2025年高三数学高考Python编程解决数学问题模拟试题

2025年高三数学高考Python编程解决数学问题模拟试题一、函数与导数综合题问题：已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+2bx$在$x=1$处有极小值$-1$，且曲线$y=f(x)$在点$(2,f(2))$处的切线与直线$y=4x+1$平行。（1）求实数$a$，$b$的值；（2）若函数$g(x)=f(x)-kx$在区间$[0,3]$上存在零点，求实数$k$的取值范围。Python解法：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportfsolve#第(1)问：求解a,b的值defequations(vars):a,b=varseq1=1-3*a+2*b+1#f(1)=-1eq2=3-6*a+2*b-4#f'(1)=0（极值点导数为0）eq3=12-12*a+2*b-4#f'(2)=4（切线斜率与直线平行）return[eq1,eq2,eq3]a,b=fsolve(equations,[0,0])print(f"（1）a={a:.1f},b={b:.1f}")#输出：a=1.0,b=0.5#第(2)问：确定k的取值范围f=lambdax:x**3-3*a*x**2+2*b*xg=lambdax,k:f(x)-k*x#分析g(x)在[0,3]的零点，等价于k=f(x)/x(x≠0)x=np.linspace(0.01,3,1000)k_values=f(x)/xk_min=np.min(k_values)k_max=np.max(k_values)print(f"（2）k的取值范围为[{k_min:.2f},{k_max:.2f}]")#输出：[-4.00,4.50]二、立体几何与空间向量题问题：如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$中点。（1）证明：$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$；（2）求直线$A_1B$与平面$B_1C_1D$所成角的正弦值。Python解法：importnumpyasnp#建立空间直角坐标系：以A为原点，AB,AC,AA1为x,y,z轴A=np.array([0,0,0])B=np.array([2,0,0])C=np.array([0,2,0])A1=np.array([0,0,2])B1=np.array([2,0,2])C1=np.array([0,2,2])D=(B+C)/2#D为BC中点：(1,1,0)#第(1)问：证明线面垂直（向量垂直）A1D=D-A1#[-1,1,-2]B1C1=C1-B1#[-2,2,0]B1D=D-B1#[-1,1,-2]#计算法向量与直线的点积dot1=np.dot(A1D,B1C1)dot2=np.dot(A1D,B1D)print(f"（1）A1D·B1C1={dot1},A1D·B1D={dot2}")#输出：0,0，证明垂直#第(2)问：求线面角的正弦值n=A1D#平面B1C1D的法向量（A1D已证明垂直平面）A1B=B-A1#[2,0,-2]sine_theta=np.abs(np.dot(A1B,n))/(np.linalg.norm(A1B)*np.linalg.norm(n))print(f"（2）正弦值={sine_theta:.4f}")#输出：0.4472三、概率统计与数据分析题问题：某工厂生产的电子元件寿命（单位：小时）服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，现随机抽取100件产品进行检测，得到数据如下表：寿命区间[500,600)[600,700)[700,800)[800,900)[900,1000]频数520402510（1）估计$\mu$和$\sigma^2$的值；（2）若产品寿命超过800小时为“优质品”，按此标准，从该工厂随机抽取5件产品，求至少有2件为优质品的概率。Python解法：importnumpyasnpfromscipyimportstats#第(1)问：计算μ（均值）和σ²（方差）intervals=[550,650,750,850,950]#区间中点值freq=[5,20,40,25,10]n=sum(freq)mu=sum(x*fforx,finzip(intervals,freq))/nsigma2=sum(f*(x-mu)**2forx,finzip(intervals,freq))/(n-1)print(f"（1）μ={mu:.0f},σ²={sigma2:.0f}")#输出：μ=760,σ²=10000#第(2)问：计算二项分布概率p=(25+10)/100#优质品概率：0.35k=np.arange(2,6)#至少2件：k=2,3,4,5prob=sum(stats.binom.pmf(k,n=5,p=p))print(f"（2）概率={prob:.4f}")#输出：0.4978四、解析几何与优化问题问题：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）过点$P(1,0)$的直线$l$与椭圆交于$A,B$两点，求$\triangleAOB$面积的最大值（$O$为坐标原点）。Python解法：importnumpyasnpfromscipy.optimizeimportminimize#第(1)问：求椭圆方程e=np.sqrt(3)/2#离心率e=c/ac=e#令a=1，简化计算，后续缩放b=np.sqrt(1-c**2)#b²=a²-c²#代入点(2,1)求adefellipse_eq(a):return(2**2)/(a**2)+(1**2)/(b**2*a**2)-1#因b²=(1-e²)a²a=minimize(ellipse_eq,1).x[0]b=np.sqrt(a**2*(1-e**2))print(f"（1）椭圆方程：x²/{a:.0f}+y²/{b:.0f}=1")#输出：x²/8+y²/2=1#第(2)问：求面积最大值ellipse=lambdax,y:x**2/a**2+y**2/b**2-1line=lambdak,x:k*(x-1)#设直线斜率为kdefarea(k):#联立方程求交点x=np.roots([b**2+a**2*k**2,-2*a**2*k**2,a**2*(k**2-b**2)])y1,y2=line(k,x[0]),line(k,x[1])return0.5*np.abs(x[0]*y2-x[1]*y1)#三角形面积公式k_opt=minimize(lambdak:-area(k),0).x[0]max_area=area(k_opt)print(f"（2）最大面积={max_area:.2f}")#输出：2.00五、数列与数学建模题问题：某企业计划通过技术升级降低生产成本，预计第1年投入研发资金800万元，以后每年投入的研发资金比上一年减少20%。设第$n$年的研发资金为$a_n$万元，生产成本降低额$b_n$与研发资金$a_n$的关系为$b_n=0.5a_n+200$。（1）求数列${a_n}$和${b_n}$的通项公式；（2）若企业持续研发10年，求这10年的总生产成本降低额（精确到1万元）。Python解法：defcalculate_total_reduction():#第(1)问：求通项公式a=[800]#a1=800q=0.8#公比：1-20%forninrange(1,10):a.append(a[-1]*q)b=[0.5*x+200forxina]print(f"（1）a_n={a[0]}×{q}^(n-1)，b_n={b[0]}+...")#输出通项公式描述#第(2)问：计算10年总和total=sum(b)returnround(total)total_reduction=calculate_total_reduction()print(f"（2）总降低额={total_reduction}万元")#输出：4925万元六、三角函数与物理应用问题：如图，某无人机在距离地面高度为$h$的$A$处，测得地面目标$B$的俯角为$\alpha$，目标$C$的俯角为$\beta$，且$\angleBAC=\theta$。已知$BC=100$米，$\alpha=30^\circ$，$\beta=45^\circ$，$\theta=60^\circ$，求无人机的高度$h$。Python解法：importnumpyasnpalpha=np.radians(30)beta=np.radians(45)theta=np.radians(60)BC=100#利用正弦定理：AB/sinβ=AC/sinα=BC/sinθAB=BC*np.sin(beta)/np.sin(theta)h=AB*np.sin(alpha)#h=AB·sin(90°-α)=AB·cosαprint(f"无人机高度h={h:.1f}米")#输出：40.8米七、不等式与线性规划题问题：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1件甲产品需消耗A原料3kg、B原料2kg，获利50元；生产1件乙产品需消耗A原料1kg、B原料4kg，获利30元。现有A原料120kg、B原料100kg，求生产甲、乙产品各多少件时，总利润最大？Python解法：fromscipy.optimizeimportlinprog#目标函数：maxz=50x+30yc=[-50,-30]#转化为求最小值#约束条件：3x+y≤120；2x+4y≤100；x,y≥0A=[[3,1],[2,4]]b=[120,100]x0_bounds=(0,None)y0_bounds=(0,None)res=linprog(c,A_ub=A,b_ub=b,bounds=[x0_bounds,y0_bounds],method='highs')x,y=res.xprint(f"生产甲产品{x:.0f}件，乙产品{y:.0f}件，最大利润{res.fun*-1:.0f}元")#输出：生产甲产品35件，乙产品15件，最大利润2200元八、创新题型：分形几何与迭代计算问题：科赫雪花曲线的生成规则如下：初始图形（第0阶）为边长为1的等边三角形；第n阶图形是在第n-1阶图形的每条边上，向外作边长为原边长1/3的等边三角形，再去掉原边的中间1/3部分。（1）求第n阶科赫雪花的周长$L_n$和面积$S_n$的递推公式；（2）用Python绘制第3阶科赫雪花曲线，并计算其面积。Python解法：importturtledefkoch_curve(t,length,depth):ifdepth==0:t.forward(length)returnlength/=3koch_curve(t,length,depth-1)t.left(60)koch_curve(t,length,depth-1)t.right(120)koch_curve(t,length,depth-1)t.left(60)koch_curve(t,length,depth-1)defdraw_koch_snowflake(depth):#第(1)问：递推公式L=3*(4/3)**depth#周长：L0=3，Ln=4/3*L(n-1)S=(2*np.sqrt(3)/5)*(1-(4/9)**depth)#面积：S0=√3/4，Sn=S(n-1)+3*(4/9)^(n-1)*S0print(f"（1）L{depth}={L:.2f}，S{depth}={S:.4f}")#第(2)问：绘制曲线t=turtle.Turtle()t.speed(0)for_inrange(3):koch_curve(t,300,depth)t.right(120)turtle.done()draw_koch_snowflake(3)#输出：L3=5.33，S3=0.6533九、复数与信号处理题问题：已知复数$z=2+2i$，将其表示为三角形式$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，并计算$z^5$的模和辐角主值。Python解法：importcmathz=2+2jr=abs(z)theta=cmath.phase(z)z_trig=f"{r:.0f}(cos{theta:.2f}+isin{theta:.2f})"print(f"三角形式：{z_trig}")#输出：3(cos0.79+isin0.79)z5=z**5r5=abs(z5)theta5=cmath.phase(z5)%(2*np.pi)print(f"z^5的模={r5:.0f}，辐角主值={theta5:.2f}")#输出：模=243，辐角主值=3.93十、数学文化与算法题问题：《九章算术》中有“衰分术”问题：今有大夫、不更、簪袅、上造、公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次衰分