2025年高三数学高考难点攻克模拟试题

2025年高三数学高考难点攻克模拟试题一、选择题（共10题，每题6分，共60分）已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(A\capB=B)，则实数(a)的值为（）A.0或1或2B.1或2C.0D.0或1解析：由(A\capB=B)知(B\subseteqA)。解方程(x^2-3x+2=0)得(A={1,2})。当(a=0)时，(B=\varnothing)满足条件；当(a\neq0)时，(B={\frac{2}{a}})，则(\frac{2}{a}=1)或(2)，解得(a=2)或(1)。综上，(a=0,1,2)，选A。函数(f(x)=e^x-\ln(x+m))，当(m\leq2)时，证明(f(x)>0)。以下证明过程正确的是（）A.直接求导得(f'(x)=e^x-\frac{1}{x+m})，令导数为0得极值点B.构造(g(x)=e^x-\ln(x+2))，证明(g(x)_{\text{min}}>0)C.利用放缩法：(e^x\geqx+1)，(\ln(x+m)\leqx+m-1)D.分(m\leq1)和(1<m\leq2)两种情况讨论解析：当(m\leq2)时，(\ln(x+m)\leq\ln(x+2))（(x+m>0)），故只需证(e^x-\ln(x+2)>0)。设(g(x)=e^x-\ln(x+2))，(g'(x)=e^x-\frac{1}{x+2})在((-2,+\infty))单调递增。由(g'(-1)=\frac{1}{e}-1<0)，(g'(0)=1-\frac{1}{2}>0)，知存在(x_0\in(-1,0))使(g'(x_0)=0)。则(g(x){\text{min}}=e^{x_0}-\ln(x_0+2))，又(e^{x_0}=\frac{1}{x_0+2})，故(g(x){\text{min}}=\frac{1}{x_0+2}+x_0+2-2\geq2\sqrt{1}-2=0)（均值不等式），等号取不到，选B。在正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，点(E,F)分别是(A_1D_1)和(C_1D_1)的中点，则（）A.(EF\parallelAC)B.(EF\perpBD)C.(EF\perp)平面(BCC_1B_1)D.(EF)与平面(ABCD)所成角为(45^\circ)解析：以(D)为原点建系，设棱长为2，则(E(1,0,2))，(F(0,1,2))，(\overrightarrow{EF}=(-1,1,0))。(\overrightarrow{AC}=(-2,2,0))，故(\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC})，即(EF\parallelAC)，选A。已知抛物线(y^2=2px(p>0))的焦点为(F)，过点(F)且斜率为1的直线交抛物线于(A,B)两点，若线段(AB)的中点的纵坐标为2，则该抛物线方程为（）A.(y^2=4x)B.(y^2=8x)C.(y^2=2x)D.(y^2=6x)解析：设(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，直线(AB:y=x-\frac{p}{2})。联立方程得(y^2-2py-p^2=0)，则(y_1+y_2=2p)。由中点纵坐标为2得(\frac{y_1+y_2}{2}=p=2)，故抛物线方程为(y^2=4x)，选A。若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设({a_n})是公比为(q)的无穷等比数列，其前(n)项和为(S_n)，下列四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是（）A.(S_1)与(S_2)B.(a_2)与(S_3)C.(a_1)与(a_n)D.(q)与(a_n)解析：A中，(S_1=a_1)，(S_2=a_1+a_1q)，可解得(a_1)和(q)，唯一确定数列；B中，(a_2=a_1q)，(S_3=a_1(1+q+q^2))，可能有两个(q)满足方程；C中，(a_n=a_1q^{n-1})，(q)不唯一；D中，若(n)未知则无法确定(a_1)。选A。在三棱锥的顶点和各棱中点中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.141种B.144种C.147种D.149种解析：总点数为(4+6=10)（4顶点+6中点），任取4点有(C_{10}^4=210)种。共面情况包括：①4顶点共面：1种；②3顶点1中点：每个面有3个中点，4个面共(4×3=12)种；③2顶点2中点：每条棱上2中点与对棱2顶点共面，6条棱有6种；④4中点：每个面3个中点，4个面共4种。共面总数为(1+12+6+4=23)，故不共面取法为(210-23=187)（注：原答案可能存在计算误差，此处按标准方法推导）。已知函数(f(x)=x^3-3x+1)，则(f(x))的极值点为（）A.(x=1)B.(x=-1)C.(x=0)D.(x=1)和(x=-1)解析：(f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1))，令(f'(x)=0)得(x=\pm1)。当(x<-1)时(f'(x)>0)，(-1<x<1)时(f'(x)<0)，(x>1)时(f'(x)>0)，故极值点为(x=\pm1)，选D。在(\triangleABC)中，(\angleA=60^\circ)，(AB=4)，(AC=6)，则(BC)的长度为（）A.(2\sqrt{3})B.(4\sqrt{3})C.(2\sqrt{7})D.(2\sqrt{19})解析：由余弦定理(BC^2=AB^2+AC^2-2AB·AC\cosA=16+36-2×4×6×\frac{1}{2}=28)，故(BC=2\sqrt{7})，选C。若复数(z)满足(|z-2|=|z+2|)，则复数(z)对应的点在复平面内位于（）A.x轴上B.y轴上C.第一象限D.第二象限解析：设(z=x+yi(x,y\inR))，则(\sqrt{(x-2)^2+y^2}=\sqrt{(x+2)^2+y^2})，平方化简得(x=0)，故轨迹为y轴，选B。某外卖平台配送员在网格状区域送餐，每个格子边长为1公里，从原点((0,0))到目标点((3,4))，要求只能向右或向上移动，则最短路径中经过点((2,2))的概率为（）A.(\frac{1}{5})B.(\frac{2}{7})C.(\frac{3}{7})D.(\frac{3}{5})解析：最短路径需向右3次、向上4次，共(C_7^3=35)种。经过((2,2))的路径分为两段：((0,0)\to(2,2))有(C_4^2=6)种，((2,2)\to(3,4))有(C_3^1=3)种，共(6×3=18)种。概率为(\frac{18}{35}\approx0.51)（注：选项中无正确答案，可能题目参数调整为((3,3))目标点，则概率为(\frac{C_4^2C_4^1}{C_8^3}=\frac{6×4}{56}=\frac{3}{7})，选C）。二、填空题（共6题，每题5分，共30分）已知向量(\overrightarrow{a}=(1,m))，(\overrightarrow{b}=(3,2))，且((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b})，则(m=)________。答案：-8解析：(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4,m+2))，由垂直条件得(4×3+(m+2)×2=0)，解得(m=-8)。若(\tan\alpha=3)，则(\frac{\sin2\alpha}{\cos^2\alpha}=)________。答案：6解析：原式(=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha}=2\tan\alpha=6)。已知等差数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_3+a_4+a_5=12)，则(S_7=)________。答案：28解析：(a_3+a_5=2a_4)，故(3a_4=12\Rightarrowa_4=4)。(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=28)。某公司为评估产品满意度，随机调查100位用户，得到列联表如下：满意不满意总计男性4010女性3020总计7030则(K^2)的观测值为________（精确到0.01）。答案：4.76解析：(K^2=\frac{100×(40×20-30×10)^2}{50×50×70×30}=\frac{100×500^2}{50×50×70×30}\approx4.76)。已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的图像过点((\frac{\pi}{3},1))和((\frac{\pi}{2},0))，则(\omega=)________。答案：3解析：由题意知(\frac{T}{4}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}\RightarrowT=\frac{2\pi}{3})，故(\omega=\frac{2\pi}{T}=3)。已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为(\sqrt{5})，则该棱锥的体积为________。答案：(\frac{4}{3})解析：高(h=\sqrt{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{3})，体积(V=\frac{1}{3}×2^2×\sqrt{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3})（注：若侧棱长为3，则(h=\sqrt{9-2}=\sqrt{7})，此处按原题数据计算）。三、解答题（共6题，共70分）（10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(\cosA=\frac{3}{5})，(\sinB=\frac{5}{13})，求(\cosC)的值。解析：由(\cosA=\frac{3}{5})得(\sinA=\frac{4}{5})。因为(\sinB=\frac{5}{13}<\sinA)，所以(B<A)或(B>\pi-A)（舍去，否则(A+B>\pi)），故(\cosB=\frac{12}{13})。(\cosC=-\cos(A+B)=\sinA\sinB-\cosA\cosB=\frac{4}{5}×\frac{5}{13}-\frac{3}{5}×\frac{12}{13}=\frac{20-36}{65}=-\frac{16}{65})。（12分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n)。（1）证明：数列({a_n+n+1})是等比数列；（2）求数列({a_n})的前(n)项和(S_n)。解析：（1）由(a_{n+1}+(n+1)+1=2a_n+n+n+2=2(a_n+n+1))，且(a_1+1+1=3)，故数列({a_n+n+1})是以3为首项，2为公比的等比数列。（2）由（1）得(a_n+n+1=3×2^{n-1}\Rightarrowa_n=3×2^{n-1}-n-1)。(S_n=3(2^n-1)-\frac{n(n+1)}{2}-n=3×2^n-\frac{n^2+3n+6}{2})。（12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)为(BC)中点。（1）求证：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A-DC_1-C)的余弦值。解析：（1）连接(A_1C)交(AC_1)于(O)，则(O)为(A_1C)中点。又(D)为(BC)中点，故(OD\parallelA_1B)。因为(OD\subset)平面(ADC_1)，(A_1B\not\subset)平面(ADC_1)，所以(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。（2）以(A)为原点建系，(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(C_1(0,2,2))，(C(0,2,0))。(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AC_1}=(0,2,2))，设平面(ADC_1)法向量(\overrightarrow{n}=(x,y,z))，则(\begin{cases}x+y=0\2y+2z=0\end{cases})，取(\overrightarrow{n}=(1,-1,1))。平面(DC_1C)法向量为(\overrightarrow{m}=(1,0,0))（(x)轴方向）。(\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{n}·\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}=\frac{1}{\sqrt{3}×1}=\frac{\sqrt{3}}{3})，故二面角余弦值为(\frac{\sqrt{3}}{3})。（12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，右焦点为(F(3,0))。（1）求椭圆(C)的方程；（2）过点(F)的直线(l)交椭圆于(A,B)两点，若(|AB|=\frac{16}{5})，求直线(l)的方程。解析：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(c=3)得(a=2\sqrt{3})，(b^2=a^2-c^2=12-9=3)，故椭圆方程为(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1)。（2）设直线(l:y=k(x-3))，联立椭圆方程得((1+4k^2)x^2-24k^2x+36k^2-12=0)。(|AB|=\sqrt{1+k^2}·\frac{\sqrt{\Delta}}{1+4k^2}=\sqrt{1+k^2}·\frac{4\sqrt{3(1-k^2)}}{1+4k^2}=\frac{16}{5})，解得(k=\pm1)，故直线方程为(y=x-3)或(y=-x+3)。（12分）某工厂生产一种精密零件，其直径(X)（单位：mm）服从正态分布(N(10,0.01))。质检规定：直径在([9.8,10.2])内为合格，否则为不合格。（1）求该零件的合格率；（2）若从一批零件中随机抽取10个，记不合格品数为(Y)，求(Y)的数学期望和方差。（附：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，则(P(|X-\mu|\leq2\sigma)=0.9544)，(P(|X-\mu|\leq3\sigma)=0.9974)）解析：（1）(\mu=10)，(\sigma=0.1)，(9.8=10-2×0.1)，(10.2=10+2×0.1)，故合格率(P=0.9544)。（2）(Y\simB(10,0.0456))，则(E(Y)=10×0.0456=0.456)，(D(Y)=10×0.0456×0.9544\approx0.435)。（12分）已知函数(f(x)=\lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a\inR))。（1）当(a=-1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）当(0<a<\frac{1}{2})时，讨论函数(f(x))的零点个数。解析：（1）当(a=-1)时，(f(x)=\lnx+x+\frac{2}{x}-1)，(f'(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2}=\frac{(x+2)(x-1)}{x^2})。令(f'(x)>0)得(x>1)，令(f'(x)<0)得(0<x<1)，故单调增区间为((1,+\infty))，减区间为((0,1))。（2）(f'(x)=\frac{-ax^2+x+a-1}{x^2}=-\frac{(x-1)(ax+a-1)}{x^2})，令(f'(x)=0)得(x=1)或(x=\frac{1-a}{a})（(0<a<\frac{1}{2})时(\frac{1-a}{a}>1)）。极小值(f(1)=-a<0)，极大值(f(\frac{1-a}{a})=\ln\frac{1-a}{a}-(1-a)+\frac{a}{1-a}-1)。令(t=\frac{1-a}{a}>1)，则(f(t)=\lnt-t+\frac{1}{t}-1)，求导得(f'(t)=\frac{-(t-1)^2}{t^2}<0)，故(f(t)<f(1)=-1<0)，因此函数(f(x))只有一个零点。（12分）已知函数(f(x)=\lnx-ax+\frac{1-a}{x}-1(a\inR))。（1）当(a=-1)时，求函数(f(x))的单调区间；（2）当(0<a<\frac{1}{2})时，讨论函数(f(x))的零点个数。解析：（1）当(a=-1)时，(f(x)=\lnx+x+\frac{2}{x}-1)，(f'(x)=\frac{1}{x}+1-\frac{2}{x^2}=\frac{x^2+x-2}{x^2}=\frac{(x+2)(x-1)}{x^2})。令(f'(x)>0)得(x>1)，令(f'(x)<0)得(0<x<1)，故单调增区间为((1,+\infty))，减区间为((0,1))。（2）(f'(x)=\frac{-ax^2+x+a-1}{x^2}=-\frac{(x-1)(ax+a-1)}{x^2})，令(f'(x)=0)得(x=1)或(x=\frac{1-a}{a})（(0<a<\frac{1}{2})时(\frac{1-a}{a}>1)）。极小值(f(1)=-a<0)，极大值(f(\frac{1-a}{a})=\ln\frac{1-a}{a}-(1-a)+\frac{a}{1-a}-1)。令(t=\frac{1-a}{a}>1)，则(f(t)=\lnt-t+\frac{1}{t}-1)，求导得(f'(t)=\frac{-(t-1)^2