2025年大学二年级线性代数上学期模拟卷

2025年大学二年级线性代数上学期模拟卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个向量组中，线性无关的是：(A)(1,2,3),(2,3,4),(0,1,2)(B)(1,0,1),(0,1,1),(1,1,0)(C)(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)(D)(1,-1,2),(2,-2,4),(3,3,7)2.设A是3阶矩阵，且|A|=2，则|-2A|等于：(A)-6(B)-8(C)-12(D)-163.设向量β=(1,k,3)能由向量α1=(1,2,0)和α2=(0,1,1)线性表示，则实数k的值为：(A)2(B)3(C)4(D)54.齐次线性方程组x1+2x2+kx3=0有非零解，则k的取值为：(A)1(B)-1(C)0(D)任意实数5.矩阵A=[[1,0],[1,1]]的逆矩阵A-1为：(A)[[1,0],[-1,1]](B)[[1,0],[1,1]](C)[[1,0],[1,-1]](D)[[0,1],[1,0]]二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。6.若向量α=(1,a,2)与向量β=(2,-1,b)线性相关，则a与b的关系是__________。7.行列式|A|的秩为r，则|A|中必存在一个r阶子式__________。8.矩阵A=[[1,2],[3,4]]的秩r(A)=________。9.线性方程组x1-x2+2x3=4与2x1+x2-x3=1有解，则其增广矩阵的秩rank(增广矩阵)________(填“>”、“<”或“=”）其系数矩阵的秩rank(系数矩阵)。10.设矩阵A可逆，且B=A^2-3A+2E，则B的逆矩阵B-1=________（其中E为同阶单位矩阵）。三、计算题：本大题共4小题，每小题7分，共28分。11.计算行列式|B|的值，其中B=[[0,1,2],[1,2,0],[2,0,1]]。12.已知向量α1=(1,1,2),α2=(1,3,0),α3=(2,0,1)。求向量α1,α2,α3的秩，并判断它们是否线性相关。13.解线性方程组：x1+2x2+3x3=1,2x1+5x2+7x3=4,3x1+4x2+5x3=6。14.设矩阵A=[[1,2],[3,4]],B=[[x,0],[1,y]]。求x,y的值，使得矩阵方程A-2BA=E有解，并求出此时矩阵A的逆矩阵A-1。四、证明题：本大题共2小题，每小题8分，共16分。15.证明：如果向量组α1,α2,α3线性无关，那么向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。16.设向量组α1,α2,α3线性无关，且向量β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1。证明向量组β1,β2,β3线性无关。试卷答案一、单项选择题：1.B2.D3.D4.C5.A二、填空题：6.a=-4b7.非零8.29.=10.A^(-1)-3E三、计算题：11.|B|=-5解析：利用行列式性质，将第二列加到第一列，第三列加到第二列，再按第一行展开计算。12.秩为2，线性相关。解析：构造矩阵C=[α1α2α3]，对C进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行数即为秩。秩<3，向量组线性相关。13.无解。解析：构造增广矩阵D=[A|b]，对D进行初等行变换。若出现全零行且该行对应增广部分不为零，则方程组无解。14.x=1,y=-2;A^(-1)=[[2,-1],[-3,2]]解析：由A-2BA=E得A(2B-I)=E，所以A^(-1)=2B-I。求出B，代入计算A^(-1)。四、证明题：15.证明：设c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3(α3+α1)=0。整理得(c1+c3)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3=0。因α1,α2,α3线性无关，故c1+c3=0,c1+c2=0,c2+c3=0。解此齐次线性方程组得c1=c2=c3=0。所以α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关。16.证明：设d1β1+d2β2+d3β3=0。代入β1,β2,β3的定义得d1(α1+α2)+d2(α2+α3)+d3(α3+α1)=0。整理得(d1+d3)α1+(d1+d2)α2