《信号与系统教程》（第5版） 课件 第4章 连续系统的复频域分析

学习导言第4章连续系统的复频域分析曲则直，退则进；缺则圆，失则得。变换得其法，终为善其事。巧引复频域，微积变代数。学习重点

单边拉氏变换及其重要性质；拉氏反变换的方法（展开定理）；微分方程的s域求解；电路的s域模型及分析方法。本章目录4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的主要性质4.3拉普拉斯反变换4.4系统的s域分析复频域分析的思路微分方程s域代数方程解s域代数方程时域响应拉氏变换拉氏反变换1、从傅里叶变换到拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换Laplace(1749-1827)将信号f(t)乘以收敛因子e-σt，σ为实常数，得设有信号f(t)，其傅氏变换为从而有令复频率，则有F(s)称为信号f(t)的双边拉普拉斯变换，简称双边拉氏变换。有时称F(s)为f(t)的象函数，f(t)称为原函数。4.1拉普拉斯变换其拉氏反变换为若积分限取为0_~∞,即为单边拉氏变换工程上常见的因果信号，单边拉氏变换更有实际意义。本课程只研究单边拉氏变换。F(s)存在的条件为因此，只要σ大于某个值，使得则F(s)必然存在。拉氏变换对简记为故有解：4.1拉普拉斯变换当时，有例：求实指数衰减信号的象函数。收敛域分析表明，工程上常见的因果信号的拉氏变换总是存在的，其收敛域总在σ＞σ0的区域。为了简便，以后不再注明收敛域。2、常用信号的拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换（1）单位冲激信号δ(t)（2）单位阶跃信号ε(t)常数A（直流）的单边拉氏变换等于Aε(t)的变换，即即即（3）正弦信号sinωt故所以即类似地4.1拉普拉斯变换由于（4）衰减正弦信号e-αtsinωt取单边拉氏变换得类似地4.1拉普拉斯变换由于（5）斜坡函数tε(t)由分部积分公式得类似地，有或者考虑到两边对s求导，可得

：这就意味着：4.1拉普拉斯变换即常用信号的拉氏变换表原函数f(t)象函数F(s)原函数f(t)象函数F(s)4.1拉普拉斯变换思考题（1）如何理解的存在性？和的收敛域分别在何处？（2）图示三个信号的单边拉氏变换是否相等？为什么？4.1拉普拉斯变换1、线性性质4.2拉普拉斯变换的主要性质由线性性质可得象函数为若则例1：试求的象函数。解：由于2、延时性质4.2拉普拉斯变换的主要性质若则例2：求图示四个不同信号的拉氏变换。延时性质解：例如：求图示周期锯齿波信号的拉氏变换。延时性质的重要应用：求周期信号的（单边）拉氏变换令，则根据延时性质可得由于4.2拉普拉斯变换的主要性质即等比级数求和公式根据微分定理，对电容上电流和电感上电压，有：3、微分定理

表明：函数f(t)求导后的拉氏变换是原函数的象函数乘以

复频率s，再减去原函数f(t)在0

时的值。4.2拉普拉斯变换的主要性质若则推广：微分定理的证明则利用分部积分公式4.2拉普拉斯变换的主要性质若则证：设可得例3：设RC电路的初值，试求冲激响应

。说明：R＝1Ω,C＝0.5F。解：电路的微分方程为对方程两边取拉氏变换，有取反变换得代入初值后可得4.2拉普拉斯变换的主要性质4、积分定理

表明：一个函数积分后的信号拉氏变换等于原函数的象函

数除以复频率s。4.2拉普拉斯变换的主要性质若则根据积分定理，可得电容上电流和电感上电压满足例4：求三角波脉冲信号的拉氏变换。解：先将三角波脉冲信号求导两次，得到从而有根据积分定理，可得4.2拉普拉斯变换的主要性质求导求导

表明：两个时域信号卷积对应的拉氏变换为相应两个象函数的乘积。应用于系统分析5、卷积定理4.2拉普拉斯变换的主要性质若则（s域系统函数）其中：拉氏变换6、初值与终值定理根据初值定理可得根据终值定理可得4.2拉普拉斯变换的主要性质若函数f(t)在t=0处不含冲激，则有若存在，则有例如，设因为验证：直接从f(t)中计算得到拉普拉斯变换的性质名称时域复频域线性性质频移性质延时特性尺度变换微分定理积分定理卷积定理初值定理终值定理4.2拉普拉斯变换的主要性质思考题（1）试画出和

的波形，哪个函数可以应用延时特性？（2）试写出和的拉氏变换。（3）试求的单边拉氏变换。4.2拉普拉斯变换的主要性质解决方法：采用展开定理（部分分式展开法）4.3拉普拉斯反变换对线性系统而言，象函数可以分解为许多简单分式之和的形式。简单项s域函数的反变换很容易得到！直接求解困难！拉氏反变换：（有理真分式）1.D(s)＝0的所有根均为单实根4.3拉普拉斯反变换式中待定系数故原函数象函数可以展开成部分分式之和，即由于解：象函数可以展开为各系数为所以最后反变换为4.3拉普拉斯反变换例1：设有象函数，求原函数。2.D(s)=0具有共轭复根对应的反变换为4.3拉普拉斯反变换设则待定系数（两者为共轭复数）反变换得4.3拉普拉斯反变换解：共轭复根各系数为例2：设有象函数，求原函数。象函数可以展开为共轭复数另外一种解法（配方法）因为4.3拉普拉斯反变换故有待定系数拉氏变换对4.3拉普拉斯反变换3.D(s)=0具有重根设（m重根）则原函数4.3拉普拉斯反变换例3：设有象函数，求原函数。解：象函数可以展开为从而有各系数为原函数为思考题（1）如果F(s)中出现m>n的情况应如何处理？例如

如何求其反变换？（2）如果象函数，它具有什么意义？如何

进行反变换？（3）若F(s)的分母D(s)有n个单根，则部分分式的系数又可

以一般地表示为

请说明理由。（4）已知，试求其反变换f(t)。4.3拉普拉斯反变换特点：（1）通过拉氏变换可将时域中的微分方程变换为s域中的代数方程，简化求解过程；（2）系统的初始状态（条件）可以自动包含到象函数中，从而可以一举求得全响应。1、微分方程的拉普拉斯变换解法4.4系统的s域分析求解步骤微分方程s域代数方程解代数方程时域响应拉氏变换拉氏反变换解：对方程两边取拉氏变换，得代入起始状态得例1：设有二阶微分方程求全响应。已知取拉氏反变换，得全响应为4.4系统的s域分析即例2：设RLC串联电路的初始状态为零。设L=1H，C=1/3F，R=4Ω，以uC(t)为输出，求冲激响应h(t)。解：电路的微分方程为代入电路参数可得4.4系统的s域分析对上式两边取拉氏变换，利用微分性质，可得从而有部分分式展开可得取上式的反变换，可得冲激响应为4.4系统的s域分析例3：电路原处于稳态，开关在t＝0时由1端转向2端。R＝10Ω,L＝1H,C＝0.004F,求换路后的电流i(t)。换路后，电路的微分方程为（电容开路，电感短路）解：换路前电路处于稳态，可得4.4系统的s域分析得电流象函数反变换得对上式两边取拉氏变换，利用微分性质，可得4.4系统的s域分析2、电路的s域模型及应用①电阻元件（1）基本元件的s域模型4.4系统的s域分析拉氏变换时域模型s域模型②电容元件其中：是电容的s域阻抗，简称容抗。4.4系统的s域分析或者时域模型s域模型拉氏变换③电感元件其中：是电感的s域阻抗，简称感抗。4.4系统的s域分析或者拉氏变换s域模型时域模型（2）电路定律的s域表示运算阻抗RLC串联电路的s域模型（起始状态为零）4.4系统的s域分析KCL：KVL：运算导纳正弦稳态阻抗正弦稳态（相量法）与复频域分析的对比4.4系统的s域分析因此，用拉氏变换法分析电路时，只要将每个元件用s域模型代替，再将信号源用其象函数表示，就可以作出整个电路的s域模型，然后应用线性电路的各种分析方法和定理（如节点法、网孔法、叠加定理、戴维宁定理等），求解s域电路模型，得到待求响应的象函数，最后通过反变换获得响应的时域解。在电网络中，当KCL、KVL和元件的VCR的时域模型用s域模型代替后，其定律和阻抗形式完全与正弦稳态时的相量形式一致。4.4系统的s域分析（3）s域模型的应用

例4：某汽车点火系统的电路模型如图所示，12V电源为汽车蓄电池，L为点火线圈。当开关在t=0断开时，将在电感两端产生高压，由高压打火点燃汽油而发动。设R=2，L=1H，C=0.25F，试求t0时的电压uL(t)及其最大值。时域模型4.4系统的s域分析解