第1章第12讲 章节复习专题：整式的乘法（12个知识点+13大常考题型）（原卷版）

2/10第12讲章节复习专题：整式的乘法目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一判断整式乘法是否正确】 3【考点二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】 5【考点三幂的混合运算及逆运算】 7【考点四零指数幂、负整数指数幂综合计算】 9【考点五用科学计数法表示绝对值小于1的数】 10【考点六完全平方式中的字母参数问题】 11【考点七已知多项式乘积不含某项求字母的值】 12【考点八整式乘除混合运算】 14【考点九整式乘法混合运算——化简求值】 17【考点十多项式乘法中的规律性问题】 18【考点十一单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】 22【考点十二乘法公式中几何图形的应用】 26【考点十三整式的运算中的新定义型问题】 31知识点01同底数幂的乘法1.同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.2.同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）.知识点02幂的乘方1.幂的乘方法则：(其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：公式的推广：(，均为正整数)2.幂的乘方法则逆用公式：，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.知识点03积的乘方1.积的乘方法则：(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：公式的推广：(为正整数).2.积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：知识点04同底数幂的除法(其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.逆用公式：即（都是正整数）.知识点05零指数幂：（a≠0）负指数幂：（a≠0，p是正整数）知识点06科学记数法类似地，我们可以利用10的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，.知识点07单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.知识点08单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点09多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.知识点10平方差公式平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b²公式的几种变化：①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²；（-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a²②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b²③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²=④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c²⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²=⑥公式逆运算：a²-b²=(a+b)(a-b)知识点11完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。知识点12平方差和完全平方差区别平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍【考点一判断整式乘法是否正确】例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（

）（1）

（2）（3）

（4）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练】1．（24-25八年级上·山西·阶段练习）小夏今天在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（

）①；②；③；④；⑤．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算错误的是（）A．B．C．D．3．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列计算正确的是（

）A．B．C．D．【考点二判断是否可用平方差或完全平方公式运算】例题：（23-24八年级上·四川遂宁·期末）下列能用平方差公式进行计算的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年级上·江西南昌·期末）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（）A．B．C．D．3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列等式中，正确的是（

）A． B．C． D．【考点三幂的混合运算及逆运算】例题：（24-25八年级上·吉林松原·期末）计算：【变式训练】1．（23-24七年级下·安徽亳州·期末）先化简，再求值：，其中．2．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）（1）已知，，m，n为正整数，求的值．（2）已知，求的值．3．（22-23七年级下·江苏淮安·期末）计算(1)已知，，求：的值．(2)，求：的值．【考点四零指数幂、负整数指数幂综合计算】例题：（24-25八年级上·云南昭通·期末）计算：．【变式训练】1．（24-25八年级上·北京门头沟·期末）计算：．2．（23-24八年级下·吉林长春·期末）计算：．3．（23-24六年级下·山东济南·期末）计算：．【考点五用科学计数法表示绝对值小于1的数】例题：（24-25八年级上·山东德州·期末）桑树花是风媒花，雄花的开花过程中，内弯的雄蕊会在25微秒内伸直（25微秒=0.000025秒），将花粉爆发地弹射到空气中，这是在植物学中已知的最快的运动．数据0.000025用科学记数法表示为．【变式训练】1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）经测算，一粒芝麻的质量约为，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为．2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）科学研究发现某种分子的直径是米，则数字用科学记数法表示为3．（23-24七年级上·上海闵行·期末）疫苗接种，是防范流感的有效手段，某种疫苗粒子在电子显微镜下呈现皇冠的形状，它的大小为毫米，毫米用科学记数法记作毫米．【考点六完全平方式中的字母参数问题】例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）若是一个完全平方式，则为.【变式训练】1．（24-25八年级上·山东东营·期末）若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则．2．（24-25八年级上·青海果洛·期末）若能写成一个多项式的平方形式，则．3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）若可以用完全平方式来分解因式，则的值为．【考点七已知多项式乘积不含某项求字母的值】例题：（24-25八年级上·江西宜春·期末）已知展开式中不含的一次项，则的取值为.【变式训练】1．（24-25八年级上·吉林松原·期末）若的计算结果中的二次项的系数为，则．2．（23-24七年级下·山东东营·期末）若关于x的多项式的乘积化简后不含项，则．3．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知关于的代数式的中不含项与项．(1)求，的值；(2)求代数式的值．【考点八整式乘除混合运算】例题：（24-25八年级上·海南儋州·期末）化简：(1)(2)【变式训练】1．（24-25八年级上·重庆·期末）计算：(1)(2)2．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）计算：(1)；(2)．3．（24-25八年级上·天津和平·期末）计算：(1)；(2)．【考点九整式乘法混合运算——化简求值】例题：（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）先化简，再求值：，其中【变式训练】1．（24-25八年级上·山西临汾·期末）先化简，再求值：，其中，．2．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）先化简，再求值：，其中3．（24-25八年级上·四川巴中·期中）先化简，再求值：，其中，．【考点十多项式乘法中的规律性问题】例题：（22-23七年级下·广东清远·期末）观察下列各式：；；；；；(1)根据上面各式的规律填空：①；②＝；(2)利用②的结论求的值；(3)若，求的值．【变式训练】1．（23-24八年级上·河北唐山·期末）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题．(1)分别化简下列各式：；；；．(2)请你利用上面的结论计算：=．2．（23-24七年级下·河北保定·期末）从简单情况入手，观察猜想，发现规律，运用规律解决问题，这是常见的研究数学问题的思路．问题解决：（1）填空：________________猜想：________总结结论：（2）填空：当n为正整数时，________．利用这个结论，请你解决下面的问题：求的值．3．（23-24七年级下·广东梅州·期末）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做特殊到一般．如下所示：【观察】①；②；③；…(1)【归纳】由此可得：________；(2)【应用】请运用上面的结论，解决下列问题：计算：；(3)【拓展】请运用上面的方法，求的值．【考点十一单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积】例题：（24-25八年级上·云南大理·期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．(1)求该小区绿化的总面积；(2)若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？【变式训练】1．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．

(1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简；(2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用．2．（23-24六年级下·山东烟台·期末）随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形．(1)用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简；(2)若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱．3．（23-24六年级下·山东青岛·期末）某花圃基地计划将如图所示的一块长，宽的矩形空地，划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植，，三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是．设育苗区的边长为，用含的代数式表示下列各量：(1)B区的长是___________，宽是___________；(2)A区的种植面积是___________，C区的种植面积是___________；(3)若计划A区与B区的面积和是矩形空地面积的一半，那育苗区的边长为多少？【考点十二乘法公式中几何图形的应用】例题：（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为的正方形中剪去一个边长为的正方形．(1)若，，求的值；(2)请根据图中阴影部分面积验证平方差公式；(3)计算：．【变式训练】1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）从边长为的正方形中减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是______．(2)小明根据以上操作去计算时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：_______（直接写出结果即可）．(3)运用以上规律计算．2．（24-25八年级上·吉林·期末）两个边长分别为a和b的正方形如图所示放置（图①），其未叠合部分（阴影）面积为；若在图①中大正方形的右下角再摆放一个边长为b的小正方形（如图②），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．(1)则，；（用含a，b的代数式表示）(2)若，求的值；(3)当两个正方形按图③所示摆放时，若，求出图③中的阴影部分的面积．3．（24-25八年级上·陕西延安·期末）对于同一个图形，通过不同的表示法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如，由图1可以得到：．(1)由图2可以得到：______．(2)若实数x，y，z满足，，利用（1）中的