2025-2026学年北师大版高二数学上学期期末常考题之随机事件的条件概率

2025・2026学年上学期高二数学北师大版期末必刷常考题之随机

事件的条件概率

一.选择题（共6小题）

1.一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，设

事件M为“第一次朝.上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是（）

A.第一次朝上的数字是偶数

B.第一次朝上的数字之和是8

C.两次朝上的数字之和是8

D.两次朝上的数字之和是7

2.如图，某电子元件由4,B,。三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，

432

A,B,。三种部件能正常工作的概率分别为口各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件

543

能正常工作的概率为（）

194959149

A.-B.-C.---D.---

2550100150

3.己知随机事件A、8,万表示事件4的对立事件，P（A）=0.4,P（5）=0.6,则下面结论正确的是（）

A.事件A与B一定是对立事件

B.P(AUB)=1

C.P（AB）=0.24

D.若事件A、8相互独立，则P（丽）=0.16

4.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图（1）,某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六

角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图（2）所示的六棱锥P-ABCDEF.该公园管理处准备用风铃

装饰六角亭屋顶P-A8COE/的六个顶点4,B,C,。,E,F,现有四种不同形状的风铃可供选用，则

在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与。处挂同一种形状的风铃的概率为（）

5.已知?(B)-0.4,P—0.8,P(B\A)=0.3,则?(4)-()

6.某疾病在人群中的患病率为5%,该疾病患者被检测出（结果为阳性）的概率为95%,阴性人群被检测

为阳性的概率为10%，则一个人检测结果为阳性的概率为（）

A.10.25%B.14.25%C.48.26%D.57.35%

二,多选题（共3小题）

(多选)7.若P(A)=1,P(多=1,P(讥4)=1,则(

4sD

A.P(AB)=本B.P(8|A)=P(B)

C.P(A+8)=P(万)D.P(A|(A+B))=言

（多选）8.甲同学准备今天去图书馆学习.己知甲同学乘出租车、乘公交车、坐地铁去图书馆的概率分

11317

别为工，一,一;且他乘出租车、乘公交车、坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为一，

521020

719

—，一，则下列说法正确的是（）

1020

17

A.甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为二

20

3

B.甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为石

4

C.甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于£

D.若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为舁

（多选）9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7,乙每次命中概率为0.8,甲和乙是否

命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则（）

A.两人都命中的概率为0.56

B.恰好有一人命中的概率为0.38

C.两人都没有命中的概率为0.6

D.至少有一人命中的概率为0.94

三.填空题（共4小题）

10.某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训，事件A表示选派

的6人中至少有3名男志愿者，事件B表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则P（W）

II.某批产品来自4,8两条生产线，A生产线占60%,次品率为4%；8生产线占40%,次品率为5%,

现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是.

12.某中学组建了A,B,C,D,E五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只

能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可•能的，且结果互不影响.记

事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”，则夕（M）=；

若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团4则恰巧甲参加社团人的概率为.

13.若随机事件A,〃相互独立，且『（4）=｝『（8）=/贝iJP（AU3）=.

四.解答题（共2小题）

14.某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，已知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率

3

都为丁每局比赛结果相互独立.

（1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率；

（2）求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率；

（3）求甲、乙比赛结束时所月局数不大于4的概率.

15.玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设青花瓷烧制开窑后经

检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人

烧制青花瓷的成品率分别为占三.

510

（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率；

（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X,求X的分布列及期望.

2025・2026学年上学期高二数学北师大版(2019)期末必刷常考题之随机

事件的条件概率

参考答案与试题解析

一,选择题(共6小题)

题号123456

答案DDDCDB

二.多选题(共3小题)

题号789

答案ABDBCDABD

一.选择题(共6小题)

1.一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2,3,4,5,6六个数字，投掷这枚骰子两次，设

事件M为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与M相互独立的事件是()

A.第一次朝.上的数字是偶数

B.第一次朝上的数字之和是8

C.两次朝上的数字之和是8

D.两次朝上的数字之和是7

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】整体思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】。

【分析】结合相互独立事件的定义及乘法公式检验各选项即可求解.

【解答】解：抛掷骰子两次，共有6X6=36个基本事件数，

则”={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,

5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),[5,6)}共18个基本事件，

则P(M)=||=表

设事件E为第一次朝上面的数字是偶数，则事件M与事件E是对立事件，故A错误;

设事件尸为第一次朝上面的数字是1，则故8错误；

设事件N为两次朝上面的数字之和是8,则"={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}共5个

基本事件，则P(N)=|,

21

且MN={(3,5),(5,3)},则P(MN)=^二金，

P(MN)WP(M)・P(N),所以C错误；

设事件Q为两次朝上面的数字之和是7,则Q={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2).(6,1)},

A[a1

则P(Q)=^=看，且MQ={(L6),(3,4),(5,2)},则P("Q)=品二仓，

因为尸(MQ)=P(M)・P(。)，所以事件M与事件。相互独立.

故选：D.

【点评】本题主要考查了相互独立事件的判断，属于中档题.

2.如图，某电子元件由4,&。三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，

432

A,小。三种部件能正常工作的概率分别为1各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件

543

能正常工作的概率为()

【考点】相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算.

【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】只要求出元件中的这四个线同时不能正常工作的概率，其对立事件的概率即为所求.

【解答】解：-这条线不能正常丁作的概率为1一，W：

易知4,B,C三个元件不能正常工作的概率分别为：p33

543

所以整个电子元件不能正常工作的概率为：=

*5*O*5JL3U

故该元件能正常工作的概率为1-忐=爵.

故选：

【点评】本题考查相互独立事件同时发生的概率和刈立事件概率的计算，属于…档题.

3.已知随机事件A、8,后表示事件B的对立事件，尸(A)=0.4,P(3)=06则下面结论正确的是()

A.事件A与8一定是对立事件

B.P(AU4)=1

C.P(AB)=0.24

D.若事件A、4相互独立，则P(力后)=0.16

【考点】相a独立事件的概率乘法公式；互斥事件与对立事件.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据题意，举出反例可得A、8、C错误，由相互独立事件的性质分析，可得。正确，综合可

得答案.

【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字,

设八=”取出标有数字1、2的小球”，B="取出标有数字1、2、3的小球”,

易得P(A)=0.4,P(B)=0.6,

依次分析选项:

对于A,AQB,事件A、8可以同时发生，即事件A与8不是对立事件，A错误;

对于4,P(AUB)=P(8)=0.6,4错误;

对于C,PCAB)=P(A)=0.4,C错误;

对于Q,P(/?)=0.6,则0(N)=0.4,

若事件A、B相互独立，则A与万也相互独立，则有尸(AB)=P(A)P(B)=0.16,。正确.

故选：D.

【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题.

4.中国古建筑闻名于世，源远流长.如图(1),某公园的六角亭是中国常见的一种供休闲的古建筑，六

角亭屋顶的结构示意图可近似地看作如图(2)所示的六楂锥P-ABCDEF.该公园管理处准备用风铃

装饰六角亭屋顶〃"C。夕的六个顶点A,〃，C,D,E,F,现有四种不同形状的风铃可供选用，则

在相邻的两个顶点挂不同形状的风铃的条件下，顶点A与。处挂同一种形状的风铃的概率为()

(1)(2)

912217

A.—B.一C.——D.——

61616112

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】分类讨论；分析法；概率与统计；逻辑思维；运算求解.

【答案】C

【分析】记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件N：4与C处挂同一种形状的风铃.分三

类讨论求出事件M的拄法总数，分两类讨论求出对「事件N的拄法总数，结合条件概率的计算公式计

算即可求解.

【解答】解：记事件M：相邻的两个顶点挂不同形状的风铃，事件M4与C处挂同一种形状的风铃.

当顶点4与。挂同一种形状的风铃，且相邻两顶点挂不同形状的风铃时，分以下两类:

(1)A,C,E挂同一种形状的风铃，由前面解析可知，此时不同的挂法有108种;

(2)当A,C挂同一种形状的风铃，E挂其他形状的风铃时，有题种挂法，

此时从“，”有3X2X2种挂法，故不同的挂法共有&X3X2X2=144种.

综上，总计有108+144=252种挂法，即〃(MN)=252,

对于事件M,包含的情况可分以下三类：

(1)当A,C,E挂同一种形状的风铃时，有4种挂法，

此时B,D,尸各有3种挂法,故不同的挂法共有4X3X3X3=108种;

(2)当A,C,E挂两种不同形状的风铃时，有戏苗种挂法，

此时4,。，尸有3X2X2种挂法，故不同的挂法共有戏圈X3X2x2=432种;

(3)当A,C,E挂三种不同形状的风铃时，有属种挂法，

此时D,尸各有2种挂法，故不同的挂法共有否X2X2x2=192种.

综上，总计有108+432+192=732种挂法,即〃(M)=732.

n(MN)_252_21

故P(N|M)=

n(M)-732-61,

故选：C.

【点评】本题主要考查古典概型以及分类讨论思想的运用，属于中档题.

5.已知P(8)=0.4,P(8|A)=0.8,P(B\A)=0.3,则户(A)=()

3311

A.-B.—C.-D.—

4835

【考点】条件概率.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式、条件概率公式、独立事件概率公式能求出结果.

【解答】解：P(8)=PCAB+AB)=P(A)P(8|A)+P：彳)P(B\A),

.\0.4=0.8P(A)+0311-P(A)J,

解得P(A)=1.

故选：Q.

【点评】本题考查互斥事件的并事件的概率加法公式、条件概率公式、独立事件概率公式等基础知识,

考查运算求解能力，是基础题.

6.某疾病在人群中的患病率为5%,该疾病患者被检测出(结果为阳性)的概率为95%,阴性人群被检测

为阳性的概率为10%,则一个人检测结果为阳性的概率为()

A.10.25%B.14.25%C.48.26%D.57.35%

【考点】全概率公式.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】由全概率公式即可求解.

【解答】解：用事件A表示一个人患此种疾病，用事件8表示检测结果为阳性，

根据题意可知，人群中的患病率为5%,被检测出(结果为阳性)的概率为95%,

阴性人群被检测为阳性的概率为10%,

则。(A)=0.05,P(B|A)=0.95,P(B\A)=0.10,

所以P(B)=P(4)P(B|4)+P(彳)P(B|彳)

=0.05X0.95+0.95X0.10=0.1425=14.25%.

故选：B.

【点评】本题考查了全概率公式，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.若尸(A)=1,P(B)=1,P(万H)=1,则()

1

A.P(AB)二1B.P(B\A)=P(8)

_g

C.P(4+8)=P(8)D.P(A\(A+B))=云

【考点】求解条件概率.

【专题】计算题：转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】根据条件概率公式求出P（瓦O,再由全概率公式求出P（48）,即可判断A,B,由P（A+8）

=P（A）+P（8）-P（A8）判断C,再由条件概率公式判断。.

【解答】解：对于A：因为P(A)=]P(B\A)=I，即P(面1=盥?=]

—1-Q1

所以P(84)=：又P(4)=P(8A)+P(8A)=充,所以PQ4B)=?故A正确;

41

P（B）,故3正确;

211q

对于C：P(A+B)=P(A)”(B)-PCAB)=7+4-7=^

而P@)=1-P(B)=/故C错误;

3

-

4g

对于。：（川（））墨）-

P4+8=pB5=TQ»故。正确.

-

6

故选：ABD.

【点评】本题主要考查条件概率的求解，考查运算求解能力，属于中档题.

（多选）8.甲同学准备今天去图书馆学习.已知甲同学乘出租车、乘公交车、坐地铁去图书馆的概率分

11317

别为寸；且他乘出租车、乘公交车、坐地铁到达图书馆后，能找到空座位的概率分别为W

D/人U/U

719

—,—,则下列说法正确的是（）

1020

A.甲同学乘出租车去图书馆且能找到空座位的概率为三

20

B.甲同学乘公交车到达图书馆后，没能找到空座位的概率为最

10

4

c.甲同学在图书馆能找到空座位的概率大于w

57

D.若甲同学在图书馆找到了空座位，则他乘地铁出行的概率为之

161

【考点】全概率公式.

【专题】对应思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】BCD

【分析】由条件概率及全概率计算公式逐项判断即可.

【解答】解：设“甲同学乘出租车出行”为事件4,“甲同学乘公交车出行”为事件A2，

“甲同学乘地铁出行”为事件A3,“甲同学在图书馆能找到空座位”为事件反

11717

对于八，。（/向=。（力1»（团八1）="卷=茄，故八错误；

对于8,因为P(/M2)=1—:(8|42)=1—卷=，，故B正确;

对于C,PCB)=P(4)P\B\Ai)+P(A2)P(B\A2)+P(由)P(用人3)

117,17,319_161故C正确;

5X20+2X10+10X20=200

qio

对于。，由题意P(4|B)=需金=里出踪返=常符=备，故。正确.

I，I，200

故选：BCD.

【点评】本题考查条件概率公式与全概率公式，属于基础题.

(多选)9.甲、乙两名同学进行投篮比赛，甲每次命中概率为0.7,乙每次命中概率为0.8,甲和乙是否

命中互不影响，甲、乙各投篮一次，则()

A.两人都命中的概率为0.56

B.恰好有一人命中的概率为0.38

C.两人都没有命中的概率为0.6

D.至少有一人命中的概率为0.94

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】计算各事件的概率判断各选项是否正确.

【解答】解：根据题意，设事件A=”甲投篮一次且命中“，事件B="乙投篮一次且命中”.

则事件A,8独立，

依次分析选项：

对于A,若两人都命中，P(AB)=P(A)P(B)=0.7X0.8=0.56,故A正确；

对于B,若恰好有一人命中，则P(ZB)+P(AB)=P(A)P(R)+P(A)P(B)=0.3X0.8+0.7X0.2=0.38,故

B正确；

对于C，若两人都没有命中，则P(而)=P(Z)P(豆)=0.3X0,2=0.06,故C错误；

对于。，若至少有〜人命中，则1-P(而)=1-0.06=0.94,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及互斥事件的性质，属于基础题.

三,填空题(共4小题)

10.某体育局计划从某高校的4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人参加志愿者培训I,事件A表示选派

8

的6人中至少有3名男志愿者，事件B表示选派的6人中恰好有3名女志愿者，则PCB\A)=—.

【考点】求解条件概率.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

O

【答案】

11

【分析】分别求出至少有3名男志愿者的情况及恰有3名女志愿者的情况，再利用古典概型求解..

【解答】解：从4名男志愿者和4名女志愿者中选派6人，

至少有3名男志愿者有戏4+屐C；=22(种)情况，

其中有3名女志愿者有盘盘=16(种)情况，

根据古典概型的概率计算公式可知，P(/?M)=i|=A

故答案为：*

【点评】本题考查古典概型与条件概率的计算，属于中档题.

II.某批产品来自A,B两条生产线，4生产线占60%,次品率为4%；B生产线占40%,次品率为5%,

现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是.

【考点】求解条件概率.

【专•题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】奈

【分析】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式列式求解.

【解答】解：设人="抽到的产品来自4生产线"，B="抽到的产品来自8生产线"，C="抽到的一

件产品是次品”，

则P(A)=0.6,P(B)=0.4,P(Q4)=0.04,P(C|8)=0.05,

由全概率公式得0(C)=P(A)P(04)+P(4)P(Cl/3)=0.6X0.04+0.4X0.05=0X)44,

所以它来自A生产线的概率是P(4|C)=窄箫="等⑷=°OO444=4-

故答案为：—.

【点评】本题考查条件概率公式与全概率公式，属于基础题.

12.某中学组建了A,B,C,D,七五个不同的社团，旨在培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须且只

能参加一个社团.假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的，且结果互不影响.记

事件M为“甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”，则尸(M)=三；若甲、乙、丙三名

TZ5

2

学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率为.

【考点】求解条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

122

【答案】二：

【分析】首先求出甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A的事件数，及恰巧甲参加社团A的事件

数，再由古典概型的概率公式计算可得.

【解答】解：甲、乙、丙三名学生选择社团的可能结果有5X5X5=125个，

若甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A,则有废=12种选择，

19

所以户(M)=携，

JL乙。

设事件N表示“甲参加社团A”，

甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A,则有=8种选择，

所以。(MN)=接，

Q

所以尸(MM)=瑞行噎=专,

2

即甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团4的概率为3

122

故答案为：;--

【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了条件概率公式，属于中档题.

13.若随机事件A,B相互独立，且P(A)=1>P(18)=一则尸(AUB)=一2.

乙J3

【考点】相互独立事件和相q独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】利用相互独立事件概率乘法公式求解.

【解答】解：随机事件A,8相互独立，且P(4)=1P⑻

则P(ALJB)=P(A)+P(B)-P(AB)

1,111

=2+3-2X3

—2—

-3,

故答案为：I

【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

四,解答题（共2小题）

14.某公司举办乒乓球比赛，比赛采取5局3胜制，己知在甲、乙两人的比赛中，每局比赛甲获胜的概率

都为|，每局比赛结果相互独立.

（1）求前2局中，甲、乙各获胜1局的概率；

（2）求第1局乙获胜且第4局甲获胜的概率；

（3）求甲、乙比赛结束时所月局数不大于4的概率.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】(1)

25

126

(2)---；

625

409

(3)---.

625

【分析】（1）列举出甲、乙各获胜1局的情况，根据独立事件概率计算公式求解;

（2）列举出第1局乙获胜且第4局甲获胜的情况，根据独立事件概率公式求解;

（3）Pi为甲、乙比赛结束时，只进行/（/=3,4）局比赛的概率，根据独立事件概率公式分别计算得

到乃，P4,相加即得结果.

【解答】解：⑴由题意每局比赛乙获胜的概率为I屋吴，

设事件4="第i局比赛甲获拄"，事件所="第i局比赛乙获胜”，

事件C="前2局中，甲、乙各获胜1局”，

・••前2局中，甲、乙各获胜I局的概率为：

299Q19

P（C）=P（A1B2）+P（8也）=卷乂2+卷乂卷=装.

（2）记事件。="第I局乙获胜且第4局甲获胜”，

•••第I局乙获胜且第4局甲获胜的概率为：

P(D)=P(B18M344)+P(4|428344)+p(8|AM3A4)

2233,2323,2333

=SXSXSX5+SXSXSXS+SXSXSXS

_126

=625,

（3）记Pi为甲、乙比赛结束时，只进行i（i=3,4）局比赛的概率,

3R2

则P3=P（A1A2A3）+PSB汨3）（-）3+（-）

5534

P4=P+P+P（4A283/U）+P（4B2B384）+P（小4明小）+P（B18M384）

2333,3233,3323,32222322232

=5X5X5X5+5X5X5X5+5X5X5X5+5X5X5X5+5X5X5X+5X5X5X5

_234

=625,

・••甲、乙比赛结束时所用局数不大于4的概率为:

,,打7.234409

尸3+尸4=25+625=625-

【点评】本题考查独立事件概率乘积公式、互.斥事件和概率公式等基础知识,考查运算求解能力，是中

档题.

15.玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设青花瓷烧制开窑后经

检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人

烧制青花瓷的成品率分别为:高

（1）求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率;

（2）设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为X,求X的分布列及期望.

【考点】相互独立事件的概率乘法公式：离散型随机变量的均值（数学期望）.

【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】⑴鲁;

（2）分布列为:

X0123

P729243271

1000100010001000

%）=东3

【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式和对立事件概率求解;

（2）由题意得出X〜8（3,命，利用二项分布概率公式求出相应概率，进而得到分布列在期望.

【解答】解：（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为匕则YW2的对立事件为丫=3,

P（y=3）=（1）3=会,

・・・P（yw2）=1-P（y=3）=1-会1二襟124;

（2）•・•乙烧制的这3个青花笛中成品的个数为X,乙烧制青花瓷的成品率看,

•••X〜8（3,点），

•••X的可能取值为0,1,2,3,

1

.•.p（x=o）=cr（1u）o.（^=ixix^3=1^,

P（X=1）=G.（加©）2=3乂冰盖=温,

P（X=2）=*（；O）2.（Q=3X]：2XK=I/，

L

P（X=3）=Cr（^）3.（^））0=iXiJ3xl=1000.

・・・x的分布列为：

X0123

P72924327]

1000100010001000

1Q

X的期望E（X）=Tip=3x击=击.

【点评】本题主要考查相互独事件的概率乘法公式，离散型随机变量的分布列及数学期望，考查运算

求解能力，属于中档题.

考点卡片

1.互斥事件与对立事件

【知识点的认识】

1.互斥事件

(I)定义：一次试验中，事件A和事件4不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件.

如果Ai，A2，…，4中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件Ai，A2，…4彼此互斥.

(2)互斥事件的概率公式:

在一个随机试验中，如果随机事件A和8是互斥事件，则有：

P(A+8)=P(A)+P(B)

注：上式使用前提是事件A与8互斥.

推广：一般地，如果事件Ai,A2,…，A〃彼此互斥，那么事件发生(即4,A2,…，4中有一个发生)

的概率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：

P(4+4+…+41=P(Ai)+P(42)+,,,+P(4”)

2.对立事件

(I)定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做瓦

全集I

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件;

②在一次试验中，事件A与彳只发生其中之一，并且必然发生其中之一.

(2)对立事件的概率公式：

P(不)=1-P(A)

3.互斥事件与对立事件的区别和联系

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而刈立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必

须有一个发生.因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对

立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件.

【命题方向】

1.考查对知识点概念的掌握

例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

4.“至少有一个红球”与“都是黑球”

8.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”

£>.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”

分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可

解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，・・・八不正确

对于事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，・・・8不

正确

对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：”至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球,

:.C不正确

对于。：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，.••这两个事件是互斥事件，

又有从装有2个红球和2个黑球的I」袋内任取2个球，

得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是

不.是对立事件，

/.D正确

故选。

点评：本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事

件的联系与区别.同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件•.属简单题.

例2：下列说法正确的是（）

4.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C.事件A,8中至少有一个发生的概率一定比A,8中恰有一个发生的概率大

D.事件A,8同时发生的概率一定比A,8中恰有一个发生的概率小.

分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对

立事件，这两者之间的关系是一个包含关系.

解答：根据对立事件和互斥事件的概念，

得到对立事件一定是互斥事件，

两个事件是互斥事件不一定是对立事件，

故选从

点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解

两个事件之间的关系就可以选出正确答案.

2.互斥事件概率公式的应用

11

例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是乙获胜的概率是1则乙不输的概率是

23---

分析：记”两人下成和棋”为事件4“乙获胜”为事件8,贝IJ4,B互斥，且PG4)=]P(F)=I则乙

不输即为事件A+B,由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)=P(A)+尸(B)可求.

解答：甲乙两人下棋比赛，记”两人下成和棋”为事件A,“乙获胜”为事件B,则A,8互斥，

则P(4)=aP(B)=g,

则乙不输即为事件A+8，

由互斥事件的概率公式可得，P(A+8)=P(A)+P(B)+|=|

ZDO

故答案为：I

6

点评：本题主要考杳互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考

查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用.

3.对立事件概率公式的应用

例：若事件A与8是互为对立事件，旦0(A)=0.4,则0(B)=()

A.0及0.4C.0.6D.1

分析：根据对立事件的概率公式p(1)=1-PM),解得即可.

解答：因为对立事件的概率公式p(1)=1-P(A)=0.6,

故选C.

点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题.

2.对立事件的概率关系及计算

【知识点的认识】

-对立事件的概率关系是P(7)=1-P(4).

【解题方法点拨】

-利用对立事件的公式计算对立事件的概率.

【命题方向】

-主要考察对立事件概率计算的问题，适用于概率计算的补集部分.

3.相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式

【知识点的认识】

1.相互独立事件：事件A(或8)是否发生，对事件8(或A)发生的概率没有影响，这样两个事件叫做

相互独立事件.

2.相互独立事件同时发生的概率公式：

将事件A和事件B同时发生的事件即为4・8,若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件人・8发生

的概率为：

P(A・B)=P(A)・P(8)

推一：一般地，如果事件4,…，A“相互独立，那么这〃个事件同时发生的概率等于每个事件发生

的概率之积,即:

P(A|・p…4)=P(Ai)・P(A2)…P(An)

3.区分

互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：

(1)互斥事件：两个事件不可能同时发生；

(2)相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

4.相互独立事件的概率乘法公式

【知识点的认识】

-对于相互独立事件A和8,P(AOF)=P(4)xP(B).

【解题方法点拨】

-应用乘法公式计算独立事件的联合概率，确保事件的独立性.

【命题方向】

-重点考察独立事件的概率计算及独立性证明.

5.条件概率

【知识点的认识】

1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在己知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条

件概率，用符号P(W)来表示.

(2)条件概率公式：称为事件A与8的交(或积).

(3)条件概率的求法：

①利用条件概率公式，分别求出P(A)和。(AA).得P(W)=乌黑,其中P(A)>0：

②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数〃：4)，再在事件4发生的条件下求出事件B

包含的基本事件数，即〃(APB),得P(8H)="黑

【解题方法点拨】

典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数。和b,在a+b为偶数的条件下，|a-b\>2发生的

2

概率是二•

解；由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数。和从基本事件的总个数是6X6=36,即

(a,b)的情况有36种，

事件％+b为偶数”包含基本事件：

(I,I),(1,3),(I,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,I),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6)

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)共18个，

“在a+b为偶数的条件下,I”・加>2”包含基本事件:

(I,5),(2,6),(5,1),(6,2)共4个，

故在a+h为偶数的条件下，|a-h\>2发生的概率是需=§

故答案为：I

典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，