1.1.1+空间向量及其线性运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

章节导读空间向量的概念及其运算空间向量基本定理与空间向量的坐标表示用空间向量解决立体几何问题空间向量的定义及其表示空间向量的线性运算和数量积运算空间向量运算的定义及其几何意义空间向量运算的运算律空间向量基本定理空间直角坐标系空间向量运算的坐标表示用空间向量表示点、直线、平面等元素用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论第一章空间向量与立体几何1.1.1空间向量及其线性运算如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图(2),那他实际发生的位移是什么？又如何表示呢?

国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游缆结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图(1),游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？OABOABD(2)(1)新知探究平面向量空间向量定义平移空间中具有大小和方向的量知识点1：空间向量的定义及有关概念思考1：类比平面向量的知识，试给出空间向量的有概念.自由向量，任意两个空间向量都可以平移到一个平面平面内既有大小又有方向的量自由向量，平移后不发生改变平面向量的表示法空间向量的表示法(1)有向线段A(起点)B(终点)(2)字母…

(1)有向线段(2)字母

…

思考2：在学习平面向量时，还学习了一些相关的概念，你还记得有哪些吗？平面向量零向量单位向量相等向量相反向量共线向量

模为1的向量.

方向相同或相反的向量叫做共线向量（平行向量），记作：零向量与任意向量共线。空间向量若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作：规定：零向量与任意向量共线。1.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，练一练(1)试写出与向量相等的向量；(2)试写出向量的相反向量；(3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量的模.解：(1)与向量相等的向量有(2)向量的相反向量为(3)所以知识点2：空间向量的线性运算思考：给出两个空间向量a、b,如何作出a＋b,b－a.先把向量a，b平移到同一个平面α内,以任意点O为起点作=a,=b,b－a.a＋b,则所有空间向量问题转变成平面向量解决.由此我们把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法、减法以及数乘运算:(1)(2)(3)OABCOAPQNM加法：减法：数乘：思考3：

空间向量与平面向量是否也有相同的运算律？与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律(其中λ，μ∈R):交换律：结合律：分配律：例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.例2：如图，已知四面体OABC,M,N分别是OA,BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN,设

=a,

=b,

=c,试用a,b,c表示向量解：a＋b＋c对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？向量共线的充要条件：对任意两个空间向量，,的充要条件是存在实数，使.知识点3：共线向量、共面向量定义新知直线的方向向量Ol

我们把与向量

平行的非零向量称为直线l的

.这样,直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示,也就是说,直线可以由其上一点和它的方向向量确定.

如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得.方向向量

P注意：(1)直线的方向向量一定是非零向量(2)一条直线的所有方向向量都互相平行定义新知共面向量如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量

平行于平面α.

αlOA如图，如果表示向量

的有向线段所在的直线OA与直线

l平行或重合，那么称向量

平行于直线l.平行于同一平面的向量，叫做共面向量(coplanarvectors).空间任意两个向量是共面的新知探究思考4：空间任意两个向量是共面的，那么空间任意三个向量呢？既可能共面，也可能不共面dbac追问：

那么什么情况下三个向量共面呢？

追问：

那么什么情况下三个向量共面呢？

C共面向量定理

（该定理实际上就是平面向量基本定理）ABPC例3:

如图示,已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使

求证：E,F,G,H四点共面.AEHGFDCBO四点共面→有公共起点的三个向量共面尝试用空间向量解决立体几何问题证明：由于四边形ABCD是平行四边形，∴由向量共面的充要条件知，E,F,G,H四点共面.AEHGFDCBO方法技巧

选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是解决立体几何问题的常用方法。

证明空间向量共面或四点共面的方法方法归纳方法一（向量表示）:设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合,即若p=xa＋yb(a，b不共线),则向量p，a，b共面.

方法二：对