2025年高三数学高考创新题模拟试题

2025年高三数学高考创新题模拟试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分）1.2024年某外卖平台为优化配送路径，将配送区域抽象为平面直角坐标系。已知骑手从原点出发，沿向量$\vec{a}=(3,4)$行驶30分钟后，再沿向量$\vec{b}=(m,12)$行驶20分钟到达目的地，若全程平均速度的模为$\frac{60}{13}\text{km/min}$，则$m$的值为（）A.$-5$B.$5$C.$-16$D.$16$2.《九章算术》中“粟米之法”记载：“粟率五十，粝米三十”（即粟米50斤可换粝米30斤）。现有粜米商以两种比例兑换粮食：①粟米$x$斤换粝米$y_1=\frac{3}{5}x$斤；②先将粟米按$1:2$磨成粗米，再将粗米按$3:2$磨成粝米。若要获得更多粝米，则$x>0$时应选择的兑换方式及理由是（）A.①，因$y_1-y_2=0$B.②，因$y_2-y_1=\frac{1}{5}x$C.①，因$y_1-y_2=\frac{1}{10}x$D.②，因$y_2-y_1=\frac{3}{10}x$3.某人工智能模型训练时，输入数据$x$与输出概率$p(x)$满足$p(x)=\frac{e^{kx}}{1+e^{kx}}$（$k>0$）。若$p(1)=\frac{1}{2}$，则$p(2)-p(0)$的值为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$4.已知函数$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的图像相邻最高点横坐标差为$\pi$，且过点$(0,\frac{1}{2})$，则下列说法错误的是（）A.$\omega=2$B.$\varphi=\frac{\pi}{6}$C.图像关于点$(\frac{\pi}{6},0)$对称D.在$[-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{6}]$上单调递增5.某医疗团队研究发现，某种疾病筛查中，患病者检测阳性概率为0.95，未患病者检测阴性概率为0.9。若该疾病在人群中的患病率为0.01，现某人检测结果为阳性，则其实际患病的概率约为（）A.0.087B.0.152C.0.326D.0.6746.在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为$B_1C_1$中点，$F$为$A_1D_1$中点，$G$为$DD_1$中点，则直线$EF$与平面$AEG$所成角的正弦值为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{6}}{6}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$7.已知双曲线$C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的右焦点为$F$，过$F$且斜率为$\sqrt{3}$的直线与$C$交于$A,B$两点，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，则$C$的离心率为（）A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.2D.38.定义“$m$阶倒差数列”：对于数列${a_n}$，令$b_n=\frac{1}{a_{n+m}}-\frac{1}{a_n}(n\in\mathbb{N}^*)$。若${a_n}$为等差数列且$a_1=1$，公差$d=1$，则${b_n}$的前10项和为（）A.$-\frac{10}{11}$B.$-\frac{5}{6}$C.$\frac{5}{6}$D.$\frac{10}{11}$9.某工厂生产的零件尺寸$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，质检标准为：$|X-\mu|\leq2\sigma$为合格，否则为不合格。若随机抽取100个零件，发现2个不合格，则$\sigma$的估计值约为（）（参考数据：$P(|X-\mu|\leq2\sigma)\approx0.9545$）A.$\frac{1}{0.9545}$B.$\frac{1}{\sqrt{0.9545}}$C.$\frac{1}{100\times0.9545}$D.无法确定10.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\leq0\\ln(x+1),x>0\end{cases}$，若关于$x$的方程$f(x)=m$有三个不同实根，则$m$的取值范围是（）A.$(-1,0)$B.$(-1,1)$C.$(0,1)$D.$(1,+\infty)$二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知复数$z=\frac{1+2i}{1-i}$（$i$为虚数单位），则$|z|=$______，$z$的共轭复数$\overline{z}$在复平面内对应的点位于第______象限。12.某3D打印模型的表面由圆柱和半球拼接而成，圆柱底面半径为$r$，高为$2r$，半球半径为$r$。则该模型的表面积为______（用含$r$的式子表示），体积与表面积的比值为______。13.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,-1)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}+\vec{b})$，则$x=$；若$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角为锐角，则$x$的取值范围是。14.某城市规划中，地铁线路$l$的方程为$y=2x+1$，现要在直线$l$上建一站点$P$，使$P$到居民区$A(0,3)$和商业区$B(2,0)$的距离之和最小，则$P$点坐标为______，最小距离和为______。15.已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，则$f(x)$的极小值为______；若方程$f(x)=k$有三个不同实根，则$k$的取值范围是______。16.某科研团队进行种子发芽试验，每天记录发芽率$r_n$（$n$为天数），发现$r_n=\frac{r_{n-1}}{1+r_{n-1}}+a$（$a>0$，$r_0=0$）。若第3天发芽率为$\frac{1}{2}$，则$a=$；该数列${r_n}$的极限值为。三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$，已知$\cosA=\frac{3}{5}$，$\sinB=\frac{5}{13}$。（1）求$\sinC$的值；（2）若$a=10$，求$\triangleABC$的面积及外接圆半径。18.（12分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$中点。（1）求证：$A_1D\perp$平面$B_1C_1D$；（2）求二面角$A_1-B_1D-C_1$的余弦值。19.（12分）某电商平台销售一种商品，进价为每件40元，售价为每件$x$元（$x>40$），根据市场调查，日销量$y$（件）与售价$x$的关系为$y=-10x+1000$。（1）求日利润$L(x)$的函数解析式，并求$x$为何值时，日利润最大？（2）若平台需缴纳的手续费为销售额的10%，且每件商品需额外支出包装费2元，此时日利润$L'(x)$与（1）中最大利润相比，变化了多少？20.（12分）已知椭圆$E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点$(2,\sqrt{2})$。（1）求椭圆$E$的标准方程；（2）过点$P(1,0)$的直线$l$与椭圆$E$交于$M,N$两点，若$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0$（$O$为原点），求直线$l$的方程。21.（12分）为研究某地区居民收入与消费的关系，随机抽取10户家庭，得到如下数据：|收入$x_i$（千元）|20|25|30|35|40|45|50|55|60|65||-------------------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||消费$y_i$（千元）|15|18|22|25|28|30|32|35|38|40|（1）求$y$关于$x$的线性回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$；（2）若该地区某家庭年收入为80千元，预测其年消费额；（3）计算相关系数$r$，并判断收入与消费的线性相关程度（参考数据：$r>0.75$为强相关）。22.（12分）已知函数$f(x)=e^x-\sinx-ax$（$a\in\mathbb{R}$）。（1）若$a=1$，证明：当$x