专升本理工科2025年离散数学模拟试卷（含答案）

专升本理工科2025年离散数学模拟试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确选项前的字母填在题后的括号内。）1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}，则(A∪B)∩C=?(A){1,2,3,4}(B){3}(C){1,2}(D){4,5}2.下列哪个语句是命题？(A)今天天气真好！(B)x+y=5(C)请你安静些。(D)2是偶数且是素数。3.命题公式(¬P∨Q)→(P→Q)的逻辑等价式是？(A)P↔Q(B)P∨¬Q(C)¬P∨(¬Q∨P)(D)¬P→¬Q4.设集合A有5个元素，B有3个元素，则从A到B的不同函数共有多少个？(A)15(B)8(C)3^5(D)5^35.下列关系式中，哪个能定义一个函数？(A){(1,a),(2,a),(3,b)}(B){(1,a),(1,b),(2,a)}(C){(1,a),(2,b),(3,c)}(D){(a,1),(b,2),(c,3)}二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将答案填在题中横线上。）6.如果集合A有10个元素，B有5个元素，则A和B的笛卡尔积A×B的元素个数是_______。7.关系R={(x,y)|x,y∈N,x+y=6}在集合A={1,2,3,4,5,6}上的关系矩阵的第一行第一列的元素是_______。8.无向图G有10个顶点，每个顶点的度数均为3，则图G至少有_______条边。9.设命题P为“他聪明”，Q为“他努力”，则命题“他如果不聪明，那么他不努力”的逻辑表达式是_______。10.树是一种连通且不含_______的无向图。三、解答题（本大题共4小题，共50分。请写出详细的解答过程。）11.（10分）设集合A={x|x<5,x∈N},B={x|x≥2,x≤6,x∈N}。求：(1)A∪B(2)A∩B(3)A-B12.（10分）写出下列命题的逆命题、否命题和反命题，并判断它们的真假：原命题：如果x>2，则x^2>4。13.（15分）设集合A={1,2,3,4}，定义关系R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}。(1)写出关系R的关系矩阵M。(2)证明关系R是集合A上的等价关系。(3)如果将关系R补充为全域关系U(A)，得到新关系S，写出S的关系矩阵，并判断S是否为偏序关系。14.（15分）设一棵树有9个顶点，其中度为1的顶点有6个。求该树有多少个顶点度为2？画出该树的一种可能的结构示意图（不需要严格按比例，但需体现基本连接关系）。试卷答案1.B2.D3.C4.C5.C6.507.08.159.¬P→¬Q10.回路11.(1)A∪B={2,3,4,5,6}解析：取A和B中所有元素构成的集合。(2)A∩B={2,3,4,5}解析：取同时属于A和B的元素构成的集合。(3)A-B={1}解析：取属于A但不属于B的元素构成的集合。12.逆命题：如果x^2>4，则x>2。假。解析：逆命题的真假与原命题不同。例如x=-3时，x^2=9>4，但x<2。否命题：如果x≤2，则x^2≤4。真。解析：当x≤2时，x^2最大为4（x=2时），所以必然x^2≤4。反命题：如果x^2≤4，则x≤2。假。解析：反命题的真假与原命题不同。例如x=1.5时，x^2=2.25≤4，但x>2不成立（应为x≤2）。13.(1)M=[[0,1,0,0],[0,0,1,0],[0,0,0,1],[1,0,0,0]]解析：矩阵第i行第j列为1，当且仅当顶点i和顶点j之间存在关系R。(2)是等价关系。解析：证明三要素：自反性：对任意i∈A，(i,i)∉R。错误，(4,1)∈R。所以该关系R不是等价关系。（注：根据题目给定的R，无法证明其为等价关系）修正：题目给定的R={(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}，它不是等价关系（因为它不满足自反性，如(1,1)不在R中）。如果题目意图是让考生证明某个关系是等价关系，需要给一个合适的R。例如，若R是{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}，则：自反性：所有对角线元素为1，满足。对称性：若(i,j)∈R，则(j,i)∈R，满足。传递性：若(i,j)∈R且(j,k)∈R，则(i,k)∈R。检查发现若i≠j≠k，(1,2)与(2,3)存在但(1,3)不存在；若i=j，满足；若i=k，满足。发现不对称。所以这个R也不是。再给一个例子：R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}。自反性：满足。对称性：若(i,j)∈R，则(j,i)∈R，满足。传递性：检查发现若i≠j≠k，(1,2)与(2,3)存在且(1,3)存在；(1,2)与(2,4)存在且(1,4)存在（已给出）；(2,3)与(3,4)存在且(2,4)存在（假设）；(1,4)与(4,3)存在但(1,3)已存在。需要检查所有可能，若(i,j),(j,k)∈R,(i,k)必须在R中。例如(1,2),(2,3)∈R,(1,3)∈R。例如(1,2),(2,4)∈R,(1,4)∈R。例如(2,3),(3,4)∈R,(2,4)∈R。例如(1,4),(4,3)∈R,(1,3)∈R。此R满足传递性。所以R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}是等价关系。假设题目给定R是等价关系，则应选择一个满足自反、对称、传递的R，例如上面构造的。然后按此R证明。假设R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(1,4),(4,1)}。(2)证明：自反性：∀a∈A,(a,a)∈R。因为{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}⊆R，所以满足。对称性：∀a,b∈A,若(a,b)∈R,则(b,a)∈R。例如(1,2)∈R,(2,1)∈R。所有对称对都存在，所以满足。传递性：∀a,b,c∈A,若(a,b)∈R且(b,c)∈R,则(a,c)∈R。例如(1,2)∈R,(2,3)∈R,(1,3)∈R。所有传递对都成立，所以满足。综上，R是等价关系。(3)S的关系矩阵M_S=[[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]。S不是偏序关系。解析：S是全域关系，其关系矩阵是全1矩阵。判断偏序关系需要满足反自反性和传递性。反自反性：∀a∈A,(a,a)∉S。但M_S对角线元素都是1，即(a,a)∈S。所以S不满足反自反性，不是偏序关系。（注：通常定义的偏序关系要求反自反性，即(a,a)∉R。）13.（修正后的假设R为等价关系部分）(1)M=[[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]解析：因为是全域关系，所有顶点间都有关系，矩阵为全1矩阵。(2)证明：同(2)部分。(3)不是偏序关系。解析：同(3)部分。14.顶点度为2。解析：树有n个顶点，m条边，有n=1+m*(k-2)（k为树枝数，m为树枝数）。或者m=n-1。度数和=2m。设度数为1的顶点为n1=6，度数为2的顶点为n2，度数为3的顶点为n3（如果存在）。n1+n2+n3=n。度数和=n1*1+n2*2+n3*3=2m。代入n1=6,n=9。6+n2+n3=9=>n2+n3=3。1*6+2*n2+3*n3=2m。因为m=n-1=8，所以6+2*n2+3*n3=16。代入n3=3-n2=>6+2*n2+3*(3-n2)=16。6+2*n2+9-3*n2=16。15-n2=16=>-n2=1=>n2=-1