福建省厦门市思明区双十中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷（含解析）

福建省厦门市思明区双十中学2025--2026学年上学期九年级数学期中考卷1.下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()2.抛物线y=(x+3)²-4的顶点坐标是()A.(3,4)B.(-3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)3.用配方法解一元二次方程x²-6x+8=0,此方程可变形为()4.方程x²-2x-2=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定5.在平面直角坐标系xOy中，将线段OA绕点0顺时针旋转90°得到线段OA’,其中A(-2,3),6.将抛物线y=x²先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是()C.y=(x+3)²+2D.y=(x+3)²-27.保障国家粮食安全是一个永恒的课题，任何时候这根弦都不能松.某农科实验基地，大力开展种子实验，让农民能得到高产、易发芽的种子.该农科实验基地两年前有81种农作物种子，经过两年不断的努力培育新品种，现在有100种农作物种子.若这两年培育新品种数量的平均年增长率为x,则根据题意列出的符合题意的方程是()A.100(1-2x)=81B.100(1+2x)=81C.81(1-x)²=100D.81(1+x)²=1008.根据下列表格的对应值：判断方程x²+x-1=0一个解的取值范围是()xA.0.59<x<0.60B.0.60<x<0.61C.0.61<x<0.62D.0.62<x<0.63为旋转中心的是()10.已知点P(m-1,n),Q(m+1,n),M(m+3,n),N(m+2,n-1),二次函数的图象经过这四个点中的三个点，得到对应的函数解析式y=ax²+bx+c,当a的值最大时，所数图象所经过的点为()C.点P,点M和点N二、填空题11.点A(-3,2)关于原点对称的点的坐标是_·12.方程(x+1)(x-3)=0的解为试卷第2页，共8页度得到的，若点A'在AB上，则旋转角α的大小是16.如图，抛物线y=ax²+bx+c交x轴分别于点A(-3,0),B(1,0),交y轴正半轴于点D,17.解方程：x²-4x-1=0.试卷第4页，共8页比赛一场),共安排了28场比赛，问：共有多少支球队参加比赛?19.二次函数y=-x²+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(2,3),(3,0).(2)根据图象，当-1<x<3时，求y的取值范围.20.如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°,将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,使旋转后的BC边与AC边重合，连接OD,OA.连接OD;求AO的长21.已知关于x的一元二次方程x²+ax-a-1=0.求a的值.22.如图，为了节省材料，某公司利用岸堤(岸堤足够长)为一边AD,用总长为104米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形(四边形AEFG,四边形EFHD,四边形BCHG都是长方形)组成的长方形ABCD区域，若BC=(a+12)米.(1)用含a的代数式表示AB的长；(2)求长方形ABCD面积的最大值.(1)求AB的长；(2)点D为BC上方抛物线上的一动点，若△BCD的面积是VABC面积的一半，求点D的横(3)过点C的直线y=mx+n(m>0)与抛物线的另一个交点为M,M的坐标.试卷第6页，共8页24.阅读下列材料：数学课上老师出示了这样一个问题：如图1,等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q,连接PQ,求证：PQ=AP+CQ.某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：利用现在所学的旋转知识，可将△ABP旋转到△CBE,然后通过证明全等三角形来完成证明.(1)(问题解决)请你根据他们的想法写出证明过程；(2)(学以致用)如图2,若等腰Rt△PBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线交CD的延长线于点Q,连接PQ,猜想线段PQ,AP,CQ满足怎样的数量关系?并证明你的结论；(3)(思维拓展)等腰直角VABC中，∠ACB=90°,P为VABC内部一点，若BC=2,则AP+BP+CP的最小值=25.抛物线y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0).(1)若a+b+c=0,且该抛物线的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式；(2)若抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、-2k(k≠0),求证：2b²+ac=0;试卷第8页，共8页(3)若抛物线的对称轴为直线,函数图象过点(1,0),当a>b≥c时，求a²+b²+c²的最小值.123456789ADDACBDCCD旋转180度能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线够完全重合.据此即可求解.顶点坐标是(h,k),可得答案.【详解】抛物线y=(x+3)²-4的顶点坐标是(-3,-4),的形式即可.配方，得x²-6x+3²=-8+9,即(x-3)²=1.【分析】本题考查根的判别式，根据判别式的符号，进行判断即可.【详解】解：∵x²-2x-2=0,答案第1页，共17页∴方程有两个不相等的实数根；【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转.根据题意画出图形，即可解决问题.【详解】解：如图，观察图象可知，A'的坐标是(3,2).故选：C.【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律“左加右减，上加直接根据函数图象平移规律即可解答.【详解】解：将抛物线y=x²先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线的解析式是y=(x+2)²+3.故选B.【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意并正确的列出方程.根据题意两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子即可列出方程.【详解】解：∵两年前有81种种子，经过两年不断的努力，现在有100种种子，故选：D.【分析】本题考查了一元二次方程的解的估算.熟练掌握一元二次方程的解的估算是解题的关键.答案第2页，共17页答案第3页，共17页由图象可知，-0.018<0<0.0044,则方程x²+x-1=0一个解的取值范围为0.61<x<0.62,然后判断作答即可.【详解】解：∵-0.018<0<0.0044,平分线找出旋转中心是解题的关键.连接FF'、GG',分别作FF'和GG'的垂直平分线，则交点即为旋转中心.连接FF'、GG′,分别作FF'和GG'的垂直平分线，如图所示交于点C,故点C为旋转中心.象经过点P,点Q和点N或点P,点M和点N或点Q,点M和点N,根据a值最大，则a为正数，得到抛物线的开口向上，且开口大小最小，进行判断即可.【详解】解：在平面直角坐标系中P(m-1,n),Q(m+1,n),M(m+3,n),N(m+2,n-1)相对位答案第4页，共17页由图可知：点P,点Q和点M在同一直线上，故不可能在抛物线上，故选项A不合题意，∴过点Q,点M和点N的抛物线开口小于过点P,点M和点N时，综上所述：当抛物线过点Q,点M和点N时，a值最大.故选D.坐标规律.平面直角坐标系中任意一点A(x,y),关于原点的对称点是(-x,-y),从而可得出答案.【详解】解：根据中心对称的性质，得点A(-3,2)关于原点对称点的坐标是(3,-2).故答案为：(3,-2).【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，用因式分解法求解即可.答案第5页，共17页解得：x₁=-1,x₂=3,故答案为：x=-1,x₂=3.【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题.根据抛物线y=x²-6x-a与x轴没有交点，可知当y=0时，方程x²-6x-a=0没有实数根，则△<0,从而可以求得a的取值范围.【详解】解：∵抛物线y=x²-6x-a与x轴没有交点，解得：a<-9,故答案为：a<-9.14.50°/50度【分析】由∠AOB=90°,∠B=25°,得出∠A=65°,由旋转的性质可得OA=OA',进而求决问题的关键.【分析】将(m+1)(n+1)利用多项式的乘法计算得含有m+n和mn的式子，再根据一元二次方程根与系数的关系求得m+n及mn的值，将其代入化简后的式子即可求解.【详解】解：∵m,n为一元二次答案第6页，共17页故答案为：1.【点睛】本题考查了多项式乘多项式，求代数式的值以及一元二次方程的根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解本题的关键.方程的关系一一判断即可.【详解】解：把A(-3,0),B(1,0),代入y=ax²+bx+c得到消去c得到2a-b=0,又a+b+c=0,如图，设对称轴与x轴相交于点E,设抛物线解析式为y=a(x+1)²+2√3,答案第7页，共17页∴方程ax²+bx+c=2有两个根，ax²+bx+c=-2设方程ax²+bx+c=2有两个根为x₁,x₂,ax²+bx+c=-2有两个根为x₃,x4,故④正确.故答案为：①②④.知识，属于中考常考题型.选择公式法解此一元二次方程，较为合适.【详解】解：∵x²-4x-1=0,18.共有8支队伍参加比赛关键.设共有x支球队参加比赛，根据计划安排28场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.答案第8页，共17页依题意得，即x²-x-56=0∴x₁=8,x₂=-7(不合题意，舍去)答：共有8支队伍参加比赛.(1)待定系数法求出二次函数解析式，然后列表，描点，连线，即可得到图象；(2)从图象观察在-1<x<3之间图象的最低点函数值和最高点函数值，由此可得y的取值范围.【详解】(1)解：∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点(2,3),(3,0),x0123y03430(2)由图可知，当-1<x<3时，0<y≤4.20.(1)见解析【分析】本题考查了作图，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键；(1)根据旋转性质得△BOC≌△ADC,故以点A为圆心，以BO的长为半径，画弧，以点C为圆心，以CO的长为半径，画弧，两弧交于一点，即为点D,连接OD,即可作答.(2)由旋转的性质、等边三角形的判定得△OCD是等边三角形，结合∠BOC=150°以及全由勾股定理即可求解.【详解】(1)解：∵三角形ABC是等边三角形，∵将△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,使旋转后的BC边与AC边重合，故以点A为圆心，以BO的长为半径，画弧，以点C为圆心，以CO的长为半径，画弧，两弧交于一点，即为点D,连接OD,如图所示：CC(2)解：∵VABC是等边三角形，∵△BOC绕点C顺时针旋转得到△ADC,∴△OCD是等边三角形，∵△OCD是等边三角形，答案第9页，共17页答案第10页，共17页 证明△≥0,即可得该方程总有两个实数根.(2)由题意用x₁,x₂分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边AB,AC的长，由根与系数的关系可得x₁+x₂=-a,x₁·x₂=-a-1,根据勾股定理列方程，解关于a的一元二次方程即【详解】(1)证明：∵△=a²-4×1×(-a-1)=(a+2)²≥0(2)解：由题意，用x₁,x₂分别表示方程的两个根，即三角形的两直角边AB,AC的长，则有根据勾股定理AB²+AC²=BC²即(-a)²-2(-a-1)=5答案第11页，共17页的应用，解一元二次方程，熟练的运用“根的判别式判定方程的实数根的情况，利用根与系数的关系求解参数的值”是解本题的关键.(2)507平方米【分析】(1)根据三块小长方形的面积相等，即得出,进而得出AG=2BG,再根据总长为104米，即可求出米，从而可求出AB的长；(2)由长方形的面积公式可列出等式，整理得：再根据平方的非负性，即得出从而得出S长方形ABCD有最大值为507平方米.【详解】(1)∵三块小长方形的面积相等，∵总长为104米，解得：.【点睛】本题考查整式混合运算的应用，平方非负性的应用.理解题意，列出算式或等式是解题关键.(2)点D的横坐标为4或2【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，答案第12页，共17页从而求出线段之间的关系.还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质.(1)求出抛物线的表达式，得到A(-2,0),B(6,0),即可求解；(3)证明CN=CB,则NO=BO=6,得到N(-6,0),即可求解.【详解】(1)解：令y=0,则(2)解：当x=0时，y=3,设直线BC的表达式为：y=kx+3,将点B的坐标代入上式得：0=6k+3,则直线设,则∴点D的横坐标为4或2;(3)解：设直线y=mx+n与x轴交于点N,由点C、N的坐标得，,解得：答案第13页，共17页答案第14页，共17页24.(1)证明见解析；(2)CQ=AP+PQ,理由见解析；(3)√6+√2【分析】(1)由旋转的性质可得BP=BE,∠ABP=∠EBC,AP=CE,∠A=∠BCE=90°,由“SAS”可证△BQE≌△BQP,可得PQ=QE,可得结论；可得PQ=QE,可得结论；(3)由旋转的性质可得AC=A'C=2,∠A'CA=∠PCP'=60°,CP=CP',AP=A'P',可有最小值为A'B的长，即可求解.【详解】(1)证明：如图1,将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE,∴点E,点C,点D三点共线，(2)CQ=AP+PQ,理由如下：如图2,将△ABP绕点B顺时针旋转90°到△CBE,答案第15