2025年高三数学高考概率统计压轴题模拟试题

2025年高三数学高考概率统计压轴题模拟试题一、单项选择题（共3小题，每题5分，共15分）1.古典概型与条件概率综合某工厂生产的电子元件分为A、B、C三个等级，其合格率分别为0.95、0.90、0.85，且三个等级的产量占比为3:4:3。现从该厂生产的元件中随机抽取一件，已知抽到的是合格品，则该元件为A级的概率是（）A.0.32B.0.35C.0.38D.0.41解答过程：设事件$A$表示“抽到A级元件”，$B$表示“抽到B级元件”，$C$表示“抽到C级元件”，$D$表示“抽到合格品”。由题意知：$P(A)=0.3$，$P(B)=0.4$，$P(C)=0.3$$P(D|A)=0.95$，$P(D|B)=0.90$，$P(D|C)=0.85$根据全概率公式：$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)$$=0.3×0.95+0.4×0.90+0.3×0.85=0.285+0.36+0.255=0.9$由贝叶斯公式得：$P(A|D)=\frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\frac{0.3×0.95}{0.9}=\frac{0.285}{0.9}≈0.3167≈0.32$答案：A评分标准：写出全概率公式2分计算$P(D)$正确2分贝叶斯公式应用及结果1分2.统计图表与数字特征某地区为调查居民月收入情况，随机抽取1000户家庭，得到如下频率分布直方图：（注：频率分布直方图中各区间为[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)，[5000,6000)，[6000,7000)，[7000,8000]，对应的频率分别为0.05,0.15,0.25,0.3,0.15,0.1）则该地区居民月收入的中位数约为（）A.4800元B.5000元C.5200元D.5400元解答过程：设中位数为$x$，累计频率达到0.5时对应区间为[5000,6000)。前三个区间频率之和：$0.05+0.15+0.25=0.45$需在[5000,6000)区间内补充$0.5-0.45=0.05$的频率。该区间组距为1000，频率密度为$0.3/1000=0.0003$则$x=5000+\frac{0.05}{0.0003}≈5000+166.67≈5166.67≈5200$答案：C评分标准：确定中位数所在区间2分计算累计频率差1分中位数计算及结果2分3.二项分布与期望方差某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现进行5次独立射击，记命中目标的次数为$X$，则$D(2X+1)=$（）A.6.4B.12.8C.16D.25.6解答过程：由题意知$X\simB(5,0.8)$，则$D(X)=np(1-p)=5×0.8×0.2=0.8$根据方差性质：$D(2X+1)=2^2D(X)=4×0.8=3.2$答案：无正确选项（注：原题选项设置可能有误，正确答案应为3.2）评分标准：判断分布类型1分计算$D(X)$正确2分方差性质应用及结果2分二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）4.正态分布应用已知某年级学生数学成绩服从正态分布$N(100,15^2)$，现从该年级随机抽取1名学生，其成绩在85分到130分之间的概率为________。（参考数据：$P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827$，$P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545$）解答过程：$μ=100$，$σ=15$$85=μ-σ$，$130=μ+2σ$$P(85≤X≤130)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)$$=P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(μ+σ≤X≤μ+2σ)$$=0.6827+\frac{0.9545-0.6827}{2}=0.6827+0.1359=0.8186$答案：0.8186评分标准：标准化变换2分概率区间拆分2分结果1分5.超几何分布一个口袋中有5个红球和3个白球，现从中不放回地抽取4个球，记抽到红球的个数为$Y$，则$E(Y)=$________。解答过程：$Y$服从超几何分布$H(N=8,M=5,n=4)$$E(Y)=n×\frac{M}{N}=4×\frac{5}{8}=2.5$答案：2.5评分标准：识别分布类型2分期望公式应用3分三、解答题（共2小题，共25分）6.概率与统计综合应用（12分）某电商平台为提升用户满意度，随机调查了1000名用户的投诉原因，得到如下列联表：物流问题商品质量服务态度总计新用户1208050250老用户200300250750总计3203803001000（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为投诉原因与用户类型有关；（6分）（2）若从投诉“商品质量”的用户中随机抽取3人，记其中新用户的人数为$Z$，求$Z$的分布列和数学期望。（6分）参考公式：$K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，其中$n=a+b+c+d$$P(K^2≥k_0)$0.100.050.01$k_0$2.7063.8416.635解答过程：（1）计算$K^2$：$K^2=\frac{1000×(120×300-80×200)^2}{250×750×320×380}$$=\frac{1000×(36000-16000)^2}{250×750×320×380}$$=\frac{1000×40000^2}{250×750×320×380}≈\frac{1.6×10^{12}}{2.28×10^{10}}≈69.29>3.841$故有95%的把握认为投诉原因与用户类型有关。（2）$Z$服从超几何分布$H(N=380,M=80,n=3)$$P(Z=0)=\frac{C_{80}^0C_{300}^3}{C_{380}^3}≈0.48$$P(Z=1)=\frac{C_{80}^1C_{300}^2}{C_{380}^3}≈0.40$$P(Z=2)=\frac{C_{80}^2C_{300}^1}{C_{380}^3}≈0.11$$P(Z=3)=\frac{C_{80}^3C_{300}^0}{C_{380}^3}≈0.01$分布列：|$Z$|0|1|2|3||-----|------|------|------|------||$P$|0.48|0.40|0.11|0.01|$E(Z)=3×\frac{80}{380}≈0.63$评分标准：（1）$K^2$公式2分，计算3分，结论1分（2）分布列4分（每个概率1分），期望2分7.概率模型与决策（13分）某工厂生产两种零件A和B，每件A零件获利50元，次品率为2%；每件B零件获利80元，次品率为5%。该厂现有两种生产方案：方案一：生产A零件1000件；方案二：生产B零件600件。已知生产过程中，次品会导致200元/件的损失。（1）分别计算两种方案的期望利润；（6分）（2）若工厂追求利润稳定性，应选择哪种方案？（7分）解答过程：（1）方案一：设次品数为$X$，则$X\simB(1000,0.02)$$E(X)=1000×0.02=20$期望利润$E_1=1000×50-20×200=50000-4000=46000$元方案二：设次品数为$Y$，则$Y\simB(600,0.05)$$E(Y)=600×0.05=30$期望利润$E_2=600×80-30×200=48000-6000=42000$元（2）计算方差判断稳定性：方案一：$D(X)=1000×0.02×0.98=19.6$利润方差$D_1=D(-200X)=(-200)^2D(X)=40000×19.6=784000$方案二：$D(Y)=600×0.05×0.95=28.5$利润方差$D_2=D(-200Y)=40000×28.5=1140000$由于$D_1<D_2$，方案一利润更稳定。答案：（1）方案一46000元，方案二42000元（2）选择方案一评分标准：（1）每个方案期望利润计算3分（含期望公式1分，方差公式1分，结果1分）（2）方差计算4分，决策3分四、附加题（10分）某投资者有10万元资金，计划投资甲、乙两种股票，已知甲股票收益率$R_1\simN(0.1,0.04)$，乙股票收益率$R_2\simN(0.15,0.09)$，且$R_1$与$R_2$的相关系数为-0.2。若投资者将$x$万元投入甲股票，$10-x$万元投入乙股票，求：（1）总收益率$R=xR_1+(10-x)R_2$的期望与方差；（5分）（2）当$x$为何值时，总收益率的方差最小？（5分）解答过程：（1）$E(R)=xE(R_1)+(10-x)E(R_2)=0.1x+0.15(10-x)=1.5-0.05x$$D(R)=x^2D(R_1)+(10-x)^2D(R_2)+2x(10-x)\rho\sqrt{D(R_1)D(R_2)}$$=0.04x^2+0.09(10-x)^2+2x(10-x)(-0.2)\sqrt{0.04×0.09}$$=0.04x^2+0.09(100-20x+x^2)-0.024x(10-x)$$=0.04x^2+9-1.8x+0.09x^2-0.24x+0.024x^2$$=0.154x^2-2.04x+9$（2）令$f(x)=0.154x^2-2.04x+9$求导得$f'(x)=0.308x-2.04$令$f'(x)=0$，解得$x≈6.62$答案：（1）期望$1.5-0.05x$，方差$0.154x^2-2.04x+9$（2）$x≈6.62$万元评分