2026年高考数学复习新题速递之概率

2026年高考数学复习新题速递之概率一.选择题(共8小题)1.在投掷一枚质地均匀的骰子的试验中，当正面向上的点数出现1或2时，我们称这次试验成功，则在6次这样的试验中成功次数X的期望为()2.某店经营的某种包装的面包质量X(单位：g)服从正态分布N(200,o²),且P(X<205)=0.85,则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在195-205g之间的概率为()A.0.7B.0.35C.0.854.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为()5.掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是()6.抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是()A.0.5,0.5B.0.51,0.51C.0.49,0.49D.0.5,0.517.两个事件A,B相互独立，则()A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AUB)=P(A)+P(B)8.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是()C.至少一个黑球和至少一个红球二.多选题(共4小题)(多选)9.下列说法中，正确的是()A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7C.某人射击10次，击中靶心的频率是则他应击中靶心5次D.某人射击10次，击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心4次(多选)10.下列说法正确的是()A.甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为则密码被成功破译的概率为B.一箱12罐的饮料中有2罐有奖券，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率为C.一个袋子中有4个红球，n个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率D.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利(多选)11.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的A.P(B|A)+P(B|A)=P(A)B.P(AB)≤P(B|A)C.若A,B独立，则P(A|B)=P(A)D.若A,B互斥，则P(A|B)+P(B|A)=1(多选)12.下列说法正确的是()A.,则事件A与事件B相互独立B.小付同学本学期参与了4次数学考试，则事件“至少有2次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件C.高二年级准备从18个班级中抽取2个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为P₁、P₂,则P₁=P₂D.若P(A)=0.5,P(B)=0.2,三.填空题(共4小题)13.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A,B,若P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∩B)=0.1,14.某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年级甲同学对理科学社和十三月音乐社产生了浓厚的兴趣.若甲加入理科学社的概率为0.7,加入十三月音乐社的概率为0.3,两个都加入的概率为0.21,则甲只加入其中一个社团的概率为15.连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为_16.已知随机事件A,B,C,A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.6,P(C)=0.3,则P(AB)四.解答题(共4小题)17.伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题.现有a1,a2,a3,…,an共n个元素及b1,b2,b3,…,bn共n个位置，ak的对应位置为bk(k∈N*,k≤n),定义错排数F(n,m)(nEN*,mEN*)为将a1,a2,a3,…,an共n个元素排列在b₁,b₂,b3,…,bn共n个位置上，其中有m个元素不在其对应位置上的情况数，例如F(1,1)=0,F(2,2)=1.另外，规定F(0,0)=1.(1)计算：F(3,3),F(4,4);(2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量X,Y之间的总体偏差，定义协方差为Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}.当n=4时，记错排的元素个数为X,正确排列的元素个数(3)定义错排概率P(n,m)为随机将a1,a2,a3,…,an共n个元素排列在b₁,b₂,b3,…,bn共n个位置上，其中恰有m个元素不在其对应位置上的概率，证明：18.判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;19.2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束),已知该同学第一局获胜的概率为从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率如果上一局失败，则本局获胜的概率为每局比赛均没有平局.(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ,求ξ的分布列和期望.20.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到表格(单位：人).老年人满意不满意(1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?(直接写出结果即可)注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.2026年高考数学复习新题速递之概率(2025年10月)一.选择题(共8小题)题号12345678AABCBDBD二.多选题(共4小题)题号9一.选择题(共8小题)1.在投掷一枚质地均匀的骰子的试验中，当正面向上的点数出现1或2时，我们称这次试验成功，则在6次这样的试验中成功次数X的期望为()【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】根据二项分布的期望公式求解即可.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于基础题.2.某店经营的某种包装的面包质量X(单位：g)服从正态分布N(200,o²),且P(X<205)=0.85,则从该店中任意买一个这种包装的面包，其质量在195-205g之间的概率为()A.0.7B.0.35C.0.85【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】由正态分布的性质可得P(X≥205)=P(X≤195)=0.15,即可求解195-205g之间的概率.【解答】解：某种包装的面包质量X服从正态分布N(200,o²),且P(X<205)=0.85,则有P(X≥205)=1-0.85=0.15,由对称性可得P(X≤195)=0.15,则有P(195<X<205)=1-P(X≥205)-P(X≤195)=1-0.15-0.15=0.7.所以其质量在195-205g之间的概率为0.7.【点评】本题考查正态分布曲线的对称性，属于基础题.3.袋子中放有大小、形状相同的5个小球，其中标号为“0”的小球为1个，标号为“1”的小球2个，标号为“2”的小球2个.从袋中任取两个小球，已知其中一个小球的标号是“1”的条件下，则另一个小球标号也是“1”的概率为()【考点】求解条件概率.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】设事件后结合组合数求出概率，再利用条件概率公式求解即可.【解答】解：设取出的两个小球中至少有一个标号为“1”为事件A,取出的两个小球标号都为“1”为事件B,故选：B.【点评】本题考查条件概率，结合组合的应用求解，属于基础题.4.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为()【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】分类讨论；分类法；概率与统计；运算求解.【分析】根据样本空间法，结合古典概型概率公式，即可求解.【解答】解：由条件可知，满足条件的点数之和为3,7,11,点数之和为7的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6种情况，点数之和为3的情况有(1,2)和(2,1),共2种情况，点数之和为11的情况有(5,6),(6,5),共2种情况，【点评】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.5.掷一颗骰子，出现点数是2或4的概率是()【考点】古典概型及其概率计算公式.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【答案】B【分析】由等可能性结合题意可得.【解答】解：由题意，出现点数是2和4的概率各为所以出现点数是2或4的概率【点评】本题考查古典概型求概率公式，属于基础题.6.抛一枚硬币100次，有49次正面朝上，则事件“反面朝上”的概率和频率分别是()A.0.5,0.5B.0.51,0.51C.0.49,0.49D.0.5,0.51【考点】频率与概率.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.【分析】根据频率和概率的定义即可求解.【解答】解：根据题意有51次反面朝上，【点评】本题考查频率和概率的定义，属于基础题.7.两个事件A,B相互独立，则()A.P(AB)=P(A)+P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(AUB)=P(A)+P(B)【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】根据事件独立的定义，即可得出答案.【解答】解：A:P(AB)=P(A)P(B)=P(A)+P(B),而P(A),P(B)∈[0,1],所以不成立；所以x²-2cx+c=0在[0,1]上有两解，则△=4c(c-1)≥0,c∈[0,1],显然不成立；根据事件独立的定义，B项一定成立，而C项说明两事件互斥，故不可能独立.【点评】本题考查了独立事件的概率公式，属于基础题.8.从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取3球，那么互斥而不对立的两个事件是()A.至少一个红球和都是红球B.至少一个黑球和都是红球C.至少一个黑球和至少一个红球D.恰有一个红球和恰有一个黑球【考点】互斥事件与对立事件.【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑思维.【分析】由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断.【解答】解：对于A,至少一个红球和都是红球不互斥，同时发生的情况是都是红球，A错误；对于B,至少有一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B错误；对于C,至少一个黑球和至少一个红球，当一个黑球两个红球是可以同时发生，不互斥，C错误；对于D,恰有一个红球和恰有一个黑球，因为一个红球两个黑球和一个黑球两个红球不能同时发生，也可能都不发生，所以互斥但不对立，D正确.【点评】本题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题.二.多选题(共4小题)(多选)9.下列说法中，正确的是()A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7C.某人射击10次，击中靶心的频率是则他应击中靶心5次D.某人射击10次，击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心4次【考点】频率与概率.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】利用频率与频数之间的关系，对选项逐一分析即可.【解答】解：某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率故A正确；某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率故B错误；某人射击10次，击中靶心的频率则他应击中靶心10,故C正确；某人射击10次，击中靶心的频率是0.6,则他击不中靶心10×(1-0.6)=4次，故D正确.【点评】本题考查频率与概率，属于基础题.(多选)10.下列说法正确的是()B.一箱12罐的饮料中有2罐有奖券，从中任意抽取2罐，这2罐中有奖券的概率C.一个袋子中有4个红球，n个绿球，不放回地从中随机取出两个球，若取出的两球都是红球的概率D.甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【分析】根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式求解即可判断A;结合组合数的运算，根据古典概型概率公式求解判断B;结合分步计数原理，根据古典概型概率公式列方程求解判断C;对于B,依题意所求的概率,故B错误；对于C,由题意取出的两球都是红球的概率解得n=5或n=-12(舍去),故C正确；因为P₁=0.68256>P2=0.648,所以相比3局2胜制，5局3胜制对甲更有利，故D正确.【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式、二项分布求概率、古典概型等，属于基础题.(多选)11.已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件，P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的A.P(B|A)+P(B|A)=P(A)B.P(AB)≤P(B|A)C.若A,B独立，则P(A|B)=P(A)D.若A,B互斥，则P(A|B)+P(B|A)=1【考点】条件概率乘法公式及应用；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式.【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.【答案】BC【分析】对A、B,根据条件概率的公式分析即可得；对C,根据独立事件的概率公式分析即可得；对D,根据互斥事件概率公式分析即可得.【解答】解：对于A:,故A错误；对于C:若A,B独立，,故C正确；对于D:若A,B互斥，则P(A|B)=P(B|A)=0,即P(A|B)+P(B|A)=0,故D错误.故选：BC.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式等，属于基础题.(多选)12.下列说法正确的是()A.则事件A与事件B相互独立B.小付同学本学期参与了4次数学考试，则事件“至少有2次及格”与事件“只有一次及格”互为对立事件C.高二年级准备从18个班级中抽取2个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为P₁、P2,则P₁=P₂D.若P(A)=0.5,P(B)=0.2,【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.【答案】AC【分析】利用独立事件的定义可判断A选项；利用对立事件的定义可判断B选项；利用随机抽样的公平性可判断C选项；利用并事件的概率公式可判断D选项.*【解答】解：对于A,*∴事件A与事件B相互独立，故A正确；对于B,小付同学本学期参与了4次数学考试，其对立的事件为“1次及格或4次全不及格”,∴事件“至少有2次及格”的对立事件为“至多有1次及格”,故B错误；对于C,高二年级准备从18个班级中抽取2个班级参与“附中好诗词”舞台搭建，采取抽签法和随机数法两种不同方法抽取时，每个班级被抽中的概率分别为P1、P2,则每个班级被抽中的概率相等，故P₁=P2,故C正确；对于D,若P(A)=0.5,P(B)=0.2,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.7-P(A∩B)≤0.7,故D错误.识，考查运算求解能力，是基础题.三.填空题(共4小题)13.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A,B,若P(A)=0.4【考点】互斥事件的概率加法公式.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.【解答】解：已知P(A∩B)=0.1,P(B)=0.3,P(A)=0.4,则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩【点评】本题考查和事件的概率公式，属于基础题.14.某学校新学期开设了丰富的社团供新生选择，高一年的兴趣.若甲加入理科学社的概率为0.7,加入十三月音乐社的概率为0.3,两个都加入的概率为0.21,则甲只加入其中一个社团的概率为0.58【考点】并事件积事件的概率关系及计算.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.【分析】设事件甲加入理科学社为A,事件甲加入十三月音乐社为B,事件甲只加入其中一个社团可表示为AB+AB,由条件结合概率加法公式求结论.【解答】解：设事件甲加入理科学社为A,事件甲加入十三月音乐社为B,又甲加入理科学社的概率为0.7,加入十三月音乐社的概率为0.3,两个都加入的概率为0.21,事件甲同时加入两个社团可表示为AB,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5故答案为：0.58.【点评】本题考查互斥事件概率加法公式，属于基础题.15.连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为【考点】对立事件的概率关系及计算；古典概型及其概率计算公式.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.【答案】【分析】由古典概型概率计算公式、对立事件概率计算公式即可求解.【解答】解：连掷一枚硬币5次，则至少出现一次正面向上的概率为1故答案为：【点评】本题考查对立事件相关知识，属于基础题.16.已知随机事件A,B,C,A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.6,P(C)=0.3,则P(AB)【考点】相互独立事件的概率乘法公式.【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.【答案】0.42.【分析】首先求出P(B),再根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得.【解答】解：∵随机事件A,B,C,A与B相互独立，B与C对立，且P(A)=0.6,P(C)=0.3,又A与B相互独立且P(A)=0.6,故答案为：0.42.【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.四.解答题(共4小题)17.伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题.现有a₁,a2,a3,…,an共n个元素及b₁,b2,b3,…,bn共n个位置，ak的对应位置为bk(k∈N*,k≤n),定义错排数F(n,m)(n∈N*,mEN*)为将a1,a2,a₃,…,an共n个元素排列在b1,b₂,b₃,…,bn共n个位置上，其中有m个元素不在其对应位置上的情况数，例如F(1,1)=0,F(2,2)=1.另外，规定F(0,0)=1.(1)计算：F(3,3),F(4,4);(2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量X,Y之间的总体偏差，定义协方差为Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}.(3)定义错排概率P(n,m)为随机将a1,a2,a3,…,an共n个元素排列在b₁,b₂,b₃,…,bn共n个位置上，其中恰有m个元素不在其对应位置上的概【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.【答案】(1)F(3,3)=2,F(4,4)=9;(2)由题意知当n=4时，X+Y=4,X的所有可能取值为0,2,3,4.X0234P则Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E[(X-3)(Y-=E[(X-3)(3-X)]=E(-X由X的分布列可得随机变量-X²+6X-9的分布列为：0P(3)根据定义，先从n个元素中选出m个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，记F(m,m)=Dm,则Dm=(m-1)(Dm-1+Dm-2),且Do=1,D则Dm+2-(m+2)Dm+1=-[Dm+1-(m+1)D∴{Dm+1-(m+1)Dm}是以1为首项，-1为公比的等比数列，经检验Do,D1也符合上式，所【分析】(1)确定a1=2的位置，再利用组合公式即可F(3,3),a1=2可以排在b2,b3,b4上，再讨论a2的位置即可得到F(4,4);(2)首先分析得X的所有可能取值为0,2,3,4,再写出其分布列，然后再计算E(X)=3,E(Y),再计算得=E[(X-3)(3-X)]=E(-X²+6X-9),最后计算其期望值即可；(3)首先分析得1记F(m,m)=Dm,构造得{Dm+1-(m+1)Dm}是以1为首项，-1为公比的等比数列，求出通项，变形得,最后累加即可证明.【解答】解：(1)a1=2可以排在b2,b3上，有C2种排法，当a₁=2的位置确定后，剩下两个元素a2,a3只有1种排法.a1=2可以排在b2,b3,b4上，有C₃种排法.不妨设a₁=2排在b₂上，接下来讨论a2.当a2排在b1上时，剩下两个元素a3,a4的排法有F(2,2)=1(种).当a2不排在b1上时，可以排在b3,b4上，有C2种情况.若a2排在b₃上，剩下两个元素a3,a4只有1种排法.(2)证明：由题意知当n=4时，X+Y=4,X的所有可能取值为0,2,3,4.X0234P则Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]·[Y-E(Y)]}=E[(X-=E[(X-3)(3-X)]=E(-X²由X的分布列可得随机变量-X²+6X-0P(3)证明：根据定义，先从n个元素中选出m个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，记F(m,m)=Dm,则Dm=(m-1)(Dm-1+Dm-2),且Do=1,D₁=0,m≥2,得Dm+2=(m+1)(Dm+1+Dm),∴{Dm+1-(m+1)Dm}是以1为首项，-1为公比的等比数列，则当m≥2时，经检验Do,D1也符合上式，所【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.18.判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;【考点】互斥事件与对立事件.【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.【答案】(1)是互斥事件；(2)不是互斥事件；(3)不是互斥事件；(4)是互斥事件.【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可.【解答】解：(1)在所选2名同学中，“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件.(2)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它们可能同时发生，所以不是互斥事件.(3)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件.(4)“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件.【点评】本题考查互斥事件的概念，属于基础题.19.2025年，世界首届人形机器人运动会在东京举行.顶尖机器人竞技场面震撼，刷新人类对未来体育的认知.现某高校一学生和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则如下：比赛采用三局两胜制(率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利且比赛结束),已知该同学第一局获胜的概率为从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为如果上一局失败，则本局获胜的概率为每局比赛均没有平局.(1)该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，求他连胜两局的概率；(2)记整场比赛该同学的获胜局数为ξ,求ξ的分布列和期望.【考点】离散型随机变量的均值(数学期望);相互独立事件的概率乘法公式.【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.【答案】(1)3012P【分析】(1)设出事件，利用条件概率的公式可得答案；(2)求出ξ的取值，分别求解对应的概率，利用期望公式可得答案.【解答】解：(1)设事件A=“该同学以2:1获得比赛胜利”,B=“该同学连胜两局”,2则该同学在以2:1获得比赛胜利的条件下，连胜两局获胜的概率为3.(2)由题意ξ的所有取值为0,1,2.3012P则ξ的期望【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题.20.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高.某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查.现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到表格(单位：人).老年人中年人满意不满意(1)从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；(2)试估计该地区青年人对酸奶满意的概率；(3)依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体对鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?(直接写出结果即可)注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值.【考点】概率的应用；古典概型及其概率计算公式.【专题】计算题；集合思想；分析法；概率与统计；运算求解.【答案】(1)(2)分布列见解析，期望(3)青年人.【分析】(1)根据表格数据，计算满意的概率；(2)由条件可知，,根据二项分布，求分布列和数学期望；(3)根据表格数据，结合每类人对鲜奶的满意度，即可作出判断；(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A.【解答】解：(1)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,样本总人数为500人，其中对酸奶满意人数为100+120+150=370人，所(2)用样本频率估计总体概率，青年人对酸奶满意的概率X的取值为0,1,2,3,X0123P则整体对鲜奶的满意度会大幅提高.【点评】本题考查概率的应用，涉及计算与分析，属于中等题.考点卡片【知识点的认识】(1)定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件.如果A1,A₂,…,An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1,A₂,.….An彼此互斥.AAA与B交集为空集A与B交集不为空集 A、B互斥A、B不互斥(2)互斥事件的概率公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：注：上式使用前提是事件A与B互斥.推广：一般地，如果事件A1,A₂,.…,An彼此互斥，那么事件发生(即A₁,A₂,.…,An中有一个发生)的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P(A₁+A₂+.+An)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(An)2.对立事件(1)定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做A.②在一次试验中，事件A与A只发生其中之一，并且必然发生其中之一.(2)对立事件的概率公式：3.互斥事件与对立事件的区别和联系互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同须有一个发生.因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”【命题方向】1.考查对知识点概念的掌握例1:从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()B.“至少有一个黑球”与“都是黑球”C.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：对于A:事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”,这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B:事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，确对于C:事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D:事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别.同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件.属简单题.例2:下列说法正确的是()A.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大D.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小.分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系.解答：根据对立事件和互斥事件的概念，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，故选B.点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案.2.互斥事件概率公式的应用例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是乙获胜的概率是则乙不输的概率是即为事件A+B,由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)=P(A)+P(B)可求.解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A,“乙获胜”为事件B,则A,B互斥，则乙不输即为事件A+B,故答案为：点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用.3.对立事件概率公式的应用例：若事件A与B是互为对立事件，且P(A)=0.4,则P(B)=()A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根据对立事件的概率公式p(A)=1-P(A),解得即可.解答：因为对立事件的概率公式p(A)=1-P(A)=0.6,故选C.点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题.2.互斥事件的概率加法公式【知识点的认识】互斥事件的概率加法公式：在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：注：上式使用前提是事件A与B互斥.推广：一般地，如果事件A1,A₂,..,An彼此互斥，那么事件发生(即A1,A₂,.…,An中有一个发生)的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：P(A₁+A2+..+An)=P(A1)+P(A2)+..3.对立事件的概率关系及计算【知识点的认识】-对立事件的概率关系是P(A)=1-P(A).【解题方法点拨】-利用对立事件的公式计算对立事件的概率.【命题方向】-主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分.4.并事件积事件的概率关系及计算【知识点的认识】-并事件的概率：P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B).-积事件的概率：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)对于条件概率，或者P(A)×P(B)对于独立事件.【解题方法点拨】-应用并事件的概率计算公式，注意去除重复计算部分.-对于积事件，检查事件是否独立来选择合适的计算方法.【命题方向】-重点考察并事件和积事件的概率计算，涉及概率加法和乘法定理的应用.5.古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1.定义：如果一个试验具有下列特征：(1)有限性：每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个；(2)等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的.则称这种随机试验的概率模型为古典概型.*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可.2.古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为【解题方法点拨】1.注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数.(1)本试验是否具有等可能性；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件A是什么.(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A;(3)分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;(4)利用公式求出事件A的概率.(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率(2)利用分析法求解古典概型.6.频率与概率【知识点的认识】A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.7.概率的应用【知识点的认识】1.频率与概率：频率是事件发生的概率的估计值.集合的观点：设试验的基本事件总数构成集合I,事件A包含的事件数构成集合A,则.3.古典概型的特征：(1)每次试验的结果只有一个基本事件出现；(2)试验结果具有有限性；(3)试验结果出现等可能性.4.互斥事件概率(1)互斥事件：在一个随机试验中，一次试验中不可能同时发生的两个事件A,B称为互斥事件.(2)互为事件概率计算公式：若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B).(3)对立事件：在一个随机试验中，一次试验中两个事件A,B不会同时发生，但必有一个事件发生，这样的两个事件称为对立事件.记作：B=A,由对立事件定义知：P(A)=1-P(A)(4)互斥事件与对立事件的关系：对立必互斥，互斥未必对立.设两个互斥事件A,B包含的所有结果构成集合A,B,则A∩B=ø(如图所示)设两个对立事件A,A包含的所有结果构成的集合为A,A,A∩A=Ø,AUA=I,则I则I注：若A1,A2,.….,An任意两个事件互斥，二、几何概型几何概型定义：向平面有限区域(集合)G内投掷点M,若点M落在子区域G₁SG的概率与G₁的面积成正比，而与G的形状、位置无关，我们就称这种概型为几何概型.几何概型计算公式：几何概型的特征：(1)试验的结果有无限个(无限性);(2)试验的结果出现等可能性.注：几何概型中的区域可以是长度、面积、体积等.三、条件概率与独立事件1.条件概率的定义：对于任何两个事件A,B,在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率称为事件B发生时事件A发生的条件概率，记为P(A|B).类似的还可定义为事件A发生时事件B发生的条件概率，记为P(B|A).2.把事件A,B同时发生所构成的事件D,称为事件A,B的交(或积),记为：A∩B=D或D=AB.3.条件概率计算公式：(1)事件A在“事件B发生的条件下”的概率与没有事件B发生时的概率是不同的.(2)对于两个事件A,B,如果P(A|B)=P(A)则表明事件B的发生不影响事件A发生的概率.此时事件A,B是相互独立的两个事件，即有(A)P(B).故当两个事件A,B,若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B相互独立，同时A与B,A与B,A与B也相互独立.四、二项分布、超几何分布、正态分布(1)n次独立重复试验的概念：在相同的条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立.n次独立重复试验的特征：①每次试验的条件相同，某一事件发生的概率不变；②各次试验的结果互不影响，且每次试验只有两个结果发生或不发生.(2)二项分步概率计算公式：一般地，在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为P(k)=Cp®(1-p)-。(k=0.1,2…n).,若随机变量由此式确定，则X服从参数n,p的二项分布，记作：X～B(n,p).2.超几何分布超几何分布定义：一般地，设有N件产品，其中含有M件次品(M≤N),从N件产品中任取n件产品，用X表示取出的n件产品中含有的次品的个数，则,(k为非负整数),若随机变量由此式确定，则X服从参数N,M,k的超几何分布，记作X～H(N,M,n)注：超几何分布是概率分布的另一种形式，要注意公式中N,M,k的含义.随机变量X取某一个值的概率就是求这一事件发生的次数与总次数的商.3.正态分布：(1)正态曲线：函x∈(-∞,+∞)图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)若随机变量X～N(μ,o²),则E(X)=μ,D(X)=o².五、离散型随机变量的分布列，期望，方差.1、概念：(1)随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.(2)离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是随机变量，η=aξ+b,其中a、b是常数，则η也是随机变量.(3)连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量(4)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可2、离散型随机变量(1)随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量.随机变量常用大写字母X,Y,.….表示，也可以用希腊字母ξ,η,..表示.(2)离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.3、离散型随机变量的分布列.(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x₁,x₂,.…,Xn;X取每一个对应值的概率分别X….….P……该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列.(2)性质：①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②p1+p2+.…+pn=1.4、离散型随机变量的期望数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为x1x2…PP1P2则称Eξ=xIp1+x2p2+..+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望.数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn,则有p1=p2=.所以ξ的数学期望又称为平均数、均值.期望的一个性质：若η=aξ+b,则E(aξ+b)=aEξ+b.5、离散型随机变量的方差；方差：对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是x1,x2,…,Xn,…,且取这些值的概率分别是p1,p2,…,pn…,那么,均方差，简称为方差，式中的E√Dξ是随机变量ξ的期望.标准差：Dξ的算术平方根√Dξ叫做随机变量ξ的标准差，记作方差的意义：(1)随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.【解题方法点拨】概率和离散型随机变量知识是新课标高考的重点内容之一，重量的分布列及性质等内容，对于基础知识考查以选择题、填空题为主.考查的内容相对简单，即掌握住基础知识就能解决此类问题.对于综合性知识的考查主要是把概率、随机变量的分布列性质、离散型随机变量的均值、方差等内容综合在一起解决实际问题，多以大题的形式出现.题目的难度在中等以上水平，解超几何分布等),便于求出分布列，进而求出均值与方差.利用均值、方差的含义去分析问题，这也是新课标高考命题的方向.【命题方向】典例1:已知函数y=√x(O≤x≤4)的值域为A,不等式x²-x≤0的解集为B,若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a>b的概率是()A.B.积为2,使得a>b的区域面积为故所求概率故选D典例2:在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆.每次(Ⅱ)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为ξ.求ξ的分布列及数学期望E(ξ).(结果用分数表示)解：(I)设命中油罐的次数为X,则当X=0或X=1时，油罐不能被引爆...…(6分)(I)射击次数ξ的取值为2,3,4,5.P(ξ=5)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3)32345P.…(14分)8.相互独立事件的概率乘法公式【知识点的认识】-对于相互独立事件A和B,P(A∩B)=P(A)×P(B).【解题方法点拨】-应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性.【命题方向】-重点考察独立事件的概率计算及独立性证明.【知识点的认识】-条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P(A|B).-计算：其中P(B)>0.【解题方法点拨】-计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算.【命题方向】-主要考察条件概率的计算及其应用问题.10.条件概率乘法公式及应用【知识点的认识】-条件概率乘法公式：P(A∩B)=P(A|B)×P(B).【解题方法点拨】-使用条件概率乘法公式计算交事件的概率，适用于涉及条件概率的复合事件问题.【命题方向】-涉及条件概率与交事件的计算，特别是在复杂事件的概率计算中应用.11.离散型随机变量的均值(数学期望)【知识点的认识】……P……数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.所以ξ的数学期望又称为平均数、均值.期望的一个性质：若η=aξ+b,则E(aξ+b)=aEξ+b.12.正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的认识】(1)正态曲线的定义函数φμ,x∈(-∞,+∞),其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称μ,σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线.(2)正态曲线的解析式①指数的自变量是x定义域是R,即x∈(-∞,+0).②解析式中含有两个常数：π和e,这是两个无理数.③解析式中含有两个参数：μ和σ,其中μ可取任意实数，σ>0这是正态分布的两个特征数.2.正态分布(1)正态分布的定义及表示后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值3.正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；(3)曲线在x=μ处达到峰值(4)曲线与x轴围成的图形的面积为1;(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率.落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据.【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考计算错误.对正态分布N(μ,o²)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为o²而不是σ,同时，记住正态密度曲线的六条性质.【命题方向】则这个正态总体的平均数与标准差分别是()A.10与8B.10与2C.8与10D.2与10解析：由可知σ=2,μ=10.典例2:已知随机变量ξ服从正态分布N(2,o²),且P(4)=0.8,则P(0<<2)等于A.0.6