1.量子机器学习基础原理与经典算法对比测试卷

2026年高考数学复习新题速递之集合一.选择题(共8小题)1.集合A={xlx²-4x+3<0},B={xl|kx|>1},则A∩B=(A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(1,3)2.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,3,4},CuB={3},则A∩B=()3.如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)nSB.(M∩S)∩(CsP)C.(MNP)USD.(M∩4.已知集合A={x|-3<x≤2},B={x|-2≤x<3,x∈Z},则A∩B=()A.[-2,2]C.{-3,-2,-1,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2}5.设集合A={x|x>1},B={x|-2<x<2},则(CRA)∩B=()A.(-2,1)B.(-2,1)C.(-∞6.已知集合A={x|-1<x<a},B={x|0<x<2},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a<2C.a7.如图，U是全集，M,N,P是U的子集，则阴影部分表示的集合是()A.MN(N∩P)B.MU(N∩P)C.(CUM)∩(N∩P)D.(CuM)U(N∩P)8.已知集合A={x|-3<x≤2},B={yly=2k,k∈Z},则A∩B=()A.{-2,2}B.{-2,0}C.{-1,1}D.{-2,0,2}二.多选题(共4小题)(多选)9.如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是()A.A∩BB.CA(A∩B)C.A∩(CuB)D.(CuA)∩B(多选)10.下列各组集合表示的不是同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}(多选)11.下列关系中正确的是()B.πERC.|-√2|∈QD.0∈N(多选)12.已知集合A={x|ax+1=0,a∈R},B={x|kx²-x-56=0},若ASB,则实数a的值可以是()三.填空题(共4小题)13.设集合A={2,3,4,5},B={4,5,6},则满足SSA且S∩B≠ø的集合S有_个.14.已知集合A={a-1,a²-3},若1∈A,15.已知集合M={-1,0,5,7},N={xlx<m},若集合MNN中只含有一个元素，则实数m的取值范围为16.若集合A={xER|ax²-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a=.四.解答题(共4小题)17.定义运算田：对任意a,b∈R,有a田.设集合B={x|lx²-3x+m=0},U={x|x=ab+(a田b),-2<a≤b<1且a,b∈Z},且集合B是集合U的子集.(1)求集合U;(2)求实数m的取值范围.19.已知集合A={x|(a-1)x²-3x+2=0}至多有一个元素，求a的取值范围.20.已知集合A={x|3-a≤x≤3+a},B={x|x<0或x>4}.(2)若a>0,且A∩(CRB)=A,求实数a的取值范围.2026年高考数学复习新题速递之集合(2025年10月)一.选择题(共8小题)题号12345678CBBDBACD题号9一.选择题(共8小题)1.集合A={x|x²-4x+3<0},B={x|lx|>1},则A∩B=()A.(-α,-1)B.(1,+∞)C.(1,3)【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】求出集合A,B,按交集的定义求解即可.【解答】解：因为A={xlx²-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|lx|>1}={x|x<-1或x>1},故选：C.【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.2.已知全集U={1,2,3,4},集合A={1,3,4},CuB={3},则A∩B=()A.{3}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【答案】B【分析】利用补集和交集运算即可求得结果.【解答】解：CuB={3},U={1,2,3,4},则B又因为A={1,3,4},所以A∩B={1,4}.【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.3.如图所示，M、P、S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(MNP)nSB.(MNS)∩(CsP)【考点】Venn图表示交并补混合运算.【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解.【分析】根据集合运算和韦恩图求解即可.【解答】由图可知，因为阴影部分不在P中，所以阴影部分在CsP中，阴影部分在M和S的公共部分，所以阴影部分在MNS中，【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.4.已知集合A={x|-3<x≤2},B={x|-2≤x<3,x∈Z},则A∩B=()A.[-2,2]C.{-3,-2,-1,1,2,3}D.{-2,-1,0,1,2}【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】结合交集的定义，即可求解.【解答】解：集合A={x|-3<x≤2},B={x|-2≤x<3,x∈Z}={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-2,-1,0,1,2}.【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.5.设集合A={x|x>1},B={x|-2<x<2},则(CRA.(-2,1)B.(-2,1)C.(-∞,2)【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】整体思想；综合法；集合；数学抽象.【答案】B【分析】与已知结合集合的补集及交集运算即可求解.【解答】解：因为A={xlx>1},所以CRA={x|x≤1},因为B={x|-2<x<2},【点评】本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题.6.已知集合A={x|-1<x<a},B={x|0<x<2},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a≥2B.a<2C.a>2【考点】集合的包含关系的应用.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】根据集合交集的性质得出B是A的子集，结合两个集合的区间范围确定实数a的取值范围.因此a需满足a≥2.【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题.A.MN(N∩P)B.MU(N∩P)C.(CuM)∩(N∩P)D.(CuM)U(N∩P)【考点】Venn图表示交并补混合运算.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【分析】根据图象和集合之间的关系即可得到结论.【解答】解：由Venn图可知，阴影部分中的元素属于集合P,N,但不属于集合M,所以阴影部分表示的集合(CuM)∩(N【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题.8.已知集合A={x|-3<x≤2},B={yly=2k,k∈Z},则A∩B=()A.{-2,2}B.{-2,0}C.{-1,1}【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解.【解答】解：集合A={x|-3<x≤2},B={yly=2k,kEZ},【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题.二.多选题(共4小题)(多选)9.如图所示的Venn图中，阴影部分对应的集合是()A.A∩BB.CA(A∩B)C.A∩(CuB)【考点】Venn图表示交并补混合运算.【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解.【分析】根据交集、并集、补集的含义求解.【解答】解：对于选项A:∵阴影部分的元素属于集合A,但不属于A∩B,∴A选项错误；对于选项B:∵阴影部分的元素属于集合A,但不属于A∩B,∴根据补集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为CA(A∩B),∴B选项正确；对于选项C和D:∵阴影部分的元素属于集合A,阴影部分的元素不属于集合B,根据补集的含义可知阴影部分的元素属于CuB,∴根据交集的含义可知阴影部分的元素组成的集合为A∩(CuB),∴C选项正确，D选项错误.【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.(多选)10.下列各组集合表示的不是同一集合的是()A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={3,2},N={2,3}C.D.M={3,2},N={(3,2)}【考点】集合的相等.【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解.【答案】AD【分析】根据同一个集合概念进行判断即可.【解答】解：A中，M,N都是点集，(3,2)和(2,3)是不同的点，则M,N是不同的集合；B中，M,N都是数集，都表示2,3两个数，是同一个集合；N表示的范围相同，是同一个集合；D中，M是数集，N是点集，则M,N是不同的集合.【点评】本题主要考查了集合相等的判断，属于基础题.(多选)11.下列关系中正确的是()A.B.π∈RC【考点】判断元素与集合的属于关系；判断两个集合的包含关系.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】ABD【分析】根据元素与集合的关系判断.所以A正确，B正确，C错误，D正确.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题.(多选)12.已知集合A={x|ax+1=0,aER},B={x|kx²-x-56=0},若A≌B,则实数a的值可以是()【考点】集合的包含关系判断及应用.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；运算求解.【分析】根据题意，先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，即可得到本题的答案.【解答】解：由题意得B={xlx²-x-56=0}={-7而A={x|ax+1=0},且ASB,①若A是空集，即a=0时，满足ACB;②若A不是空集，即a≠0时，此时解得综上所述，实数a的值可以是0或于基础题.三.填空题(共4小题)13.设集合A={2,3,4,5},B={4,5,6},则满足SEA且S∩B≠ø的集合S有12个.【考点】集合的包含关系的应用.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】12.【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解.【解答】解：由题意可知，S中一定含有4或5或4、5,当S中含有两个元素时，S={2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共5个，当S中含有三个元素时，S={2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},共4个，所以满足条件的集合S有2+5+4+1=12个.故答案为：12.【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题.【考点】元素与集合的属于关系的应用.【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解.【分析】利用元素与集合的关系求解.【解答】解：集合A={a-1,a²-3},1∈A,若a-1=1,则a=2,故答案为：-2.【点评】本题考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.15.已知集合M={-1,0,5,7},N={x|lx<m},若集合MNN中只含有一个元素，则实数m的取值范【考点】求集合的交集.【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解.【分析】根据两个集合的交集只含有1个元素，可求m【解答】解：因为M={-1,0,5,7},N={x|x<m},的取值范围.故实数m的取值范围为[-1,0].故答案为：(-1,0).【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题.16.若集合A={xERlax²-2x+1=0}中只有一个元素，则实数a=0或1·【考点】判断元素与集合的属于关系.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】0或1.【分析】分a=0和a≠0两种情况讨论求解.【解答】解：当a=0时，方程化为-2x+1=0,此时集合,符合题意，当a≠0时，若集合A={x∈R|ax²-2x+1=0}中只有一个元素，解得a=1,故答案为：0或1.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题.四.解答题(共4小题)-2<a≤b<1且a,b∈Z},且集合B是集合U的子集.(1)求集合U;(2)求实数m的取值范围.【考点】集合的包含关系的应用；子集的判断与求解；一元二次方程的根的分布与系数的关系.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解；新定义类.【答案】(1)U={0,1,【分析】(1)由题中的新定义先求得a田b,再求出集合U;(2)由题意判断集合B是集合U的子集，对集合B中的元素进行分类讨论可得出实数m的取值范围.【解答】解：(1)因为U={x|x=ab+(a田b),-2<a≤b<1且a,bEZ},所以集合U={0,1,对于方程x²-3x+m=0,△=9-4m,,不合题意，9有两个不相等的实根，记为x1,x₂,且xi<x₂,由题知x1,x2∈U,所以当时，无m的值符合题意，综上所述，实数m的取值范围是【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，考查了集合间的包含关系，属于中档题.18.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,6},集合B={1,2,3,5}.求：【考点】集合的交并补混合运算；求集合的并集；求集合的交集.【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解.【答案】(1)AUB={1,2,3,5,6};(3)CuAUB={1,2,3,4,5,7,8}.【分析】(1)由交集的定义易得结果；(2)由并集的定义易得结果；(3)由补集和并集定义即可求解结论.【解答】解：全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,6},集合B={1,2,3,5},(3)CuA={1,4,5,7,8},故CuAUB={1,2,3,4,5,7,8}.【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.19.已知集合A={x|(a-1)x²-3x+2=0}至多有一个元素，求a的取值范围.【考点】集合中元素个数的最值.【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解.【答案】【分析】结合题意分a=1和a≠1两种情况讨论求解即可.【解答】解：由题意，集合A={x|(a-1)x²-3x+2=0}至多有一个元素，当a-1=0,即a=1时，方程化为-3x+2=0,当a-1≠0时，则△=9-4(a-1)×2≤0,【点评】本题主要考查了集合中的元素个数问题，属于基础题.20.已知集合A={x|3-a≤x≤3+a},B={x|x<0或x>4}.(2)若a>0,且A∩(CRB)=A,求实数a的取值范围.【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】对应思想；定义法；集合；运算求解.【答案】(1)A∩B={xl4<x≤5},AUB={x|x<0或x≥1};【分析】(1)利用交集和并集概念求出答案；(2)先得到CRB={x|0≤x≤4},ASCRB,分A=Ø和A≠ø两种情况，得到不等式，求出答案.【解答】解：已知集合A={x|3-a≤x≤3+a},B={x|x<0或x>4},当A=ø时，3-a>3+a,解得a<0,与a>0矛盾，舍去，综上，实数a的取值范围为[0,1].【点评】本题考查交集和并集概念等集合间的运算，属于基础题.【知识点的认识】【解题方法点拨】明确集合定义：了解集合的定义及其包含的元素范围.验证条件：检查元素是否满足集合的定义条件.符【命题方向】(2)偶数4k-2(k∈Z)不属于A.分析：(1)根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；(2)用反证法，假设属于A,再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论.解答：解：(1)∵3=2²-1²,3∈A;∴(m-n)(m+n)为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾.∴(m-n)(m+n)为奇数，与4k-2是偶数矛盾.综上4k-2∈A.点评：本题考查元素与集合关系的判断.分类讨论的思想.【知识点的认识】元素与集合的关系：一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集.元素一般用小写字母a,b,c表示，集合一般用大写字母A,B,C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或【解题方法点拨】集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.【命题方向】知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数.已知集合A={a+2,2a²+a},若3∈A,求实数a的值.分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a²+a=3,求出a的值，验证集合A中元素不重复即可.此时A={3,3},不合条件舍去，...(7分)当2a²+a=3时，a=1(舍去)或,..(10分)由得,成立…(12分)点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力.3.集合的相等【知识点的认识】(1)若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B.(2)对集合A和集合B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B.就是如果A≌B,同时B≌A,那么就说这两个集合相等，记作A=B.(3)对于两个有限数集A=B,则这两个有限数集A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等.由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已.上述概念是判断或证明两个集合相等的依据.【解题方法点拨】集合A与集合B相等，是指A的每一个元素都在B中，而且B中的每一个元素都在A中.解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性.【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合；利用相等集合求出变量的值；与集合的运算相联系，也可能与函数的定义域、值域联系命题，多以小题选择题与填空题的形式出现，有时出现在大题的一小问.4.集合的包含关系判断及应用【知识点的认识】1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；ASB;如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，即ACB;2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B,即A=B.【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系，可以与函数的定义域，三角函数的解集，子集的个数，简易逻辑等知识相结合命题.5.判断两个集合的包含关系【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；ASB;如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集，即ACB;【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系.A.A>BB.BEAD.BCA【知识点的认识】如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；ASB,读作“A包含于【解题方法点拨】1.按照子集包含元素个数从少到多排列.2.注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素.3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.4.有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},满足BEA,则m的取值范围解：∵集合A={x|-3≤x≤2},B={x|m≤x≤2m-1},且BSA,综上所述，即m的取值范围是故答案为：7.集合中元素个数的最值【知识点的认识】求集合中元素个数的最大(小)值问题的方法通常有：类分法、构造法、反证法、一般问题特殊化、特殊问题一般化等.需要注意的是，有时一道题需要综合运用几种方法才能解决.8.子集的判断与求解【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集(subset).2、真子集是对于子集来说的.真子集定义：如果集合A≌B,但存在元素x∈B,且元素x不属于集合A,我们称集合A是集合B的真子集.也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.【解题方法点拨】定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中.验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中.符号表示：用≌表示子集关系，若A是B的子集，记为A≌B.【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题.9.求集合的并集【知识点的认识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作AUB.符号语言：AUB={x|x∈A或xEB}.AUB实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素.运算性质：①AUB=BUA.②AUø=A.③AUA=A.④A【解题方法点拨】定义并集：集合A和集合B的并集是所有属于A或属于B的元素组成的集合，记为AUB.元素合并：将A和B的所有元素合并，去重，得到并集.【命题方向】10.求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B.符号语言：A∩B={x|x∈A,且x∈B}.A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素.当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集.运算性质：①A∩B=BNA.②A∩ø=ø.③A∩A=A.④A集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图.【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集.已知集合A={x∈Z|x+1≥0},B={x|x²-x-6<0},则A∩B=()解：因为A={x∈Z|x+1≥0}={x∈Zlx≥-1},B={x|x²-x-6<0}={x|-2<x<3},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选：D.11.交、并、补集的混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B=B∩A,AUB=BUA.集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(AUB)UC=AU(BUC).集合分配律A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C),AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC).集合的摩根律Cu(A∩B)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuA∩CuB.集合吸收律AU(A∩B)=A,A∩(AUB)=A.集合求补律AUCuA=U,A∩CuA=ø.【解题方法点拨】直