中学数学不等式中蕴含的数学思想方法研究

第一章绪论课题研究的目的和意义不等式是中学数学的重要内容之一，也是数学基础知识的一个重要组成部分。它是描述不等关系的数学模型，反应不同事物之间的差异，体现了现实世界中的不等关系。不等式相关知识和其中渗透的数学思想，几乎应用到在数学的各个方面，因此不等式知识的理解和掌握不仅影响在数学领域的发展，还会影响物理、生物和其他学科领域的发展。因此，在历年高考中颇为重视。不等式与其他知识点密切相关。在解决与范围和最大值相关的问题时，几乎都会用到不等式，例如在集合所含元素的范围，函数的定义域和值域，函数的最大值与最小值，直线的斜率，圆锥曲线离心率的范围等问题的求解，都会用到不等式的相关知识。不等式这一知识点在中学数学的应用主要体现在解不等式、证明不等式、应用不等式三个方面。由于不等式的题目形式各异，例如数列不等式、绝对值不等式、三角不等式等，所以解题方法多样且技巧性强。因此对于大部分学生来讲，不等式始终是一个难点。部分题目学生们即使能解出，但因为使用复杂的解题方法步骤繁多、叙述冗长，很多学生难以完全掌握。针对此现象，教师在不等式章节教授过程中颇下功夫，对不等式进行归类研究，提出一些技巧性解题方法，但这并没有从根本上解决学生对于不等式知识的掌握和运用。考虑到数学思想在中学数学不等式的相关题目中有非常明显的体现，为了突破上述难点，我们认为可以从数学思想方法方面对中学不等式进行研究和总结，希望研究结果对数学教育工作者有所帮助。国内外研究现状不等式在中学数学中占有举足轻重的地位，起到“工具”的作用，同时也是学习数学及其他学科的基础知识。近几年，不等式的相关知识逐渐成为中学数学考试的热点，但大部分学生并不能全面且灵活地运用不等式的相关知识，不等式问题的求解始终是个难点。因此，国内很多研究学者对不等式的解题方法开展了研究。随着对不等式的研究，相关题型也越来越多，对于大部分学生来说，不等式的题目始终是个困难点。数学思想方法是数学课程的重要目的，它是解决数学问题的关键。不等式是数学思想的载体，所以不等式中渗透的数学思想，成为广大学者和教师的又一研究方向。文献[1]介绍了数学中常用的数学思想和方法以及数学思想方法的教学模式，从美国心理学家布鲁纳的基本结构中详细阐述了数学思想和方法教学所具有的重要意义，并给出详细的阐述。文献[2][6][7]重点研究了高中数学必修不等式的教学，分析了国内外不等式的教学现状，剖析了普通高中生不等式的易错点，及高考中重点考察的数学思想，总结出教师在以后的教学实践中应注重知识之间的联系，注重数学思想的渗透。文献[3]研究了初中数学的教学过程中数学思想应如何渗透，从哪一方面渗透，提出了数学思想方法的教学策略和几种教学模式。文献[4][5][15][16]介绍了中学数学不等式证明中的几种常用的策略与技巧，以及结合例题给出了不等式求解的一些非常规解题方法和策略。文献[8]-[12]分别研究了数形结合思想、函数思想、分类讨论思想、模型思想等数学思想在不等式中的应用，并给出相应的例题。通过一些典型例题，分析如何运用数学思想，使解题过程更加简便明了，更有利于学生们的理解。学生们文献[13]-[15]重点研究了数学思维在不等式教学中的应用策略，通过数形结合思想、函数思想等进行详细阐述，得出在不等式教学过中要积极采取数学思想，只有将不等式知识与数学思想并存，才能更透彻的理解不等式，从而灵活运用不等式的结论。以提高数学教学质量，进而培养学生的发散思维。在现实生活中，不等式的影子也随处可见，我们会用到很多不等式的数学模型来解决生活中所遇到的实际问题，将我们的许多生活问题转换为数学问题，达到学有所用的目的。本文希望通过对中学数学不等式中渗透着的几类数学思想进行研究分析，并且针对不等式的教学内容和相关知识点提出有效的教学方法，对现今不等式教学中如何将以上数学思想渗透到教学中提几点建议，从而提高学生的学习效率和教师的教学效果，为进行不等式教学的教师提供一定的参考。1.3问题的提出通过上述对不等式的国内外研究现状的了解与研究，我对中学数学不等式的相关章节教材做出以下分析，并提出中学数学不等式中蕴含的数学思想方法研究这一问题。不等式的内容从小学起就在教材中设置，不等式的相关知识的难度逐渐加深。不等式的题型主要分为三大类，不等式的求解证明及应用。不等式的解法包括解各类不等式，例如二元一次不等式（组）、对数型不等式、指数型不等式、含参数的不等式等。此类题型对于大多数学生来说较简单，解题方法步骤简便易理解，但此类型的题目较少，解题方法固定较为死板，不利于学生灵活运用。不等式的证明涉及的知识点较广泛，题型各异，技巧性强，证明方法种类繁多，其中所渗透的数学思想也很多。在教材中涉及的数学思想方法有观察、类比、抽象、概括、演绎推理、数学模型、数学结合、函数思想、线性规划等。此类题型对于大多数学生来说较困难，也是老师们在教学过程中难以攻克的难题。不等式的应用主要以解决日常生活中的问题来体现，例如最优化问题，根据约束条件列出方程式（组），在满足约束条件的前提下，得到问题的最优解。不等式解题方法多样，但题目中所蕴含的数学思想有着明显的体现，可以通过研究不等式中蕴含的数学思想，来解决以上问题。其次，不等式的知识虽然不多，但题型灵活多变，所以不会单独命题，都会与其他章节结合，具有一定的工具性。不等式与许多章节都有很紧密的联系，尤其和高中数学中的知识有普遍联系，例如集合、函数、方程、向量、平面几何、空间几何等。在代数方面，例如求函数的定义域、值域，确定函数的最大值与最小值、求直线的斜率、利用基本不等式求最值等；在几何方面，例如求空间线线、线面、面面的夹角范围，求椭圆和双曲线的离心率的范围；在概率方面，如求某事件的概率。这些问题都会用到不等式，它可以考察学生是否真正掌握不等式，能否利用不等式的知识和解题方法灵活处理题目，学生只有做到举一反三，以不变应万变，才能正确的解决问题。综上所述，中学数学不等式内容的学习具有承前启后的作用，它不仅是对不等式基础知识的巩固与深化，还是为进一步学习高等数学中的不等式做好铺垫，所以我认为可以从数学思想方法进行研究和总结，对此进行分析研究，希望结果对数学教育工作者有所帮助。1.4主要内容本文分四个章节来研究中学数学不等式中蕴含的数学思想方法，第一章是绪论主要叙述了该论文研究的目的和意义,国内外研究现状和此时仍未解决的问题，问题的提出；第二章研究了教材中不等式的知识结构、性质、不等式与其他知识的联系和中学数学几个重要的不等式；第三章分析了不等式中渗透的数学思想，并给出了实例，通过实例阐述数学思想在其中的应用；第四章对本论文进行了一下总结并给出一些意见。第二章不等式的相关内容2.1不等式知识结构体系根据中学不等式的相关知识，整理分析，制定了如下知识框图：图2-1不等式知识结构框图2.2不等式的性质不等式的性质，是求解不等式相关题目的理论依据，是解题过程中不等式与其他知识点联系的工具，因此是教学过程中的重点考察的热点。在学习不等式的性质时，更要掌握各类不等式的特点与变形。表2-1不等式的性质不等式基本性质基本性质（1）对称性：；（2）传递性：若且，则；（3）可加性：；（4）可乘性：，；运算性质（1）同号相加：若且，则；（2）正数同向相乘：若且，则；乘方法则：若，则；（4）开放法则：若，则；（5）倒数法则：若且则.2.3不等式与其他知识点的联系不等式与集合的联系。集合是高中课程的第一课，集合的学习，为函数的一一对应打下基础，起着至关重要的作用。在集合的表示中会用到不等式，例如，可以求两个集合的交集、并集或补集，进而转化为对不等式（组）的求解，此类型的题目在高考中较常见，一般是选择题的第一题。解决此类题目一般会用到数形结合思想，通过画坐标轴或Venn图，使结果更加明确直观。不等式与函数、导数的关系。在函数中不等式运用的最为广泛，最简单的就是求解不等式的解集，求函数的定义域、值域；难度再加强些就是求一个函数中含参变量的取值范围，不等式与导数结合在一起，可以判定函数是增(减)函数，求函数的最值，证明不等式的恒成立等问题，这都是高考题目中的必考点。解决此类题目用到的数学思想有很多，例如数形结合思想、函数思想、换元思想、模型思想、分类讨论思想等等。不等式与数列的联系。不等式与数列的综合问题一般有两种，求一个数列的前项和，再利用放缩法来，一是求这个数列最大值最小值，二是证明这个数列的有界性或单调性，这恰好又与函数联系在了一起。所以此类综合问题是高考中热点中的难点，难点中的热点，在试题中占有重要地位。解决此类题目一般会用到分类讨论思想、换元思想等。不等式与平面解析几何、立体几何之间的联系。不等式与立体几何相结合的题目类型较为单一，一般是求线线、线面、面面之间的夹角范围，会用到数形结合的数学思想。与平面解析几何相结合的题目难度相对较大，题型一般求圆锥曲线离心率的取值范围，会用到换元思想、数形结合思想等。不等式与概率的联系。不等式与概率相结合的问题，例如求某个事件发生的概率范围，或者与几何图形、函数结合，求某个图形面积大小的概率。会用到数形结合思想、函数思想等。所以，不等式几乎贯穿整个数学学习过程，是解决其他问题的重要“工具”，要重视学生对不等式的理解与掌握，才能更好地学习其他知识，起到事半功倍的效果。2.4中学数学几个重要不等式2.4.1一元一次不等式（组）定义2.1[19]如果不等式中只含有一个次数是1未知数，左右两边均为整式且系数不为0，那么此不等式称为一元一次不等式，记作.2.4.2一元二次不等式（组）定义2.2[19]如果不等式中只含有一个最高次数为2的未知数，左右两边均为整式，那么此不等式称为一元二次不等式，记作.2.4.3基本不等式[18].当且仅当时取等号，其中称为的算数平均数，称为的几何平均数。2.4.4均值不等式[7],当且仅当时，等号成立。上式为两个正数的均值不等式，我们可以将其推广到个正数，得到下面的不等式，,其中，为调和平均数，为几何平均数，为算数平均数，为平方平均数。2.4.5柯西不等式[7],均为实数，当且仅当时，等号成立。2.4.6排序不等式[7]设为两组实数，为的任排列，则有,当且仅当或时，等号成立。2.4.7切比晓夫不等式[7]设任意两组实数,若且或且,则有.若且,或且,则有.上述两式中，当且仅当或者时，等号成立。2.4.8杨格不等式[7]设有理数满足条件（互称为共轭指标），若为正数，则.当且仅当时，杨格不等式就是重要不等式.第三章不等式中蕴含的数学思想方法3.1数形结合思想数形结合思想是中学数学中的重要数学思想之一，在不等式的题目中应用广泛。其实质就是将图形与数学语言结合起来解决数学问题，借助图形的性质可以使复杂抽象的数学语言变得直观，更好的理解题目。将抽象思维与具体思维相结合，从而达到抽象问题具体化，复杂问题简单化，优化解题过程的目的。数形结合思想贯穿在整个中学数学的学习过程中，其中函数图像最直观体现了数形结合思想，函数图像将函数与方程二者联系起来，更利于学生理解与掌握各类函数的性质特点，使学生体会到数形结合思想的实质，并在解决题目时能灵活运用。数形结合思想多在选择题和填空题中应用，通过画函数图像等，学生可以更加简单快速的选出正确选项，在大题中应用，可以帮助学生更好的理解题意。因此合理的运用该思想可达到事半功倍的效果。例如，二元一次不等式组与简单的线性规划，其重点就是不等式的几何意义，即通过解不等式(组)的解集，找出在平面直角坐标系中的对应区域。例如将方程对应于图中的直线，并将表示直线上方的区域，同理表示直线下方的区域。那么，不等式组解集则为各个不等式解集的交集。通过几何意义、借助几何图形求最值，我们通过下面一道例题来探究。例3.1给定区域，令点集，是在上取得最大值或最小值，则中的点共确定_____几条不同的直线。解画出可行域，由目标函数即，可知当目标函数与重合时取最大值，过时取最小值。又因为，即最优解为整数解，故满足条件的点有，，，，共有6个点，又除外其余5点共线，故6个点共确定6条不同直线。图3-1线性规划问题是关于不等式典型题目，虽然考察的题型不一，但本质相同。在一些复杂的证明题中，我们也可以用数形结合的思想，使证明更加直观简明。例3.2若，求证：.证明题目中的可以看做直角坐标系中的一条直线方程，可以看做点与点间的距离，那么该距离可以看成直线上的点到点的距离，故自点向直线作垂线，垂足与它的距离最短，则，直线上其他点与的距离都大于.故.上述两个例题均为较抽象的题目，用数形结合思想“以形助数”，可使解题更加具体简单。例3.1先画出不等式组的可行域与目标函数，即可得出最大值与最小值的点。证明例3.2的关键是将两个复杂的函数方程，转化为点到直线的最短距离，利用点到直线的距离公式，便可简单地证明。此类解题方法学生更易理解掌握，所以教师在教学过程中，要经常提到数形结合思想，使学生逐步理解它的实质并能灵活运用。3.2分类讨论思想在中学数学学习中，“分类讨论”是一个重要解题方法，大多在高中题目中应用。分类讨论思想的关键是对题目本质的分析与思考，要求学生充分掌握与题目相关的知识，才能够读懂题目，读透题目，在满足题目所设定的限制条件的基础上，找到分类的标准对它进行分类，但分类的标准并不是单一的。所以分类的思想对于学生从不同方面来学习知识，全方面掌握知识有重要意义，同时培养学生缜密的数学思维。在不等式的相关题目中，含参数不等式也是一个难点，但是求解此类题型是有规律可循的，那就是恰当的运用分类讨论思想方法。解决这类问题的关键在于学生要充分掌握题目中所涉及的知识点，才能读懂题目，读透题目。其次对题目中所含的参数进行分析，明确参数的取值范围，根据题设的限制条件确定分类原则，然后运用分类讨论的思想对问题进行分类，将一个求解过程复杂的大范围，分解成多个小范围对其求解，理清解题思路，最后简化求正解，从而达到高效准确解体的目的。例3.3解关于的不等式.解当即时，化简为,解得.当即时，的判别式为,当即时，,则两根分别为且,解得,当且即时，，解得.当且即时，化简为，解得.当且即时，解得.综上所述：当时，原不等式解集为,当时，原不等式解集为,当时，原不等式解集为,当时，原不等式解集为,当时，原不等式解集为.例3.4已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为_______.解因为是定义在上的奇函数，所以.当时，，所以.又为奇函数，所以，所以当时，.所以.当时，由，得，解得,当时，无解,当时，由，得，解得.综上得不等式的解集用区间表示为.上述两个例题都用到了分类讨论思想，例3.4较简单，首先利用函数的奇偶性质求出在不同范围的自变量下对应的函数方程，再进行分类讨论求的解集。例3.3中二次项系数和判别式都含参数，都需要讨论，当时为一次不等式，求出解集即可；当时为二次不等式，则需通过判别式分类讨论。要求学生对每一种情况都不疏漏，有清晰的思路，一步一步地解题才能做到准确无误。但题目的分类标准并不是唯一的。所以在教学过程中，教师应引导学生按不同的分类原则对参数范围进行分类，从而使学生掌握正确合理的分类方法，达到学生独立分析解题的目的，并逐渐掌握分类讨论思想的实质。3.3函数思想函数思想也是数学思想的重要组成部分，在解决许多数学问题时都会用到函数思想。其实质就是把具体的语言问题转化为抽象的数学函数，通过求解函数方程式，达到解决问题的目的。函数思想一般与方程思想相结合应用，将函数问题转化为已学过的方程问题，借助特定的方程进行求解。该思想的运用要求学生牢固掌握已学习过的方程及其性质和图像的特点，学生通过观察函数图像，便就能够十分清楚的掌握函数图像的一般规律，从而有效的简化相应的解题步骤。例3.5解不等式.分析将不等式化成的形式，但这个不等式不是常见不等式，没有具体的解法，则可以用函数的思想解不等式。令画出函数的图像，观察函数图像哪一部分位于轴的上方，对应哪一部分的自变量。但这个函数不是初等函数，画图难度较大，方法不可行。解将不等式，左右两边看成两个函数和，在直角坐标系中分别画出和的图像，若的图像位于的上方，则满足，即，那么图像中对应的自变量的范围就是该不等式的解集。图3-2例3.6正数满足，证明：.分析本题是一道不等式的证明题，从题目中所给定的条件来看，该题非常困难。因为题目中有7个未知量，已知的是这几个未知量的加和关系，但题目中让我们证明的是未知量两两相乘再加和后小于未知数。我们可以根据题设构造一个函数，利用函数的性质或奇偶性、对称性等可使这个看起来复杂得问题简单化。证明令,根据题意都大于零，所以，故,则,那么,化简得,又因，所以,证得.上述两个题目都用到了函数思想，例3.5将不等式看成两个函数为与，求即可，在借助函数图像，便可简单地求解。例3.6巧妙地利用构造函数的方法，使问题简单化。在教学过程中要时刻注重函数思想的渗透，把不等式与函数相联系，再把函数与函数相应的图形结合起来，从而解决不等式的问题。3.4模型思想不等式本身就是一个数学模型，描述现实生活中不等关系，通过分析实际问题中的数量不等关系，根据题设中的约束条件列出不等式，然后求解不等式得到实际问题的答案，这就体现了不等式的模型思想。在中学数学教材中，注重不等式在实际生活的应用，因此创设了丰富的问题情境，让学生感受到现实生活中存在大量的不等关系，从而引起学生们的学习兴趣。不等式关系的重点内容就是通过具体情境，建立不等式模型。例3.7(1)某中学的女生住若干件宿舍，若每间宿舍住12人，剩27人没有宿舍住；若每间宿舍住12人，则有一间宿舍住不满。设有间女生宿舍，请写出满足的不等式组？(2)下表给出了三种食物的维生素含量及成本：表3-1维生素(单位/)维生素（单位/）维生素（单位/）300700550010043003003某人欲将这三种食物混合称100的食物，要是混合食品中至少含35000单位维生素和40000单位维生素，则、两种食物各取，那么应满足怎样的条件？解（1）设有间女生宿舍，则有名女生，根据题意，得.食物，这两种食物各取，则食物有，则即例3.7中的数学模型分别为一元一次不等式(组)和线性规划模型。在教学中渗透模型思想可以培养学生创新意识和解决实际问题的能力。3.5换元思想换元思想在不等式的求解与证明中应用广泛。换元的目的是为了简化书写过程，更容易的计算结果，但学生们较难理解，在应用的过程中易将题目中的参数与换元的参数相混淆。换元法所适用的不等式的范围较小，它适用于一些特殊类型的不等式，当遇见条件时，可用三角换元设等，当遇见条件时，可用均值换元法令都为，这样可以化繁为简，从而使问题得到顺利解决。例3.8已知，求证：分析由于，因此可以想到，当然此题目也可以直接证明。由均值不等式和已知条件，得，从而，即证。证明因为，所以设因为所以则,故.例3.9若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。分析还原后把参数看作的函数，求函数的值域即可。解令，则原方程化为，变形得当且仅当，即时取等号。则的取值范围为.上述两个题目都用到了换元思想，例3.8运用三角换元法令，例3.9令，将函数转化为一元二次函数，即可简便的求出参数的取值范围。根据题设条件，进行合理换元，可使参数间的关系更清楚。教师应引导学生分析条件，渗透换元思想，培养学生思维的概括性与简洁性。 第四章结论与建议本文重点研究了中学数学不等式中蕴含的数学思想方法，首先研究了中学数学教材中关于不等式的知识点，不等式与其他知识点的联系，然后基于数学思想将不等式的相关题目进行分类，研究分析，从而确定不等式的解题方法和技巧。研究分析得出分类讨论思想、函数思想、数形结合思想在中学数学的解题中应用最为广泛，并且在解一道题目时会用到多种数学思想，才能使解题过程更加简便，更利于学生的理解与掌握。所以教师在教学过程中应重视数学思想的渗透与培养，更要重视不等式与其他知识点的联系，并强化应用。使学生能自主的找出题目中蕴含的数学思想，理清思路达到正确解题的目的。参考文献[1]徐红.数学思想方法的探讨[J].四川劳动保障,2019(07):28.[2]刘春兰.高中数学必修不等式教学研究[D].江西科技师范大学,2018.[3]张春丽.思想与方法在初中数学教育中的渗透研究[D].苏州大学,2009.[4]王沛滋.中学数学中不等式的证明方法及技巧[J].科学技术创新,