专升本理工科专业2025年控制理论计算专项试卷（含答案）

专升本理工科专业2025年控制理论计算专项试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、已知系统微分方程为：y''(t)+3y'(t)+2y(t)=u(t)其中，输入信号u(t)=e^{-t}·u(t)，初始条件为y(0)=1,y'(0)=0。试用拉普拉斯变换法求系统的零输入响应yzi(s)和零状态响应yzs(s)。二、已知系统的传递函数为G(s)=(s+2)/(s^2+3s+2)。试求该系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn。三、设系统的开环传递函数为G(s)H(s)=K/(s(s+1)(s+5))。试用劳斯判据确定使系统稳定的K值范围。四、已知单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s(s+2))。试绘制该系统的根轨迹图（要求标出分离点、会合点、起始角和终止角）。五、已知系统的开环传递函数为G(s)H(s)=10/(s(s+1))。试用Nyquist稳定性判据判断当K=5时，闭环系统是否稳定。若稳定，求系统的相角裕度γ和幅值裕度Kγ。六、已知二阶系统的传递函数为G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)，其中ωn=10rad/s,ζ=0.3。当输入信号为单位阶跃响应时，求系统的上升时间tr、峰值时间tp、超调量σp和调节时间ts(取σp=5%)。七、已知系统的状态方程和输出方程分别为：x'(t)=[-21]x(t)+[1]u(t)[-1-3][0]y(t)=[10]x(t)求该系统的传递函数G(s)。八、系统结构图如下所示（此处不绘制结构图，请根据描述想象）：系统由三个环节串联而成：G1(s)=1/s，G2(s)=s+1，G3(s)=1/(s+2)。求该串联系统的总传递函数G(s)。九、已知系统结构图如下所示（此处不绘制结构图，请根据描述想象）：系统由前向通路传递函数G(s)=1/s(s+1)和反馈通路传递函数H(s)=1组成，且反馈为负反馈。求该系统的传递函数Y(s)/R(s)。十、已知系统开环传递函数为G(s)H(s)=K/(s(s+2)(s+3))。若要使系统具有临界稳定（即根轨迹在虚轴上相交），求K的值。试卷答案一、零输入响应yzi(s):对微分方程两边进行拉普拉斯变换，代入初始条件：s^2Yzi(s)+3sYzi(s)+2Yzi(s)=U(s)s^2Yzi(s)+3sYzi(s)+2Yzi(s)=1/sYzi(s)(s^2+3s+2)=1/sYzi(s)=1/[s(s^2+3s+2)]=1/[s(s+1)(s+2)]Yzi(s)=A/s+B/(s+1)+C/(s+2)A=(s+1)(s+2)/(s+1)(s+2)|s=0=1/2B=(s)(s+2)/(s)(s+2)|s=-1=-1C=(s)(s+1)/(s)(s+1)|s=-2=1/2Yzi(s)=1/2/s-1/(s+1)+1/2/(s+2)零状态响应yzs(s):U(s)=L{e^{-t}u(t)}=1/(s+1)Yzs(s)=G(s)U(s)=[1/(s^2+3s+2)]*[1/(s+1)]Yzs(s)=1/[(s+1)(s+1)(s+2)]=1/[(s+1)^2(s+2)]Yzs(s)=D/(s+1)^2+E/(s+1)+F/(s+2)D=(s+1)^2(s+2)/(s+1)^2(s+2)|s=-1=1/2E=(s)(s+2)/(s)(s+2)|s=-1=-1F=(s)(s+1)^2/(s)(s+1)^2|s=-2=1Yzs(s)=1/2/(s+1)^2-1/(s+1)+1/(s+2)二、G(s)=(s+2)/(s^2+3s+2)=(s+2)/[(s+1)(s+2)]将分母因式分解并与分子相约，得到标准二阶形式：G(s)=1/(s+1)比较G(s)=ωn^2/(s^2+2ζωns+ωn^2)与G(s)=1/(s+1)=1/(s^2+2ζωns+ωn^2)得到：2ζωn=1,ωn^2=1ωn=1rad/s2ζ=1ζ=1/2=0.5三、劳斯表：s^315s^23Ks^1(-15-K)/3s^0K第一列出现负数-15-K。为使系统稳定，第一列所有元素必须为正。-15-K>0K<-15所以K的取值范围是K<-15。四、开环传递函数G(s)H(s)=K/(s(s+2))，开环极点p1=0,p2=-2，无开环零点z=0。1.绘制实轴上的根轨迹段：-2至无穷大实轴为根轨迹的一部分。无穷远处有两条渐近线。2.渐近线：渐近线与实轴的交点σa=(和ofpoles-和ofzeros)/(numberofbranches-numberofzeros)=(0+(-2)-0)/(2-0)=-2/2=-1。渐近线与实轴的夹角θa=±180°*(numberofbranches-numberofzeros)/(numberofpoles-numberofzeros)=±180°*(2-0)/(2-0)=±90°。3.起始角：根轨迹离开起点p1=0时的角度。在p1=0处画一条趋向于实轴的射线，与p1p2连线构成的角即为起始角φ1。tan(φ1)=|(s+2)的系数/s的系数|=|2/1|=2。φ1=arctan(2)。4.分离点：设根轨迹在实轴上某点s=-d处分离，则该点必须满足相角条件。实轴上分离点两侧的相角之和应为(2k+1)180°。由于实轴上只有p1=0和p2=-2两个点，且p1=0处相角为0°，无法满足分离条件。因此，检查-2处是否有分离点。需要满足|(s+2)|=|(s)|。在s=-d处，|d|=|-d+2|=>d=1或d=-1。检查d=1：代入相角和180°+|(1+2)|=180°+3=183°，不满足。检查d=-1：代入相角和180°+|(-1+2)|=180°+1=181°，不满足。因此，实轴上无分离点。5.会合点：同样检查-2处是否有会合点。需要满足|(s+2)|=|(s)|。同样得到d=1或d=-1。检查d=1和d=-1时相角和均不满足(2k+1)180°。因此，实轴上无会合点。根轨迹图：实轴上从-2延伸至无穷远，渐近线为过-1点且与实轴成±90°角的两条直线。根轨迹离开原点p1=0的角度为arctan(2)。五、单位负反馈系统开环传递函数G(s)=K/(s(s+2))，闭环传递函数T(s)=G(s)/(1+G(s))=[K/(s(s+2))]/[1+K/(s(s+2))]=K/(s(s+2)+K)=K/(s^2+2s+K)。Nyquist路径：|s|->∞沿虚轴jω变化，即s=jω，ω从0+到∞。G(jω)H(jω)=K/(jω(jω+2))=K/(jω^2(j+2ω))=K/(-ω^2(j+2ω))=-K/(ω^2(2ω+j))=-K(2ω-j)/(ω^2(4ω^2+1))=[-2Kω+jK]/(ω^2(4ω^2+1))。实部Re=-2Kω/(ω^2(4ω^2+1))，虚部Im=K/(ω^2(4ω^2+1))。当ω=0+时，G(j0+)H(j0+)=K/(j*0*(j*0+2))=∞，位于正实轴无穷远处。当ω->∞时，G(jω)H(jω)=-K/(ω^2)->0，位于原点。绘制Nyquist曲线：从正实轴无穷远开始，顺时针绕原点进入左半复平面（因为包围了-1点），最终趋近于原点。稳定性判断：Nyquist曲线顺时针绕(-1,j0)点的圈数N=Z-P=Z-0=Z。闭环系统稳定的充要条件是Z=0，即Nyquist曲线不绕(-1,j0)点。根据绘制，曲线顺时针绕了一圈，所以Z=1。闭环系统不稳定。（注：题目要求判断K=5时是否稳定，但计算表明无论K值如何，只要G(s)H(s)有极点在虚轴上（本例中s=0是极点），Nyquist曲线必然绕(-1,j0)点，系统必然不稳定。若题目意图是考察稳定性裕度，则应在G(s)H(s)无虚轴极点时进行。此处按题目给定的K=5进行分析，结论是系统不稳定。）相角裕度γ：γ=180°+∠G(jωc)H(jωc)。幅值裕度Kγ：Kγ=1/|G(jωc)H(jωc)|，其中ωc是增益交界频率，即|G(jωc)H(jωc)|=1。设|G(jω)H(jω)|=1，即|-K/(ω^2(4ω^2+1))|=1=>K/(ω^2(4ω^2+1))=1=>K=ω^2(4ω^2+1)。代入K=5=>5=ω^2(4ω^2+1)=>4ω^4+ω^2-5=0=>(4ω^2-3)(ω^2+1)=0。解得ω^2=3/4=>ωc=√(3/4)=√3/2。ω^2=-1无实根。此时，∠G(jωc)H(jωc)=∠[-K/(ωc^2(4ωc^2+1))]=∠[-K/(ωc^2*1)]=∠(-K/ωc^2)=∠(-5/(3/4))=∠(-20/3)=arctan(Im/Re)=arctan(20/3)。γ=180°+arctan(20/3)。Kγ=1/|G(jωc)H(jωc)|=1/1=1。六、ωn=10rad/s,ζ=0.3。上升时间tr=π/(ωn√(1-ζ^2))=π/(10√(1-0.3^2))=π/(10√(1-0.09))=π/(10√0.91)≈π/9.539≈0.66s。峰值时间tp=1/(ζωn)=1/(0.3*10)=1/3s≈0.33s。超调量σp=exp(-ζπ/√(1-ζ^2))*100%=exp(-0.3π/√0.91)*100%≈exp(-0.942/0.954)*100%≈exp(-0.987)*100%≈0.372*100%≈37.2%。调节时间ts：对于二阶系统，在5%精度要求下，ts≈4/(ζωn)=4/(0.3*10)=4/3s≈1.33s。七、状态方程x'(t)=Ax(t)+Bu(t),输出方程y(t)=Cx(t)+Du(t)。给定A=[-21],B=[1],C=[10],D=[0]。传递函数G(s)=C(sI-A)^(-1)B+D。sI-A=[s+2-1][1s+3](sI-A)^(-1)=1/[(s+2)(s+3)-(-1)*1]*[-1][s+3]=1/[s^2+5s+6+1]*[-1][s+2]=-1/(s^2+5s+7)*[-1][-1]=[1/(s^2+5s+7)-1/(s^2+5s+7)]B=[1],C=[10]。G(s)=C(sI-A)^(-1)B+D=[10]*[1/(s^2+5s+7)-1/(s^2+5s+7)]*[1]+[0]=[1/(s^2+5s+7)]*[1]+[0]=1/(s^2+5s+7)。八、系统结构为串联连接：G(s)=G1(s)*G2(s)*G3(s)。G1(s)=1/s,G2(s)=s+1,G3(s)=1/(s+2)。G(s)=(1/s)*(s+1)*(1/(s+2))=(s+1)/(s(s+2))。九、系统为负反馈，前向通路传递函数G(s)=G1(s)/(1+G1(s)H(s))。G1(s)=1/s(s+1),H(s)=1。1+G1(s)H(s)=1+(1/s(s+1))*1=1+1/s(s+1)=(s(s+1)