1.2++空间向量基本定理+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

空间向量基本定理1.2第一章空间向量与立体几何了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养．3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理1.了解空间向量基本定理及其意义，并会用基底表示空间向量，掌握空间向量的正交分解．2．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．任务一空间向量基本定理任务二证明平行、共面问题任务三

垂直、夹角问题任务一空间向量基本定理(阅读教材P11－12，完成探究问题)问题．类比平面向量基本定理，p是空间任意一个向量，对于空间三个不共面的向量a，b，c，向量p能否可以用向量a，b，c来表示？OPQ问题导思

提示：

同理可知，向量a，b，c可以表示向量p.知识点1：空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．知识点2：基底如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．知识点3：正交分解(1)单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk．像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．微思考(1)基底中能不能有零向量？(2)选取不同的基底对同一向量的表达式有无影响？(3)基底和基向量是同一概念吗？有什么区别？提示：(1)不能，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面．(2)有影响，不同基底下，同一向量的表达式不同．(3)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．基底的判断1例1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{e1,e2,e3}能否作为空间的一个基底．解：假设

共面．则存在实数λ，μ使得

，所以e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，因为e1，e2，e3不共面，所以

此方程组无解，所以

不共面，所以

可以作为空间的一个基底．规律方法基底的判断思路1．判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．1对点练(2024·北京通州高二期中)如图，在平行六面体ABCD­-A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一个基底的是(

)C2对点练若是空间的一个基底，且向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3不能构成空间的一个基底，则t＝__________．-1解析：已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．用基底表示空间向量2例2已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．用基底表示空间向量2例2变式规律方法用基底表示任一向量的方法1．线性运算法：用基底表示空间向量，一般要用到向量加法、减法、数乘的运算法则，尤其是向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法的三角形法则及向量的一些代数运算，将所求向量逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．2．待定系数法：利用待定系数法解决有关问题时，先利用未知系数确定向量的线性表示，再根据空间向量基本定理建立对应系数之间的关系，将问题转化为方程(组)问题求解．注意：若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．1对点练任务二证明平行、共面问题已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．平行问题3例3规律方法证明平行、共面问题的思路1．利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行．2．利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行．3对点练任务三夹角、垂直问题已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．夹角、垂直问题4例4用基向量法解决夹角、垂直、长度问题的步骤第一步：设出基向量；第二步：用基向量表示出直线的方向向量；第三步：用cosθ＝求夹角，用＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)证垂直，用|a|＝＝求长度．规律方法4对点练已知空间四边形OABC

的各边及对角线的长都相等，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．(1)求证：OG⊥BC；(2)求异面直线ON与BM所成角的余弦值．空间向量基本定理基

底基向量单位正交基底正交分解4.最后还原为几何中的线段长度，两直线平行、垂直及夹角.基向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的步骤1.设出基向量．2.用基向量表示出直线的方向向量

课堂小结课时评价12(多选)下列四个结论