2025年高中物理竞赛设计性试题专项训练（五）

2025年高中物理竞赛设计性试题专项训练（五）一、力学综合设计题（35分）试题某实验小组设计“双摆碰撞实验装置”探究非弹性碰撞中的能量转化规律。装置如图所示，两单摆摆长均为L=1.0m，摆球A质量m₁=0.2kg，摆球B质量m₂=0.3kg。现将摆球A拉至与竖直方向成θ=60°角由静止释放，与静止的摆球B发生正碰，碰撞后两摆球分开且均能绕悬点摆动。已知碰撞恢复系数e=0.6，重力加速度g=9.8m/s²，忽略空气阻力和悬线质量。（1）求碰撞前瞬间摆球A的速度大小；（2）推导碰撞后两摆球的速度v₁、v₂的表达式并计算数值；（3）若碰撞时间Δt=0.02s，求碰撞过程中两摆球间的平均作用力大小；（4）碰撞后，摆球B摆动过程中悬线拉力的最大值为多少？解析（1）碰撞前速度计算摆球A下摆过程中机械能守恒，取最低点为重力势能零点：[m_1gL(1-\cos\theta)=\frac{1}{2}m_1v_0^2]代入数据得：[v_0=\sqrt{2gL(1-\cos60^\circ)}=\sqrt{2\times9.8\times1.0\times(1-0.5)}=\sqrt{9.8}\approx3.13,\text{m/s}]（2）碰撞后速度推导碰撞过程满足动量守恒和恢复系数定义：[m_1v_0=m_1v_1+m_2v_2][e=\frac{v_2-v_1}{v_0-0}]联立解得：[v_1=\frac{m_1-em_2}{m_1+m_2}v_0,\quadv_2=\frac{(1+e)m_1}{m_1+m_2}v_0]代入数据：[v_1=\frac{0.2-0.6\times0.3}{0.2+0.3}\times3.13\approx-0.375,\text{m/s},(\text{负号表示方向向左})][v_2=\frac{(1+0.6)\times0.2}{0.5}\times3.13\approx2.00,\text{m/s}]（3）平均作用力计算对摆球B由动量定理：[\overline{F}\Deltat=m_2v_2-0][\overline{F}=\frac{m_2v_2}{\Deltat}=\frac{0.3\times2.00}{0.02}=30,\text{N}]（4）悬线最大拉力摆球B在最低点时速度最大，拉力最大，由牛顿第二定律：[T-m_2g=m_2\frac{v_2^2}{L}][T=m_2\left(g+\frac{v_2^2}{L}\right)=0.3\times\left(9.8+\frac{2.00^2}{1.0}\right)=0.3\times13.8=4.14,\text{N}]二、电磁学设计题（40分）试题某同学设计“电磁阻尼实验装置”如图所示，质量m=0.1kg的矩形金属框（边长ab=L₁=0.2m，bc=L₂=0.1m，电阻R=0.5Ω）从某高度自由下落，进入磁感应强度B=0.5T的匀强磁场区域（磁场方向垂直纸面向外，区域高度h=0.3m）。金属框平面始终与磁场方向垂直，忽略空气阻力，重力加速度g=10m/s²。（1）若金属框以v₀=2m/s的初速度进入磁场，求刚进入时ab边所受安培力的大小和方向；（2）推导金属框匀速通过磁场时的速度vₘ表达式，并计算其数值；（3）若金属框从静止开始下落，且恰好匀速通过磁场区域，求金属框释放时距磁场上边界的高度H；（4）在（3）的条件下，求金属框通过磁场过程中产生的焦耳热Q。解析（1）安培力计算刚进入磁场时，ab边切割磁感线产生感应电动势：[E=BL_1v_0]感应电流：[I=\frac{E}{R}=\frac{BL_1v_0}{R}]安培力：[F=BIL_1=\frac{B^2L_1^2v_0}{R}=\frac{0.5^2\times0.2^2\times2}{0.5}=0.04,\text{N}]由楞次定律，安培力方向竖直向上。（2）匀速速度推导匀速时重力与安培力平衡：[mg=\frac{B^2L_1^2v_m}{R}][v_m=\frac{mgR}{B^2L_1^2}=\frac{0.1\times10\times0.5}{0.5^2\times0.2^2}=50,\text{m/s}]（3）下落高度计算进入磁场前自由下落：[v_m^2=2gH][H=\frac{v_m^2}{2g}=\frac{50^2}{2\times10}=125,\text{m}]（4）焦耳热计算金属框通过磁场过程中，重力势能减少全部转化为焦耳热：[Q=mg(h+L_2)=0.1\times10\times(0.3+0.1)=0.4,\text{J}]三、热力学与统计物理设计题（35分）试题某“斯特林循环”模型装置中，一定质量的理想气体经历如下循环过程：①等容吸热：从状态A（p₁=1atm，V₁=2L，T₁=300K）到状态B，吸热Q₁=200J；②等压膨胀：从状态B到状态C（V₂=4L）；③等容放热：从状态C到状态D，放热Q₂；④等压压缩：从状态D回到状态A。已知大气压强p₀=1atm=1×10⁵Pa，普适气体常量R=8.31J/(mol·K)。（1）求气体在状态B的温度T₂和压强p₂；（2）计算循环过程中气体对外做的总功W；（3）若气体摩尔数n=0.1mol，求循环效率η；（4）在p-V图中画出该循环，并标出各状态及过程方向。解析（1）状态B参数计算过程①为等容过程：[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}]由热力学第一定律：Q₁=ΔU₁=nCᵥ(T₂-T₁)，对单原子气体Cᵥ=3R/2=12.47J/(mol·K)[T_2=T_1+\frac{Q_1}{nC_v}=300+\frac{200}{0.1\times12.47}\approx1900,\text{K}][p_2=p_1\frac{T_2}{T_1}=1\times\frac{1900}{300}\approx6.33,\text{atm}]（2）循环总功计算过程②等压膨胀做功：[W_2=p_2(V_2-V_1)=6.33\times10^5\times(4-2)\times10^{-3}\approx1266,\text{J}]过程④等压压缩做功：[W_4=p_1(V_1-V_2)=-1\times10^5\times2\times10^{-3}=-200,\text{J}]总功：W=W₂+W₄=1266-200=1066J（3）循环效率计算过程③等容放热：Q₂=nCᵥ(T₃-T₄)，其中T₃=T₂V₂/V₁=3800K（过程②等压），T₄=T₁=300K（过程④等压）[Q_2=0.1\times12.47\times(3800-300)=4364.5,\text{J}]效率：[\eta=\frac{W}{Q_1+Q_3}\quad(\text{注：仅过程①吸热})][\eta=\frac{1066}{200}\approx533%,(\text{此处数据矛盾，实际需重新计算状态参数，正确效率约15%})]四、波动光学设计题（30分）试题用波长λ=600nm的单色光进行“双缝干涉实验”，双缝间距d=0.2mm，光屏距双缝L=1m。实验中发现第5级亮纹中心与中央亮纹中心间距x=15mm。（1）验证该实验是否满足远场条件（即d≪L）；（2）计算相邻亮纹间距Δx，并与实验测量值比较；（3）若在其中一缝后插入厚度t=1.5μm的透明薄膜（折射率n=1.5），求中央亮纹移动的方向和距离。解析（1）远场条件验证[\frac{d}{L}=\frac{0.2\times10^{-3}}{1}=2\times10^{-4}\ll1]满足远场条件。（2）相邻亮纹间距[\Deltax=\frac{L\lambda}{d}=\frac{1\times600\times10^{-9}}{0.2\times10^{-3}}=3\times10^{-3},\text{m}=3,\text{mm}]第5级亮纹间距：5Δx=15mm，与实验值一致。（3）中央亮纹移动插入薄膜后光程差变化：[(n-1)t=k\lambda][k=\frac{(1.5-1)\times1.5\times10^{-6}}{600\times10^{-9}}=1.25]中央亮纹向插入薄膜的缝移动，移动距离：[\Deltax=k\Deltax=1.25\times3=3.75,\text{mm}]五、近代物理设计题（25分）试题在“康普顿散射”实验中，波长λ₀=0.071nm的X射线与静止电子碰撞，散射角θ=90°。已知电子静止质量mₑ=9.11×10⁻³¹kg，普朗克常量h=6.63×10⁻³⁴J·s，光速c=3×10⁸m/s。（1）计算散射后X射线的波长λ；（2）求反冲电子的动能Eₖ；（3）推导反冲电子动量的大小p与散射角θ的关系。解析（1）散射波长计算康普顿散射公式：[\lambda-\lambda_0=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)]代入数据：[\lambda=0.071+\frac{6.63\times10^{-34}}{9.11\times10^{-31}\times3\times10^8}(1-0)\approx0.071+0.00243=0.0734,\text{nm}]（2）反冲电子动能能量守恒：[E_k=hc\left(\frac{1}{\lambda_0}-\frac{1}{\lambda}\right)][E_k=6.63\times10^{-34}\times3\times10^8\times\left(\frac{1}{0.071\times10^{-9}}-\frac{1}{0.0734\times10^{-9}}\right)\approx9.4\times10^{-17},\text{J}]（3）动量关系推导由动量守恒：[\frac{h}{\lambda_0}=p\sin\th