2bi=2i\end{cases})得(a=2)，(b=1)。-3+4i或4-3i解析：由(\begin{cases}a^2+b^2=25\a+b=1\end{cases})解得(\begin{cases}a=-3\b=4\end{cases})或(\begin{cases}a=4\b=-3\end{cases})，结合第二象限得(a=-3)，(b=4)。8-3i解析：(z_1\cdotz_2=(2+i)(1-2i)=2-4i+i-2i^2=4-3i)。三、解答题（1）(|z|=1)；（2）(\overline{z}=-i)解析：（1）(z=\frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{-5i}{5}=-i)，(|z|=1)；（2）(\overline{z}=i)。（1）(a=1)，(b=-2)；（2）(m>\frac{3}{2})解析：（1）(z=\frac{3-i}{1+i}=1-2i)，故(a=1)，(b=-2)；（2）(w=1-2i+2m-3i=(1+2m)-5i)，由(1+2m>0)得(m>-\frac{1}{2})。（1）(z_1+z_2=4+6i)，(z_1-z_2=-2-2i)；（2）(C(-5,10))解析：（1）(z_1=1+2i)，(z_2=3+4i)，和为(4+6i)，差为(-2-2i)；（2）(z=(1+2i)(3+4i)=-5+10i)，对应点((-5,10))。（1）(z=2+i)或(z=2-i)；（2）(|w|=\frac{\sqrt{10}}{2})解析：（1）设(z=2+bi)（(b\in\mathbb{R},b\neq0)），由(|z|=\sqrt{2^2+b^2}=\sqrt{5})得(b=\pm1)；（2）(|w|=\frac{|z|}{|1+i|}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2})。（1）(-1\leqa\leq3)；（2）(a=\pm\sqrt{3})解析：（1）(\omega=1+(a+1)i)，(|\omega|=\sqrt{1^2+(a+1)^2}\leq2)，解得(-1-\sqrt{3}\leqa\leq-1+\sqrt{3})；（2）(\omega\cdot\overline{\omega}=|\omega|