中学数学中导数问题研究

II1引言1.1中学数学中导数问题的研究现状一直以来，很多国内的学者就中学数学中的导数问题进行了大量的研究，现将近年来的有关情况整理如下：（1）邓慧丽在《高中数学中导数解题策略教学研究》中给出了数形结合、转化思想、函数与方程、分类讨论、构造函数五种数学思想方法，举例分析了每个数学思想方法解决的导数问题[1].（2）黄鹤飞在《例析化归法求解函数导数问题》中以例题的形式举例讨论了利用化归法求解函数导数问题，就化归法在中学函数导数问题的解答作了详细阐述[2].（3）许诤和曹静慧在《例谈用导数求参数取值范围的常用方法》中分别利用分离参数法、放缩法、构造函数法、分类讨论法解答一道求参数取值范围的题目，展示了导数在解决求参数取值范围问题中的妙用[3].（4）徐志刚在《导数背景下不等式证明问题的处理策略》中细致地阐述了不等式证明中不同的函数构造策略，特别指出不同策略最终都利用导数求最值解决问题[4].（5）蒋晓云在《导数在解析几何中的应用》中分别利用传统的解题方法与利用导数解决的方法解答一道解析几何的问题，阐明导数在解决解析几何问题时化繁为简的重要作用[5].（6）张昱在《浅议利用导数解决生活中的优化问题》中运用导数知识对几种优化问题进行分析求解，进一步给出了利用导数解决要优化问题的一般解题步骤,并对四类生活中的优化问题进行举例说明，将导数问题应用于生活实际中[6].总的来说，这些学者都是对某些求解导数问题的思想方法或者某个有关导数问题的求解进行研究，没有给出系统全面的解决导数问题的方法和策略，所以，对于中学数学中的导数问题还有待进一步的探究.1.2中学数学中导数问题研究的目的和意义（1）研究的目的：通过中学数学中常见导数问题的研究，加深学生对各类导数问题的认识，让学生掌握解决中学数学导数问题的基本方法，掌握导数问题中所渗透的数学思想，如函数与方程思想、构造函数思想、转化思想等，并学习联系生活实际，了解导数问题及相关数学思想在生活中的应用.（2）研究的意义：对中学常见导数问题的解题思路和方法进行总结，有助于学生对导数的相关知识、方法和技巧的掌握，通过对各类题目的分析解答，让学生体会数学学习的奇妙，从而提高学生对数学学习的兴趣，学会将数学知识应用于实际生活，让数学更好的服务于社会.2中学数学中导数的重要性导数部分是新课标高中数学教材中新加入的内容，也是选修内容的重要组成部分，中学数学因导数的引入而增添了更多新的变量，我们学习和研究的领域也变得更加宽广.同时，导数也是高考的热点内容[7]，是中学数学的重难点，题型涉及到解答、填空、选择[8].导数知识与其他数学知识联系密切，二者结合能够产生多种多样新的题型，此类题型灵活多变、考察点巧妙，逐渐成为高考题中的亮点，也成为了学生难解的题目。因此导数在中学数学教材与高考中是非常重要的[9].导数知识在求解函数、不等式、解析几何、实际优化等几类问题时，能够很好地简化问题，化难为易，在解决这些数学问题时发挥了重要作用.导数知识在现实生活中同样十分重要，尤其是在解决优化设计问题时，建立数学模型的独特方法，使得求解问题便捷易懂.另外，导数知识连接了高中和大学的数学学习,在二者间具有承上启下的作用[10]，是初等数学与高等数学共同需要学习的内容.由此可见导数在数学学习与生活实际中的重要性.

3中学数学中导数问题的求解导数是中学数学的重要内容，作为一种处理数学问题的重要工具[11]，它在研究函数的单调性、最值、证明不等式以及求解析几何中的切线与方程和解决一些实际问题等方面作用突出.3.1函数中有关导数问题的求解利用导数来研究函数问题是每年高考必考的题目[12]，高考试题承载着选拔使命，因而对学生计算求解、论证推理、类比联想等方面的能力要求较高.3.1.1利用导数判断函数的单调性中学数学中，通常采用求导数判断的方法来讨论函数单调性[13]，主要依据为：若函数在某一区间内的导数是，那么，若，那么函数在内单调递增；若，那么函数在内单调递减.具体的解题步骤分为以下三步：求解已知函数的定义域；求解已知函数的导数，并对其进行化简；判断导数在区间内的符号，根据上述依据，进而判断函数的单调性,最后得出结论.例3.1.1.1已知函数，讨论的单调性.分析要讨论的单调性，首先想到求，再根据的范围讨论的符号，进而得到函数的单调性.解由已知求得.令，解得或，(1)若，则当时，；当时，.故在，上单调递增，在上单调递减.(2)若，则在上单调递增.(3)若，则当时，；当时，.故在，上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.3.1.2利用导数求函数极值或最值对函数极值的讨论常建立在讨论函数单调性的基础上[14]，利用导数求函数极值的问题求解，具体分为以下三步：求函数的导函数，并计算其定义域；令导函数，求其根；判断在定义域内方程根的左、右两侧函数值的符号，判断函数的增减性，进而求的极值.利用导数求函数最值的问题，在求出函数的极值后，还需将的极值与端点的函数值做比较，这样才能得出最值；若无端点值，那的极值即为的最值.例3.1.2.1已知函数.求函数的极小值.分析对存在参数的函数求极值时，需要对其参数的取值范围进行分类讨论.解由已知求得.令，解得，若，当时，，在上是增函数，当时，，在上也是增函数，所以，时，当或时，在上是增函数，又，所以的解集为，同理可得的解集为，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数在处取得极小值，且极小值为.例3.1.2.2已知函数，求函数在区间上的最小值.分析要求函数在区间上的最小值，首先需要利用导数求出在区间上的极小值，再与其端点值、进行比较，更小的值即为最小值.解在时，，所以，设，当时，有，此时，所以，在上单调递增，所以，当时，有，令,即，解得或（舍），令，即，解得，若，即时，在区间单调递减，所以.若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.若，即时，在区间单调递增，所以.综上所述，当时；当时，；当时，.3.1.3利用导数求参数的值利用导数求参数值是一类探索性的题目，题型灵活多变，是高考中很常见的题型，在选择、填空、解答题中都有涉及到，主要考察了存在性问题与恒成立问题中的参数取值，利用导数知识，可将复杂、不熟悉的问题转化为简单又熟悉的问题[15].例3.1.3.1已知函数，如果存在使得不等式，求实数的取值范围.分析由题目已知，存在使得不等式成立，可联想到函数的最值，即可将其转化为含参函数的最值讨论，只需即可，再利用导数求函数在区间内的最小值.解由，有，，因为时，，则有函数在区间上为增函数，所以当时，,即函数在区间上的最小值为.要使存在使得不等式成立，只需即可，即，故实数的取值范围为.例3.1.3.2已知函数.当时，若不等式对所有的，都成立，求实数的取值范围.分析本题为由恒成立问题求参数的取值范围，由不等式对所有的，都成立，可先将所求变量与已知变量分离，建设所求变量与已知变量之间的关系式，再由已知变量的范围求函数的值域，即为所求变量的取值范围.解当时，，若不等式对所有的，都成立，则对所有的，都成立，即，对所有的，都成立.令，则为一次函数，.时,，所以在上单调递增，所以，又对所有的都成立，因为,所以,所以，即实数的取值范围为.3.2不等式证明中有关导数问题的求解在解决不等式证明中有关导数的问题时，应用构造函数法，构造新的函数，为不等式和函数搭建桥梁，将不等式证明问题转化为利用导数求最值问题，可将问题化难为易[16].3.2.1利用导数研究函数的单调性来证明不等式在导数成为中学数学强有力的解题工具的背景下，不等式的证明问题常常结合我们所熟悉的基本初等函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，成为近年高考的重点题目，以此来考查学生对数学思想以及数学核心素养方面的掌握程度.例3.2.1.1已知函数，求证：当时，恒有.分析本题两边都有不等式，右边不等式可通过函数在定义域内的单调性求证，左边不等式需采用构造函数法，构造出函数，从其导数入手证明即可.解由已知求得，所以当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以函数在上的最大值为，所以当时，，即，所以(右边得证)，令，则有，当时，；当时，，即在上为减函数，在上为增函数，故函数在上的最小值为，所以当时，，即，所以.综上可知，当时，有.例3.2.1.2若函数在上可导且满足不等式恒成立，且常数满足，求证：.分析由已知中不等式恒成立，移项后有，易想到其是个积的导数，由此可构造函数，最后求导即可证明.证明由已知，即，构造函数，则，从而在上为增函数.又因为，所以，即.3.2.2利用导数研究函数的最值来证明不等式一些不等式证明的问题求解时，可采取以下方法：先利用导数求出不等式中函数式的最值[17]，再证明不等式，此类解法通常需要采用构造法构造新的函数，再利用导数求出新函数的最值，进而得证不等式成立.此法将复杂的问题简化求解，不失为一种好方法.例3.2.2.1已知函数，为自然对数的底数.当时，求证.分析遇到此类直接求证的不等式，首先由不等号两边的函数式构造新的函数，再通过求导求出新函数的最值，进而可求证原不等式.证明令，则，令，解得，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以对于任意，，所以，即.例3.2.2.2求证：.证明令，则,.令，解得，或（舍），当时，有极小值，此处也为最小值,所以当时，，从而.3.2.3利用导数研究不等式恒成立不等式恒成立问题是考试的难点题目[18]，求解这类题目的关键在于掌握转化思想，将复杂的不等式问题转化成可利用导数求解的简单函数问题.例3.2.3.1已知函数，在上单调递减.求证：当时，恒成立.证明因为，又在上单调递减，所以，即,所以.要证，只需证，即证,令，，则只需证明，令，则当时，，所以在上单调递减，又，所以，即,因此.所以当时，恒成立.例3.2.3.2已知函数，，对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围.分析由对任意，存在，使得恒成立，可得，因此利用导数讨论的单调性、最值即可求出实数的取值范围.解对于任意的，存在，使得恒成立，等价于.，令，，则，时，；，时，，；所以在上为增函数.所以在上为增函数，所以当时，，令，，则设，当时，，因此，所以只需，解得.当时，，，所以只需，解得.当时，成立.综上所述，的取值范围为.3.3解析几何中有关导数问题的求解导数在解决解析几何问题中，发挥着重要的化繁为简的作用，此类题目的做答难度较低，但要求学生解题能有较好的熟练度，强调灵活运用.3.3.1利用导数的几何意义求曲线的切线求曲线的切线是一类常见题目，利用其它中学知识便可解决，但却过程繁琐，若在此通过导数的几何意义求解，则非常简便.例3.3.1.1已知函数，曲线在点处的切线的斜率为.求的值和切线的方程.分析根据题目已知，先通过求导得出切线的斜率，再利用曲线在点处的切线的斜率为的条件，代入求出的值，再将点横坐标代入，求得其纵坐标，最后求其切线方程并转化成一般式方程.解由，得，因为曲线在点处的切线的斜率为，所以，解得，所以，故切线的方程为：，即.所以，切线的方程为.3.3.2利用导数求解析几何中的最值解析几何中求最值的问题，是高中数学中的一个重难点[19]，利用导数来求解，常常比用传统的方法求解更加便捷、易懂.例3.3.2.1已知点是抛物线上的一个动点，定点的坐标为，求的最小值.分析由题意先设出动点的坐标，再通过点、的坐标将表示出来，最后利用导数求得最小值.解设点的坐标为，则.令，则.令，解得，当时，；当时，.所以，当时，取得最小值，为，即得取最小值.3.4实际应用中导数问题的求解导数在分析函数性质方面，具有强大的功能，它是求解函数最值极其有利的工具[20].许许多多的实际应用问题中，都需要求解最大（小）值，所以学会利用导数来求解此类实际生活中的应用问题非常有必要.3.4.1利用导数求解费用最低问题例3.4.1.1已知、两地相距200千米，一艘船从地逆水行驶到地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为千米/时(),若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船在静水中速度为多少？分析该题为一道求最低费用的优化问题，重点是根据题意构建适当的数学模型，即由已知条件，船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，可采用待定系数法写出其函数关系式.求出关系式后，要求燃料费最省，实质就是求函数的最小值.只需再利用导数判断函数的单调性，进而求其在定义域内的最小值即可.解设每小时的燃料费为元，比例系数为，则由题意可得，当时，，即有，解得.设全程燃料费为元，由题意得，所以.令，即，解得(舍去).所以，当时，即千米/时时，全程燃料费最省，即（元）；当即时，，即在上为减函数，所以，当时，（元）.综上所述，当时，千米/时时，全程燃料费最省，为32000元；当时，即千米/时时，全程燃料费最省，为元.3.4.2利用导数求解容积最大问题例3.4.2.1用边长为的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四角翻转再焊接而成一个长方体形水箱.问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？分析根据条件，把水箱的体积表示出来，利用导数判断函数的单调性，进而得到函数的最值，即可得.解设剪去的小正方形边长为，则底边长为，高为，水箱的容积为，，令，即，即，解得，(舍去).当时，；当时，，所以当时，容积最大，即当底面边长为时，水箱的容积最大.4中学数学中导数问题常见解题方法的总结4.1函数中有关导数问题的求解方法分类讨论法、数形结合法和化归法是解决与函数相关的导数问题常用的解题方法.求函数定义域求函数定义域与导数求出使得的解（若含参数，对其正负进行分类讨论）对方程或方程组进行求解，求出待定系数的值图4-1判断单调性步骤图图4-1表示了利用导数判断函数单调性的一般步骤.利用导数求函数极值或最值，要解决此类题目，须熟练地判断函数的单调性，并能够运用数形结合法思考问题，如此便可解答.利用导数求参数值的问题近年成为了考试的热点题目，通常结合不等式恒成立出题，遇到此类题目，通常需要从以下几方面考虑：采用参量分离法，先将原不等式转化为含有最值形式的不等式或，再利用导数求的最值；直接求最值，先将不等式转化为等价的含有最值形式的不等式，如：或，进而利用导数求的最值.以上两种方法均是将不等式中的求参数问题转化为最值问题来求解.4.2不等式证明中有关导数问题的求解方法在求解一些不等式证明问题时，往往需要构造新函数，再利用导数研究新函数的单调性或最值，根据新函数的单调性或其最值，便得到所要证明的不等式.对于解决这些需采用导数手段来证明的不等式问题，一般采用构造函数法和分离变量法.对于不等式恒成立问题的求解，解答该类题目需注意不等式恒等条件的转化，即：若恒成立，只需即可；若恒成立，只需即可.4.3解析几何中有关导数问题的求解方法待定系数法与数形结合法是解决解析几何中有关导数问题的常用方法.对于一些关于斜率、切线的问题，常常需要用到导数的意义；而对一些与最值相关的问题，则重点需要通过题目中距离公式、面积公式等，构建含参数的函数关系式，用已知表示未知，将问题转化为求某含待求参数的函数的最值问题，再利用导数求函数最值，进而解答题目.求函数求函数的导数将已知点代入，求出曲线在该点处切线的斜率利用点斜式得出切线方程图4-2求切线方程步骤图图4-2表示了利用导数求切线方程的一般步骤.4.4实际应用中有关导数问题的求解方法利用导数知识来处理实际应用中的最值问题时，需要特别注意的一点是确定所构建函数的定义域.在解答时，一定要考虑到题目的实际意义，若对函数只求出一个极值点，区间不含端点，则考虑题目的实际意义判定其为最大(小)值便可；不然，则需与区间端点的函数值作比较，进而得出最大(小)值.参考文献[1]邓慧丽.高中导数应用试题题型的分析与研究[D].西北大学,2018.[2]黄鹤飞.例析化归法求解函数导数问题[J].中学数学研究,2019,No.403,42-43.[3]许诤;曹静慧.例谈用导数求参数取值范围的常用方法[J].高中数学教与学,2019,No.431,43-44.[4]徐志刚.导数背景下不等式证明问题的处理策略[J].中学数学,2020,No.599,51-52.[5]蒋晓云.导数在解析几何