15.3.1等腰三角形(第1课时 等腰三角形的性质)（大单元教学课件）

人教版

八年级上册15.3.1（第1课时)

第十五章

轴对称等腰三角形的性质情境引入QINGJINGYINRU新知探究XINZHITANJIU定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ABC腰腰底边顶角底角底角新知探究XINZHITANJIU思考ABCD找一张等腰三角形纸片，动手折一折，它是轴对称图形吗？其中有哪些相等的角和线段？△ABC是轴对称图形，对称轴与线段BC交于点D相等的边相等的角AB

与

AC

BD与

CDAD与

AD∠B

与∠C∠BAD

与∠CAD∠ADB

与∠ADC等腰三角形的性质1等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).新知探究XINZHITANJIU证明方法一数学语言图形证明过程已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：作底边的中线

AD，则

BD=CD.AB=ACBD=CD

AD=AD∴△BAD≌△CAD(SSS).∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等).在

△BAD和

△CAD中，方法1：作底边上的中线.ABCD新知探究XINZHITANJIU证明方法二数学语言图形证明过程已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.证明：

作顶角的平分线

AD，则∠BAD=∠CAD.AB=AC(已知)，∠BAD=∠CAD(已作)，AD=AD(公共边)，

∴△ABD≌△ACD(SAS).∴∠B=∠C在△ABD和△ACD中，ABCD新知探究XINZHITANJIU证明方法三数学语言图形证明过程已知：如图，在△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.ABCD

证明：作底边

BC

上的高

AD.

∵

AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

AB＝AC(已知)，

AD＝AD(公共边)，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).∴∠B＝∠C.要分类讨论：底角还是顶角？填空：（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是

；（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的顶角的度数是

；（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这个三角形的最小内角

等于

.(4)△ABC中，AB=AC,∠A=36◦,则∠B=

，∠C=

.

(5)△ABC中，AB=AC,∠B=36◦,则∠A=

，∠C=

.典例精析DIANLIJINGXI例120°或50°100°45°72°72°108°36°无度数则设未知数能否画出三角形？找出其中的等腰三角形在ΔABC中，AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,求∠A和∠C的度数.典例精析DIANLIJINGXI例2解∵AB=AC,BD=BC=AD,（已知）∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD.(等边对等角）设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，又∵∠BDC+∠ADB=180°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）解得x=36.∴∠A=36°，∠C=72°.CDBA知识拓展QINGJINGYINRU黄金三角形（含有36°角的等腰三角形）

黄金分割比你中有我，我中有你.看见等边主动寻找等角典例精析DIANLIJINGXI例3解：∵OA=AB，∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°,∴∠BAC=∠ABO+∠O=30°.∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=30°，∴∠CBO=135°，∴∠CBD=∠O+∠ACB=45°.∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠BCD=90°,∴∠1=180°－∠BCD－∠BCO=60°.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.⌒15°1CDBOA⌒典例精析DIANLIJINGXI例4ABCD((12根据等腰三角形的性质定理完成下列填空.在△ABC中，AB=AC.

(1)∵AD⊥BC，

∴∠____=∠____，_____=_____.(2)∵AD是中线，

∴

____⊥____，∠____=∠____.(3)∵AD是角平分线，

∴

____⊥____，____=____.122BDCDADBCBD1BCADCD对于以上三组条件和结论，你有何思考？归纳总结新知探究XINZHITANJIU

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

(简写成“三线合一”).一定是需要底边上的中线和高才行！注意新知探究XINZHITANJIU等腰三角形“三线合一”证明数学语言图形证明过程已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC.求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD.ABCD

证明：在Rt△ABD与Rt△ACD中，

AB＝AC(已知)，

AD＝AD(公共边)，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).

∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.新知探究XINZHITANJIU等腰三角形“三线合一”证明数学语言图形证明过程已知：在△ABC中，AB=AC,BD=CD.求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.ABCD

证明：在△ABD与△ACD中，

AB＝AC

AD＝AD

BD=CD

∴△ABD≌△ACD(SSS).

∴∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC

∠BAD=∠CAD

新知探究XINZHITANJIU等腰三角形“三线合一”证明数学语言图形证明过程已知：在△ABC中，AB=AC,∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD，AD⊥BC.ABCD

证明：在△ABD与△ACD中，

AB＝AC

∠BAD=∠CAD

AD＝AD

∴△ABD≌△ACD(SAS).

∴∠BDA=∠CDA=90°，即AD⊥BC

BD=CD思考全等三角形的判定条件典例精析DIANLIJINGXI例5如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(1)△AEF≌△CEB；证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠B＋∠BCE＝90°，

∴∠EAF＝∠ECB，在△AEF和△CEB中，∠EAF＝∠ECB，AE＝CE，∠AEF＝∠CEB∴△AEF≌△CEB（ASA）第（1）问的全等有什么结论？典例精析DIANLIJINGXI例5如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：(2)AF＝2CD.(2)∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴BC＝2CD，∴AF＝2CD典例精析DIANLIJINGXI例6思考图中有几个等腰三角形？已知点

D、E在△ABC的边

BC上，AB＝AC.(1)如图①，若

AD＝AE，求证：BD＝CE；图①ABDEC证明：(1)如图①，过

A作

AG⊥BC于

G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG.∴BG－DG＝CG－EG.∴BD＝CE.G典例精析DIANLIJINGXI例6(2)如图②，若

BD＝CE，F为

DE的中点，求证：AF⊥BC.图②ABDECF(2)∵BD＝CE，F为

DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF.∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.能够利用等腰三角形和外角构造出二倍角？典例精析DIANLIJINGXI例7

E

垂直平分线的性质是什么？典例精析DIANLIJINGXI例8

典例精析DIANLIJINGXI例8方程思想莫忘记！

典例精析DIANLIJINGXI例9

能否通过“三线合一”得到？典例精析DIANLIJINGXI例9

典例精析DIANLIJINGXI例9

课堂小结QINGJINGYINRU等边对等角等腰三角形的性质注意是指同一个三角形中三线合一等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合注意是指顶角的平分线，底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质当堂练习QINGJINGYINRU1.(1)等腰三角形一个底角为

75°，它的另外两个角为__________；(2)等腰三角形的一个角为

36°，它的另外两个角为_____________；

(3)等腰三角形的一个角为

120°，它的另外两个角为

__________.75°，30°72°，72°或36°，108°30°，30°2.如图，在△ABC

中，AB

=

AC，过点

A

作

AD∥BC，若∠1

=

70°，则∠BAC

的大小为（）

A．30°B．40°C．50°D．70°

BABCD1⌒△OAB为什么三角形？∠C=∠E

吗？为什么？当堂练习QINGJINGYINRU3.某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为 ()

A.48°

B.40°

C.30°

D.24°4.如图(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图(2),其中OA=OB,若剪刀张开的角为30