2025年高三数学高考数学归纳法应用模拟试题

2025年高三数学高考数学归纳法应用模拟试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.用数学归纳法证明“对于任意正整数(n)，(n^3+n)是偶数”时，第一步需验证的初始值是（）A.(n=0)B.(n=1)C.(n=2)D.(n=3)2.已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_n+a_{n+1}=2n)，则(a_5)的值为（）A.5B.7C.9D.113.用数学归纳法证明“(1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2)”时，假设(n=k)时命题成立，则需证明(n=k+1)时的等式为（）A.(1+3+\dots+(2k-1)=k^2)B.(1+3+\dots+(2k+1)=(k+1)^2)C.(1+3+\dots+(2k-3)=k^2)D.(1+3+\dots+(2k-1)=(k+1)^2)4.用数学归纳法证明“(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{2^n-1}<n)”（(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)）时，从(n=k)到(n=k+1)，不等式左边增加的项数为（）A.(k)B.(k+1)C.(2^k)D.(2^{k+1})5.已知数列({a_n})满足(a_1=2)，(a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n})，则下列结论正确的是（）A.(a_n=\frac{2}{2n-1})B.数列({a_n})是递增数列C.(a_1+a_2+\dots+a_n<n)D.对任意(n\geq2)，(a_n<\frac{1}{n})6.用数学归纳法证明“((n+1)(n+2)\dots(n+n)=2^n\cdot1\cdot3\cdot\dots\cdot(2n-1))”时，从(n=k)到(n=k+1)，等式左边需乘的代数式是（）A.(2k+1)B.(2(2k+1))C.(\frac{2k+1}{k+1})D.(\frac{2k+3}{k+1})7.若命题(P(n))对(n=k)成立，则它对(n=k+2)也成立，已知(P(1))成立，则下列结论正确的是（）A.(P(n))对所有正整数(n)成立B.(P(n))对所有正奇数(n)成立C.(P(n))对所有正偶数(n)成立D.(P(n))对所有自然数(n)成立8.数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n})，则下列不等式成立的是（）A.(a_{100}>14)B.(a_{100}<13)C.(a_{100}=14)D.(a_{100}<12)9.用数学归纳法证明“(3^{4n+1}+5^{2n+1})能被8整除”时，当(n=k+1)时，(3^{4(k+1)+1}+5^{2(k+1)+1})可变形为（）A.(81\cdot3^{4k+1}+25\cdot5^{2k+1})B.(3^{4k+1}+5^{2k+1})C.(25(3^{4k+1}+5^{2k+1})+56\cdot3^{4k+1})D.(81(3^{4k+1}+5^{2k+1})-56\cdot5^{2k+1})10.定义“斐波那契数列”：(F_1=1)，(F_2=1)，(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n)，则下列结论错误的是（）A.(F_1+F_2+\dots+F_n=F_{n+2}-1)B.(F_1^2+F_2^2+\dots+F_n^2=F_nF_{n+1})C.对任意(n\geq2)，(F_{2n-1}=F_n^2+F_{n-1}^2)D.存在(n)，使得(F_n)，(F_{n+1})，(F_{n+2})成等比数列二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.用数学归纳法证明“(1^2+2^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})”时，初始值(n_0=)________。12.数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)，则其通项公式为(a_n=)________。13.用数学归纳法证明“(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}>\frac{13}{24})”（(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)）时，第一步需验证的不等式为________。14.已知函数(f(x)=\frac{x}{1+x})，定义(f_1(x)=f(x))，(f_{n+1}(x)=f(f_n(x)))，则(f_n(x)=)________。三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（12分）用数学归纳法证明：对任意(n\in\mathbb{N}^*)，(1\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3})。证明步骤：（1）当(n=1)时，左边(=1\cdot2=2)，右边(=\frac{1\cdot2\cdot3}{3}=2)，等式成立。（2）假设(n=k)时等式成立，即(1\cdot2+2\cdot3+\dots+k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3})。当(n=k+1)时，左边(=[1\cdot2+\dots+k(k+1)]+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3})，即(n=k+1)时等式成立。综上，原等式对所有(n\in\mathbb{N}^*)成立。16.（13分）已知数列({a_n})满足(a_1=1)，(a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n})。（1）计算(a_2)，(a_3)，(a_4)，并猜想(a_n)的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想。解答：（1）(a_2=\frac{1}{2-a_1}=1)，(a_3=\frac{1}{2-a_2}=1)，(a_4=1)，猜想(a_n=1)。（2）证明：①(n=1)时，(a_1=1)，成立。②假设(n=k)时(a_k=1)，则(a_{k+1}=\frac{1}{2-1}=1)，即(n=k+1)时成立。综上，(a_n=1)。17.（14分）用数学归纳法证明：对任意(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)，((1-\frac{1}{4})(1-\frac{1}{9})\dots(1-\frac{1}{n^2})=\frac{n+1}{2n})。证明步骤：（1）当(n=2)时，左边(=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4})，右边(=\frac{2+1}{2\cdot2}=\frac{3}{4})，等式成立。（2）假设(n=k)时等式成立，即((1-\frac{1}{4})\dots(1-\frac{1}{k^2})=\frac{k+1}{2k})。当(n=k+1)时，左边(=\frac{k+1}{2k}\cdot(1-\frac{1}{(k+1)^2})=\frac{k+1}{2k}\cdot\frac{k(k+2)}{(k+1)^2}=\frac{k+2}{2(k+1)})，即(n=k+1)时等式成立。综上，原等式对所有(n\geq2)成立。18.（13分）已知数列({a_n})满足(a_1=2)，(a_{n+1}=a_n^2-a_n+1)。（1）证明：对任意(n\in\mathbb{N}^*)，(a_n>1)；（2）证明：(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\dots+\frac{1}{a_n}<1)。证明：（1）①(n=1)时，(a_1=2>1)。②假设(a_k>1)，则(a_{k+1}-1=a_k(a_k-1)>0)，即(a_{k+1}>1)。综上，(a_n>1)。（2）由(a_{n+1}-1=a_n(a_n-1))得(\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1})，累加得(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}<1)。19.（14分）设(f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n})，是否存在关于(n)的整式(g(n))，使得(f(1)+f(2)+\dots+f(n-1)=g(n)[f(n)-1])对所有(n\geq2)，(n\in\mathbb{N}^*)成立？若存在，求出(g(n))并证明；若不存在，说明理由。解答：存在(g(n)=n)。证明如下：（1）当(n=2)时，左边(=f(1)=1)，右边(=2[f(2)-1]=2(\frac{3}{2}-1)=1)，等式成立。（2）假设(n=k)时成立，即(f(1)+\dots+f(k-1)=k[f(k)-1])。当(n=k+1)时，左边(=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k)，右边(=(k+1)[f(k+1)-1]=(k+1)(f(k)+\frac{1}{k+1}-1)=(k+1)f(k)-k)，等式成立。综上，(g(n)=n)。20.（14分）已知函数(f(x)=x-\sinx)，数列({a_n})满足(0<a_1<1)，(a_{n+1}=f(a_n))。（1）证明：(0<a_{n+1}<a_n<1)；（2）证明：(a_{n+1}<\frac{a_n^3}{6})。证明：（1）先证(a_n<1)：①(n=1)时成立。②假设(a_k<1)，则(a_{k+1}=a_k-\sina_k<a_k<1)（因(\sina_k>0)）。再证(a_{n+1}<a_n)：由(f'(x)=1-\cosx\geq0)，且(0<a_n<1)时(f(a_n)<a_n)，得(a_{n+1}<a_n)。综上，(0<a_{n+1}<a_n<1)。（2）由泰勒公式(\sinx>x-\frac{x^3}{6})（(x>0)），得(a_{n+1}=a_n-\sina_n<\frac{a_n^3}{6})。四、附加题（20分，不计入总分）21.用数学归纳法证明：对任意(n\in\mathbb{N}^*)，((1+\sqrt{2})^{2n}+(1-\sqrt{2})^{2n})是偶数，且该数除以4的余数为2。证明提示：设(a_n=(1+\sqrt{2})^{2n}+(1-\sqrt{2})^{2n})，则(a_n=6a_{n-1}-a_{n-2})，结合数学归纳法可证(a_n)为偶数且(a_n\equiv2\mod4)。命