初中数学课件14-第14讲 二次函数的综合

第二部分

课程培优第14讲

二次函数的综合重难点突破经典试题解析陕西中考链接核心素养培优重难点突破01重点1

二次函数与几何图形的综合

1.常考的设问类型

（1）线段问题（线段的数量关系，线段长的最值，周长的最值等）；

（2）面积问题；

（3）特殊图形存在性问题；

（4）角度的数量关系问题。

2.二次函数与几何图形综合的常用方法

（1）待定系数法:根据原始条件所给点的坐标，设关系式的恰当形式,代入点的坐标解方程（组）可得函数关系式；对于变换后的抛物线,根据变换特点,一般以顶点式确定特殊点的对应点坐标来确定变换后的关系式。

（2）数形结合、转化法:数形结合问题,也可以看作代数、几何综合问题。二次函数中常考的题目类型主要是坐标系中的几何问题,以及图形运动过程中函数解析式、动点的坐标计算等，方法就是把点的坐标转化为点到坐标轴的距离,或者把点到坐标轴的距离转化为点的坐标进行计算。

（3）模型构造法:模型构造主要分图形模型构造和方程模型构造。图形模型构造表现在抛物线与三角形等几何图形综合时,添加辅助线，例如过某些特殊点向坐标轴作垂线段,实现点的坐标与线段长度的相互转化；方程模型构造表现在寻找动点满足的某种等量关系（线段长度或坐标本身）,列出与动点的坐标有关的方程,通过解方程计算满足条件的动点坐标。

（4）分类讨论法:构造与已知三角形全等或相似的三角形时,要考虑顶点的对应关系是否有变化,分不同情况考虑解的合理性；遇到二次函数与特殊三角形的存在性问题时,根据特殊三角形形状的判定考虑分类；遇到二次函数与平行四边形的存在性问题时,根据已给线段是边还是对角线进行分类等。

重点2

二次函数的实际应用

2.购买销售问题

利用二次函数求最大利润等问题，常与一次函数、不等式、方程相联系，再结合二次函数的性质求最值。利润问题是购买销售问题中的重点问题，对于这类问题，解题的一般步骤为：（1）设出自变量，用含自变量的代数式表示销售的单价、销售量及销售收入等；（2）用含自变量的代数式表示销售商品的成本；（3）用自变量和含自变量的代数式表示销售利润，即可得到函数表达式；（4）根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值。

3.抛物线形问题

这类问题的情境通常有一个抛物线形的物体，如隧道、桥梁、喷泉等,可以通过构造二次函数模型，利用其表达式解决问题。一般方法是利用数形结合和函数思想，建立合理的平面直角坐标系，设出适当的函数表达式，由已知点所在的位置，利用待定系数法求出未知量，从而得出函数表达式，再由二次函数的性质去分析解决问题。

温馨提示

在实际问题中，自变量的取值范围往往会受到实际条件的限制，此时要注意自变量的取值范围会影响最值的大小。经典试题解析02知识点1

二次函数与线段最值问题图2-14-1

1234567（1）求抛物线的解析式；12345671234567

图2-14-2

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1234567知识点2

二次函数与特殊三角形图2-14-3

1234567（1）求抛物线的解析式；1234567

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12345671234567

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图2-14-41234567

图2-14-5

图2-14-6

知识点3

二次函数与特殊平行四边形图2-14-7

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图2-14-8

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知识点4

二次函数与三角形相似（全等）图2-14-9

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图2-14-10

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图2-14-11

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方法指导

探究相似三角形存在性问题的方法

（1）当相似关系确定时,设出点的坐标，表示出线段长，根据比例关系求解；

（2）当相似关系不确定时，先确定是否为直角三角形，当三角形是直角三角形时，找对应的直角关系；当三角形是一般三角形时，找隐含的等角关系再求解。知识点5

二次函数与图形面积图2-14-12

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1234567图2-14-13

1234567图2-14-14

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图2-14-15

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方法指导

二次函数与三角形面积相关问题

在平面直角坐标系中涉及图形面积的计算时，先找图形中有无特殊图形,从图形面积的计算公式出发进行计算，所需的线段长度尽量是坐标轴上或平行于坐标轴的线段长度,也可利用铅垂线分割的方法,再利用点的坐标的几何意义,得到线段的长度或表示出线段的长度。常见的有以下3种方法：

图2-14-16

图2-14-17

图2-14-18知识点6

二次函数与实际应用

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02468…08162432…018324248…1234567

图2-14-19

问题解决：1234567任务1：

确定函数表达式。

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1234567陕西中考链接03图2-14-20

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1234图2-14-21

个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图2-14-21所示：1234

1234（1）求方案一中抛物线的函数表达式；

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1234图2-14-22

1234（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

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1234核心素养培优04

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1234567（3）求在试销售的30天中，共有多少天销售额超过500元？

1234567图2-14-23

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1234567图2-14-24

1234567（1）求抛物线的解析式；

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1234567图2-14-25

（1）求抛物线的解析式；

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1234567图2-14-26

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1234567图2-14-27

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