2025年专升本数学专业线性代数真题模拟试卷（含答案）

2025年专升本数学专业线性代数真题模拟试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题（每小题4分，共20分）1.若矩阵A=(aij)3×4，且A≠O，则|A|的秩r(A)≤_______。2.向量组α1=(1,2,3),α2=(0,1,2),α3=(k,0,1)线性无关的充分必要条件是k_______。3.齐次线性方程组x1+x2+x3=0有非零解，则其系数矩阵的秩r≤_______。4.若矩阵A的特征值为λ1=2,λ2=-1,λ3=3，则|A|=_______。5.二次型f(x1,x2,x3)=x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3的矩阵表示为_______。二、选择题（每小题5分，共25分）1.下列矩阵中，可逆的是()A.[12;36]B.[10;01]C.[01;10]D.[12;24]2.设向量组α1,α2,α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A.α1+α2,α2+α3,α3+α1B.α1-α2,α2-α3,α3-α1C.2α1,2α2,2α3D.α1,α2+α3,α33.非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A|b)的秩为r，系数矩阵A的秩为r'，则方程组()A.有唯一解当且仅当r=r'B.有无穷多解当且仅当r=r'+1C.无解当且仅当r=r'+1D.有解当且仅当r=r'+14.设A是n阶矩阵，且存在非零向量x使得Ax=0，则()A.A必可逆B.A必不可逆C.|A|>0D.|A|<05.二次型f(x1,x2,x3)=x1²+x2²+x3²+2x1x2+2x1x3+2x2x3经过正交变换x=PTy后，化为f=y1²+y2²-2y3²，则原二次型的矩阵A的特征值是()A.1,1,-2B.2,-1,0C.1,-1,2D.1,0,-1三、计算题（每小题10分，共40分）1.计算行列式D=|123;012;135|的值。2.设矩阵A=[120;213;011]，求矩阵A的逆矩阵A⁻¹（若存在）。3.解线性方程组：x1-x2+x3=1,2x1+x2-x3=2,x1+x2+x3=3。4.求向量组α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,5)的秩，并求其一个极大无关组。四、证明题（每小题15分，共30分）1.设向量组α1,α2,α3线性无关，证明向量组β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1也线性无关。2.设矩阵A是n阶实对称矩阵，且满足A²=A（称为幂等矩阵），证明：A的特征值只有0或1。---试卷答案一、填空题1.22.≠03.24.-65.[[1,1,1];[1,1,1];[1,1,1]]二、选择题1.B2.A3.D4.B5.A三、计算题1.解：按第一列展开，得D=1×|12;35|-0×|23;11|+1×|21;13|=1×(1×5-2×3)+1×(2×3-1×1)=1×(5-6)+1×(6-1)=-1+5=4.思路：利用行列式的按行（列）展开定理进行计算，选择零元素较多的行或列展开可以简化计算。2.解：计算行列式|A|=1×(1×1-3×1)-2×(2×1-3×0)+0×(2×1-1×0)=1×(1-3)-2×2+0=-2-4=-6。因为|A|≠0，所以A可逆。利用伴随矩阵法求逆：A⁻¹=(1/|A|)*Adj(A)=(-1/6)*[Aij]3×3，其中Aij是元素aij的代数余子式。Adj(A)=[[-2-33];[-313];[33-3]](计算各代数余子式后转置)A⁻¹=(-1/6)*[[-2-33];[-313];[33-3]]=[[1/31/2-1/2];[1/2-1/6-1/2];[-1/2-1/21/2]].思路：首先判断矩阵是否可逆（行列式非零），然后利用伴随矩阵公式计算逆矩阵，需要计算9个2阶子式和代数余子式。3.解：写出增广矩阵(A|b)=[[1-11|1];[21-1|2];[111|3]]，进行初等行变换化为行最简形：[[1-11|1];[21-1|2];[111|3]]→[[1-11|1];[03-3|0];[020|2]](R2-R1,R3-R1)→[[1-11|1];[01-1|0];[020|2]](1/3*R2)→[[1-11|1];[01-1|0];[002|2]](R3-2*R2)→[[1-10|1];[01-1|0];[001|1]](1/2*R3)→[[100|2];[010|1];[001|1]](R1+R2,R2+R3)对应方程组为x1=2,x2=1,x3=1，所以方程组有唯一解(x1,x2,x3)=(2,1,1)。思路：利用高斯消元法（初等行变换）将增广矩阵化为行最简形，直接读取解。4.解：写出矩阵B=[α1α2α3]=[[111];[123];[135]]，对B进行初等行变换化为行阶梯形：[[111];[123];[135]]→[[111];[012];[024]](R2-R1,R3-R1)→[[111];[012];[000]](R3-2*R2)行阶梯形矩阵非零行数为2，所以向量组的秩r=2。非零行的首元素所在列对应的向量α1,α2是线性无关的，故极大无关组为{α1,α2}。思路：将向量组作为矩阵的列向量，通过初等行变换求矩阵的秩，同时找出线性无关的列向量构成极大无关组。四、证明题1.证明：设存在常数k1,k2,k3使得k1β1+k2β2+k3β3=0，即k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α1)=0。展开得(k1+k3)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3=0。由于α1,α2,α3线性无关，所以系数必须全为零：{k1+k3=0{k1+k2=0{k2+k3=0解此方程组，得k1=k2=k3=0。因此，β1,β2,β3线性无关。思路：利用线性无关的定义，设线性组合为0，得到关于系数的线性方程组，若只有零解，则向量组线性无关。2.证明：设λ是A的特征值，x是对应特征向量，即Ax=λx(x≠0)。由A²=A，得A(Ax)=Ax。代入Ax=λx，得A(λx)=λx，即