第2章第07讲 章节复习专题：相交线与平行线（5个知识点+14大常考题型）（解析版）

2/10第07讲章节复习专题：相交线与平行线目录TOC\o"1-3"\h\u【考点一对顶角的定义】 3【考点二利用对顶角相等求角】 5【考点三求一个角的余角、补角】 7【考点四垂线的定义的理解与应用】 8【考点五利用垂线的定义求角的度数】 10【考点六点到直线的距离与垂线段最短】 15【考点七同位角、内错角、同旁内角的辨别】 19【考点八添加一条件使两条直线平行】 21【考点九平行线的判定和性质多结论题】 23【考点十平行线的性质在生活中的应用】 28【考点十一平行线的判定和性质综合问题】 31【考点十二根据平行线的判定与性质探究角的关系】 34【考点十三根据平行线的判定与性质接解决光线问题】 38【考点十四根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 43【知识点1】对顶角、余角、补角1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角.2.对顶角的性质：对顶角相等.3.互补与互余的概念互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余.4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离（1）垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作：AB⊥CD，垂足为O.特别提醒：要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直.（2）垂线的性质：垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(与平行公理相比较记).垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.【知识点3】同位角、内错角与同旁内角角的名称位置特征图形结构特征同位角既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧形如字母“F”（或倒置、反转、旋转）内错角既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开”形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转）同旁内角既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间.形如字母“U”（或倒置、反转、旋转）【知识点4】平行线1.平行线的定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示.2.平行线的画法一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线.3.平行线的公理（1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行.（2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【知识点5】平行线的判定和性质1.平行线的判定判定方法1判定方法2判定方法3两条直线平行的判定两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行符号语言那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1=∠2那么AB//CD那么∠1+∠2=180°那么AB//CD2.平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等.性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等.性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补.【考点一对顶角的定义】例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知识点】对顶角的定义【分析】根据对顶角的定义判断解答即可．本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【详解】解：根据题意，得是对顶角的是：故选：C．【变式训练】1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列选项中，与是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查了对顶角的概念．根据对顶角的概念可知，互为对顶角的两个角的两边应互为反向延长线，从而可判定满足条件的选项．【详解】解：A.与不是对顶角；B.与不是对顶角；C.与不是对顶角；D.与是对顶角．故选：D．2．（24-25七年级下·全国·单元测试）在下列图形中，和是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查对顶角，根据对顶角的定义，有公共顶点的两个角，且两角的两条边分别为另一角的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，据此进行求解即可．【详解】解：A、不是对顶角，不符合题意；B、不是对顶角，不符合题意；C、不是对顶角，不符合题意；D、是对顶角，符合题意；故选D．3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列图形中，与互为对顶角的是（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】对顶角的定义【分析】本题考查对顶角的意义，掌握对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的意义，一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，进行判断即可．【详解】解：根据对顶角的意义得，C选项的图象符合题意，故选：C．【考点二利用对顶角相等求角】例题：（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则．【答案】80【知识点】对顶角相等【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键．先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可．【详解】解：如图，根据题意，得，∵，∴，故答案为：80．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知直线、相交，，则.【答案】/40度【知识点】对顶角相等【分析】本题考查了对顶角相等，掌握其性质，角度的计算是解题的关键．根据图示可得，结合，即可求解．【详解】解：根据题意可得，∵，∴，解得，，故答案为：．2．（23-24七年级下·全国·期末）如图所示，直线，，两两相交，，，则．【答案】/25度【知识点】对顶角相等【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对顶角相等得出，根据，求出，根据对顶角相等得出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故答案为：．3．（23-24七年级上·全国·单元测试）如图，直线与相交于点，，，，则，．【答案】/25度/65度【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等【分析】本题主要考查对顶角以及余角，找到角之间的等量关系是解题的关键．根据对顶角相等即可求出，再根据补角求出即可．【详解】解：，，，，，．故答案为：，．【考点三求一个角的余角、补角】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）已知．（1）的余角；（2）的补角．【答案】【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角【分析】本题考查了余角和补角的定义，根据互为余角的两角的和等于90°，互为补角的两角的和等于即可求解，正确理解余角和补角的定义是解题的关键．【详解】解：∵，∴的余角，的补角，故答案为：，．【变式训练】1．（24-25七年级上·北京丰台·期末）若，则的余角等于．【答案】【知识点】求一个角的余角【分析】本题主要考查了余角的定义，正确进行角度的计算是解题的关键；若两个角的和为，则这两个角互余，据此即可求解．【详解】解：因为，，所以，的余角，故答案为：．2．（24-25七年级上·江西宜春·期末）已知，若与互余，则．【答案】【知识点】求一个角的余角、角的单位与角度制【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键：如果两个角的和等于，则这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角．根据余角的定义即可直接得出答案．【详解】解：，与互余，，故答案为：．3．（24-25七年级上·云南昭通·期末）已知，则的补角是．【答案】【知识点】求一个角的补角【分析】此题考查了补角的定义，根据补角的定义求解即可，解题的关键是掌握补角的定义，和为的两个角互为补角．【详解】解：∵，∴的补角，故答案为：．4．（24-25七年级上·广西贺州·期末）已知是的补角．是的补角，若，，则为．【答案】150【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、求一个角的补角【分析】该题主要考查了补角的计算，解一元一次方程等知识点，解题的关键是列出方程．根据是的补角，是的补角，得出，，结合，，列出方程即可求解．【详解】解：∵是的补角，是的补角，∴，，∵，，∴，解得：，∴，故答案为：150．【考点四垂线的定义的理解与应用】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（

）A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直【答案】C【知识点】垂线的定义理解【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意；B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意；C、连接不能保证，故错误，符合题意；D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意；故选∶C．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（

）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短【答案】B【知识点】垂线的定义理解【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．【详解】解：因为，，所以直线与重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：B．2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（

）A．点B到的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离【答案】A【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．【详解】解：A、∵，∴，∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意；B、∵，∴CD和AB互相垂直，故本选项正确，不符合题意；C、∵，∴，∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意；D、∵，∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意．故选A．【考点五利用垂线的定义求角的度数】例题：（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）如图，是直线上一点，，平分，过点作垂直．(1)求的度数；(2)是否平分？并说明理由．【答案】(1)(2)平分，理由见解析【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、角平分线的有关计算【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，垂直的定义．（1）根据角平分线的定义可求出，再由垂线的定义得到，进而根据即可求解；（2）根据角的和差求得，即可解答．【详解】（1）解：∵平分，，∴，∵垂直，∴，∴；（2）解：平分，理由如下：理由：∵，，∴，∴，∴平分．【变式训练】1．（24-25七年级上·湖北黄石·期末）如图，直线与相交于点O，，分别是，的平分线．(1)图中的补角有个；(2)试判断和的位置关系，并说明理由；(3)若，求的度数．【答案】(1)3(2)，理由见解析(3)【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解【分析】本题考查了补角、与角平分线有关的计算、垂直，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．（1）先根据角平分线的定义可得，从而可得，，再根据平角可得，由此即可得出答案；（2）先根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差可得，由此即可得；（3）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得．【详解】（1）解：∵直线与相交于点，∴，，，∵是的平分线，∴，∴，，∴图中的补角有，，，共3个，故答案为：3．（2）解：，理由如下：∵直线与相交于点，∴，∵，分别是，的平分线，∴，，∴，∴．（3）解：∵是的平分线，，∴，由（2）已得：，∴．2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点为直线AB上一点，，，平分，．(1)求的度数；(2)试说明：平分；(3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示．【答案】(1)(2)见解析(3)（2）中的结论依然成立，理由见解答过程【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算；（1）先根据邻补角定义求出，再根据可得的度数；（2）先根据及角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论；（3）根据邻补角定义得，根据得，再根据角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论．【详解】（1）解：点为直线AB上一点，，，，，；（2），平分，，由（1）可知：，，，，，平分；（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：点为直线AB上一点，，，，，平分，，，，，，平分．3．（24-25七年级上·全国·期末）已知是直线上一点，是直角，平分．(1)如图1，当，求的度数；(2)如图2，平分，求的度数；(3)当时，绕点以每秒沿逆时针方向旋转秒，旋转过程中始终平分，请直接写出和之间的数量关系．【答案】(1)(2)(3)，【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的补角、角平分线的有关计算【分析】本题考查角的和差计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，（1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数；（2）由角平分线的定义可得，即可得解；（3）可分两种情况：①时，②时，分别计算可求解；利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴的度数为；（2）解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴，∴的度数为；（3）解：①当时，由题意得：，∴，∵平分，∴，∴，∴；②当时，如图，由题意得：，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴；综上所述，，．【考点六点到直线的距离与垂线段最短】例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，，，则点P到直线m的距离为（

）A． B． C．小于 D．不大于【答案】D【知识点】点到直线的距离【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握“直线外一点到这条直线所画的线段中，垂线段最短”是解题的关键．根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．【详解】解∶当时，PC是点P到直线m的距离，即点P到直线m的距离为，当不垂直m时，点P到直线m的距离小于的长，即点P到直线m的距离小于，综上所述：点P到直线m的距离不大于，故选∶D．【变式训练】1．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）如图，四点在直线上，点在直线外，，若，则点到直线的距离是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】垂线段最短、点到直线的距离【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质．【详解】如图所示：∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，，∴点M到直线l的距离是垂线段的长度，为，故选：A．2．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图是测量学生跳远成绩的示意图，即的长为某同学的跳远成绩，其依据是（

）A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．两点之间线段最短D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【知识点】垂线段最短【分析】此题考查了垂线段最短的性质的运用，解答此题的关键是熟练掌握由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则．由点到直线的距离的定义及跳远比赛的规则作出判断．【详解】解：能正确解释这一现象的数学知识是垂线段最短，故选：A．3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线上，点B，C，D在直线上，于点B，于点A，于点E，下列线段的长度是点A到直线的距离的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】点到直线的距离【分析】根据点到直线的距离的定义即可得出，本题主要考查点到直线的距离的定义．【详解】根据点到直线的距离的定义得：线段的长度是点A到直线的距离，故选：B．4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，天然气主管道的同侧有，两个小区，某市计划从主管道引一条支管道连接，两小区，下面的四个铺设方案中，所引天然气支管道长度最短的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】两点之间线段最短、垂线段最短【分析】根据两点间线段最短可得B方案小于C，D方案，再根据垂线段最短得到B方案小于A方案即可解题．【详解】解：根据垂线段最短和两点间线段最短，可得所引天然气支管道长度最短的是B选项，故答案为：B．5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．(1)作线段，作射线；(2)点到直线的距离为线段________的长度；(3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________．【答案】(1)见解析(2)(3)两点之间线段最短【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键．（1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可；（2）根据可得点到直线的距离为线段的长度；（3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为．【详解】（1）连接，连接并延长，即得．（2）点到直线的距离为线段的长度故答案为：（3）连接，交BD于点，则，当点O运动到上时，，最小，则，最小．故答案为：两点之间线段最短．【考点七同位角、内错角、同旁内角的辨别】例题：（24-25七年级下·全国·随堂练习）和是同位角的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题考查了同位角的概念：两条直线被第三条直线所截而形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同侧，据此进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A、和不是同位角，故该选项不符合题意；B、和是同位角，故该选项符合题意；C、和不是同位角，故该选项不符合题意；D、和不是同位角，故该选项不符合题意；故选：B．【变式训练】1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列判断错误的是()A．与是同旁内角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．与是同位角【答案】C【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行解答即可．【详解】解：A、与是同旁内角，故此选项不符合题意；B、与是内错角，故此选项不符合题意；C、与不是同旁内角，故此选项符合题意；D、与是同位角，故此选项不符合题意．故选：C．2．（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（

）A．B．C．D．【答案】A【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案．【详解】解：A.、与是内错角，符合题意；B、与不是内错角，不符合题意；C、与不是内错角，不符合题意；D、与不是内错角，不符合题意；故选：A．3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，给出下列说法：①和是同位角；②和是对顶角；③和是内错角；④和是同旁内角．其中说法错误的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义【分析】本题考查三线八角，根据同位角，同旁内角和内错角的定义和特点，逐一进行判断即可．【详解】和是同位角，①说法正确；和不是对顶角，②说法错误；和是内错角，③说法正确；和不是同旁内角，④说法错误．故说法错误的有②，④，共2个．故选B．【考点八添加一条件使两条直线平行】例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，有下列条件：①；②；③；④．其中能得到的是．（请填写序号）【答案】②③/③②【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可．【详解】解：①，；②，；③，；④，，能够得到的条件是②③，故答案为：②③．【变式训练】1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，要使，还需添加一个条件，你想添加的条件是．【答案】（答案不唯一）【知识点】同位角相等两直线平行【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．添加：，再加上条件可得，再根据同位角相等两直线平行可得．【详解】解：添加：，故答案为：（答案不唯一）．2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，直线分别与直线，相交于点E，C，若要使，则可添加的条件是．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【知识点】同位角相等两直线平行【分析】此题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行可知添加条件即可．【详解】解：可以添加，可根据同位角相等，两直线平行得到，故答案为：（答案不唯一）．3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为（写出一种情况即可）．【答案】【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）．【详解】解：若，则；若，则；若，则；若，则；故答案为或或或．（答案不唯一）【考点九平行线的判定和性质多结论题】例题：（24-25七年级上·四川内江·期末）将一副三角尺按如图所示的方式放置，其中，，，，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】D【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了根据平行线判定与性质证明、三角板中角度计算问题等知识点，掌握相关结论即可．若，则，可推出，，即可判断①；若，则，即可判断②；由，得，即，即可判断③；若，由③得，由①得：，即可判断④；【详解】解：若，则，∴，∵，∴，∴；故①正确；若，则；∴，故②正确；∵，∴，即，∴，故③正确；若，由③得，由①得：，∴，故④正确；故选：D【变式训练】1．（23-24七年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，过点D作交于点A，连接，若．以下四个结论：①；②；③平分；④．其中结论正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算【分析】先由平行线的性质得到，，进而得到，则，即可推出，进而得到，则，进一步得到，则，根据现有条件无法证明平分，由此可得答案．本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键是掌握平行线的性质和判断．【详解】解：，，，，，，故①正确；，，，，故②正确；，，故④正确；根据现有条件无法证明平分，故③错误；故选：C．2．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，，，平分，平分，关于下列结论：①，②，③平分，④，正确的有（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据，，，可得，即可判断③正确；再证明，即可判断①正确；根据不一定是等腰直角三角形，可判断②错误；由①得：，即有，结合平分，即可得，问题得解．【详解】解：∵，∴，，∵平分，∴，∴，∴平分．故③正确；∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，故①正确；若，则是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形，故②错误；由①得：，∴，∵平分，∴，∴．故④正确．故选：D．3．（22-23七年级下·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④【答案】B【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、垂线的定义理解【分析】本题考查平行线的性质、垂线、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．由可得，由平分可得可判定①；根据垂直的定义、交的和差可判定②正确；再结合角平分线的定义可判定③；先说明，而不一定成立即可判定④．【详解】解：∵，∴，，∵平分，∴，即①正确；∵平分，∴,∵，∴，∴,，即③正确；∴∴平分，故②正确；∵，∴，∴，而题目中不能得到，故④错误．故选：B．4．（23-24七年级下·重庆渝北·期中）如图，，为上一点，，过点作于点，且，且平分，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的是（

）

A．①② B．①③ C．②③④ D．①②③【答案】A【知识点】垂直于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，但题干未知的大小，由此即可判断③和④．【详解】解：∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得，则结论①正确；∵，∴，∴，则结论②正确；∵，，∴，∵，∴，但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误；综上，正确的是①②，故选：A．【考点十平行线的性质在生活中的应用】例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是某射箭运动员射箭的一个瞬间．已知，，，，，则运动员两腿之间的夹角的度数为．【答案】【知识点】根据平行线判定与性质求角度【分析】本题考查平行线的性质，过点B作，先由平行线的性质推出，，再由平行线的性质推出，，再由可得答案．【详解】解：如图，过点B作．∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：【变式训练】1．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图是小明写字桌上的一款折叠护眼台灯的简易图，支柱与桌面DE交于点，灯管与桌面CE平行，若，，则的度数为．【答案】#100度【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，最后由平行线的性质和角度和差即可求解，掌握平行线的性质，平行公理推论的应用是解题的关键．【详解】解：如图，过作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，故答案为：．2．（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是．【答案】/23度【知识点】根据平行线判定与性质求角度【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可．【详解】解：如图所示：作，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：．3．（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则°．【答案】60【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案为：60．4．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，桔槔是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处，若已知支架，AB可以绕着点自由旋转，当点旋转到如图所示的位置时，，此时为．【答案】/44度【知识点】根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．【详解】解：由题意得，，∴，故答案为：．【考点十一平行线的判定和性质综合问题】例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，．(1)猜想与是否平行，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)；理由见解析(2)【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的判定与性质．熟练掌握对顶角相等，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）由题意知，，可证，则，，进而可证；（2）由（1）可知，，由，可得，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：；理由如下：由题意知，，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）可知，，∵，∴，∴，∴的度数为．【变式训练】1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点E、F分别在线段上，连接，过点F作分别交于点H、G，．(1)求证：；(2)若平分，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：（1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明；（2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∴．2．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，交于点F，点C在的延长线上，．

(1)若，求的度数．(2)若，求证：．【答案】(1)(2)详见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．（1）结合平行线判定和性质和角的关系求得，，从而求解；（2）根据平行线的性质和判定进行推理论证．【详解】（1）解：，，．，，即．（2）证明：由（1），可知，．又，，3．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，平分，交于点G，交的延长线于点E，F为延长线上一点，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【知识点】根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，掌握三角形的内角和及平行线的判定定理与定义是解题的关键．（1）根据，可得，即可求证；（2）根据平行线的性质可得，，再由平分，可得，即可求解．【详解】（1）解：∵，，∴，∴；（2）解：∵，，∴，，∵平分，∴，∴．【考点十二根据平行线的判定与性质探究角的关系】例题：（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D．(1)若，求的度数；(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)，理由见解析【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义；（1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论；（2）先证明，，，再进一步可得结论.【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分交于点C、平分交于点D，∴，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，，∵BD平分，∴，∴．【变式训练】1．（23-24七年级下·吉林四平·期末）已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图)(1)如图1，当点在线段上时，①依题意，在图1中补全图形；②若，则__________(填度数)．(2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明．(3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明．【答案】(1)①见解析；②(2)(3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时，【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．（1）①根据几何语言画出对应的几何图形；②根据平行线的性质得到，，所以；（2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可；（3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可．【详解】（1）解：①补全图形如图1所示：②∵，∴，，∴；（2）解：当D点在的延长线上时，如图2，；理由如下：∵，∴，，∴；（3）解：当点D在上时，；∵，∴，，∴；当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，；当D点在的延长线上时，如图3，；理由如下：∵，∴，，∴，∴．2．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）【问题背景】如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，．【问题探究】(1)如图1，求证：；(2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q．①若，求的度数；②判断与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)①；②【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．（1）根据平行线的性质可得，推得，根据平行线的判定即可证明；（2）①根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质和可得，，即可求得．②根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得根据三角形内角和定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴．∵，∴，∴．（2）①∵，，∴．∵NM平分，∴．∵，，∴，，∴，∴．②．理由如下：∵，，∴．∵平分，∴．∵，∴，即．∵，∴，∴．【考点十三根据平行线的判定与性质接解决光线问题】例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即．(1)的度数为_____．(2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为．①若，求的度数；②若反射光线恰好与平行，求的度数．【答案】(1)(2)①；②【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等；（1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解；（2）①过点作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解；掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键．【详解】（1）解：，，，，，，，故答案：；（2）解：①过点作，如图，，，，，，，，，，故答案：；②如图，，，，，，，，，；故答案：．【变式训练】1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直．(1)求的度数：(2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数；(3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数．【答案】(1)；(2)；(3)．【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义理解【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键．（1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解；（2）根据平行线的性质可求解；（3）过点、作，，根据平行线的性质可求解．【详解】（1）解：∵平分，，∵，∴，∴．（2）解：由题可知，∴∴由题可知，．（3）解：如图所示，分别过点、作，，，，，，，，由（1）可知，，．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，．(1)如图1，当时，①求证：；②若光线与直管壁平行，则的度数为________；(2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右