初中七年级人教版数学上册第二章《有理数的运算》课件

PowerPoint主讲人:202X.X时间:第二章有理数的运算CONTENTS有理数运算的基石——回顾有理数01有理数的乘法运算04有理数的混合运算07有理数的加法运算02有理数的除法运算05有理数的减法运算03有理数的乘方运算06目录PowerPoint有理数运算的基石——回顾有理数PART01PowerPoint01有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。整数可以看作分母为1的分数，例如5可以写成5/1，-3可以写成-3/1。02分数则是形如a/b（a、b为整数，b≠0）的数，像1/2、-3/4等都是分数，它们共同构成了有理数集合。有理数的定义按定义分类，有理数可分为整数和分数。整数包括正整数，如1、2、3等；0；负整数，如-1、-2、-3等。分数包括正分数，像1/3、2/5等；负分数，例如-1/4、-3/7等。按性质符号分类，有理数分为正有理数、0、负有理数。正有理数包含正整数和正分数，负有理数包含负整数和负分数。有理数的分类数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点表示数0，原点右边的点表示正有理数，越往右数越大；原点左边的点表示负有理数，越往左数越小。01任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，比如2在原点右边2个单位长度处，-1.5在原点左边1.5个单位长度处，通过数轴能直观地比较有理数的大小。02数轴与有理数PowerPoint有理数的加法运算PART02PowerPoint同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如，(+3)+(+5)=+(3+5)=8，(-2)+(-4)=-(2+4)=-6。01绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。如(+5)+(-3)=+(5-3)=2，(-7)+(+4)=-(7-4)=-3。02互为相反数的两个数相加得0，例如3+(-3)=0。一个数同0相加，仍得这个数，如0+(-5)=-5。03加法法则探究加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，用字母表示为a+b=b+a。比如3+5=5+3=8。加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c)。例如(2+3)+4=2+(3+4)=9，在有理数加法运算中运用运算律可使计算简便。加法运算律01在实际生活中，有理数加法有很多应用。比如气温变化问题，某天上午气温是5℃，中午升高了3℃，下午又降低了2℃，可通过有理数加法计算最终气温为5+3+(-2)=6℃。02还有海拔高度问题，某山山脚海拔是100米，从山脚到山顶上升了500米，在山顶又下降了100米到达一观景台，观景台海拔为100+500+(-100)=500米，通过这些实例能更好地理解有理数加法在解决实际问题中的作用。加法应用实例PowerPoint有理数的减法运算PART03PowerPoint从数轴的角度来理解，减法是在数轴上从被减数对应的点，按照减数的相反数所表示的方向和距离移动，得到差对应的点，进一步加深对减法法则的认识。有理数的减法法则是减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为a-b=a+(-b)。例如5-3=5+(-3)=2，(-4)-(-2)=(-4)+(+2)=-2。减法法则推导01在有理数的加减法混合运算中，首先根据减法法则将减法转化为加法，统一成加法运算。例如式子3-5+2-1可以转化为3+(-5)+2+(-1)。02然后运用加法交换律和结合律进行简便运算，如3+(-5)+2+(-1)=(3+2)+[(-5)+(-1)]=5+(-6)=-1，通过这样的步骤能更高效准确地进行有理数的加减法混合运算。加减法混合运算在经济问题中，有理数减法常被用到。比如某商店上周盈利500元，这周亏损200元，这周相对于上周的盈利变化为500-(-200)=500+200=700元，这里正数表示盈利增加，负数表示盈利减少。01在行程问题里，若汽车向东行驶10千米记为+10千米，向西行驶8千米记为-8千米，那么汽车两次行驶后相对初始位置的变化为10-(-8)=10+8=18千米，通过这些场景体会有理数减法在实际生活中的应用价值。02减法应用场景PowerPoint有理数的乘法运算PART04PowerPoint01两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如(+3)×(+4)=+(3×4)=12，(-2)×(-5)=+(2×5)=10，(+6)×(-3)=-(6×3)=-18，(-4)×(+7)=-(4×7)=-28。02任何数与0相乘，都得0，如0×5=0，(-3)×0=0，明确乘法法则是进行有理数乘法运算的基础。乘法法则详解01乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为a×b=b×a。比如3×4=4×3=12。03乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，用字母表示为a×(b+c)=a×b+a×c。如2×(3+5)=2×3+2×5=6+10=16，合理运用运算律能简化有理数乘法计算。02乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为(a×b)×c=a×(b×c)。例如(2×3)×4=2×(3×4)=24。乘法运算律几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。例如(-2)×(-3)×(-4)=-(2×3×4)=-24，这里有3个负因数，是奇数个，所以积为负；(-2)×3×(-4)=+(2×3×4)=24，这里有2个负因数，是偶数个，所以积为正。01几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，例如2×(-3)×0×4=0，掌握多个有理数相乘的规律，能准确计算复杂的乘法运算。02多个有理数相乘PowerPoint有理数的除法运算PART05PowerPoint01除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，用字母表示为a÷b=a×1/b(b≠0)。例如6÷3=6×1/3=2，(-8)÷(-2)=(-8)×(-1/2)=4。02两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0，但0不能作除数。如0÷5=0，(-10)÷2=-(10÷2)=-5，明确除法法则是正确进行有理数除法运算的关键。除法法则介绍0102在有理数的乘除混合运算中，先将除法转化为乘法，再按照乘法的运算法则和运算律进行计算。例如式子3÷4×2可以转化为3×1/4×2，然后从左到右依次计算，3×1/4×2=3/4×2=3/2。注意在运算过程中合理运用运算律简化计算，同时要注意运算顺序，避免出现错误。乘除混合运算在分配问题中，有理数除法经常出现。比如将12个苹果平均分给3个人，每人分得的苹果数为12÷3=4个。在速度计算问题里，如果一辆汽车3小时行驶了180千米，那么它的速度为180÷3=60千米/小时，通过这些实际运用，感受有理数除法在解决生活问题中的重要性。0102除法在实际中的运用PowerPoint有理数的乘方运算PART06PowerPoint01求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作an，其中a叫做底数，n叫做指数。例如2×2×2×2=24，这里2是底数，4是指数，24读作2的4次方或2的4次幂。02当n=1时，a1=a，一个数的一次方就是它本身，明确乘方的概念是学习乘方运算的基础。乘方的概念正数的任何次幂都是正数，例如23=8，35=243。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，如(-2)3=-(23)=-8，(-3)4=34=81。0的任何正整数次幂都是0，如05=0，掌握这些规律能快速准确地进行有理数乘方运算。乘方运算的规律01把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法，它与乘方密切相关。例如5600000=5.6×106，这里n=6，是原数的整数位数减1。02在表示绝对值较小的数时，也会用到类似形式，如0.00003=3×10-5，通过科学记数法能更方便地表示和处理较大或较小的数，体现乘方在数学表示中的重要作用。科学记数法与乘方PowerPoint有理数的混合运算PART07PowerPoint先算乘方，再算乘除，最后算加减。例如式子2+3×42，先计算42=16，再算3×16=48，最后算2+48=50。同级运算，按照从左到右的顺序进行。如式子8÷2×3，先算8÷2=4，再算4×3=12。如果有括号，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。例如式子[2+(3-1)×4]÷2，先算小括号里3-1=2，再算2×4=8，接着算2+8=10，最后算10÷2=5，严格遵循运算顺序是进行有理数混合运算的保障。010203混合运算的顺序在进行有理数混合运算时，可以利用运算律简化计算。比如式子25×(4+8)，运用乘法分配律25×(4+8)=25×4+25×8=100+200=300，比直接计算25×12更简便。观察式子特点，合理分组。例如式子1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-100，可以分组为(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+(97+98-99-100)，每组结果都为-4，共25组，结果为-100，通过这些技巧提高混合运算的效率和准确性。0102混合运算的技巧给出一些综合运用有理数各种运算的实际问题