1.4.2++用空间向量研究距离、夹角问题（第1课时）课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离与夹角问题空间向量与立体几何一、空间距离的求法二、空间角度的求法三、综合应用一二三教学目标理解点到直线、点到平面的距离公式及其推导（重点）了解利用空间向量求点到直线、点到平面、两平行直线、直线到平面、两平行平面的距离的思想（难点）能利用距离公式解决相关的距离问题，归纳总结解决立体几何问题的“三部曲”（重点）教学目标问题1

空间中距离包括哪些具体的内容？新知讲解接下来我们一起探究这些距离公式及推导我们该如何用空间向量解决这些距离？

APQ

探究一

利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。

APQ

新知讲解问题2类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？请大家思考一下，它的思路是怎样的？

APQ

在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．两条平行直线之间的距离可转化为点到直线距离求解.

概念生成用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几步完成：(1)求出该平面的一个法向量；(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．合作探究(1)如何求直线到平面的距离？(2)如何求平面到平面的距离？(3)如何求两条异面直线的距离？点到平面的距离直线到平面的距离：直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.αAlQdP•两个平行平面之间的距离：两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.αAQdP•β新知讲解异面直线a，b间的距离zACBDyxA1B1C1D1EF分析：根据条件建立空间直角坐标系，用坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，再利用有关公式，通过坐标运算得出相应的距离．建系设点取向量套公式

(1)求点B到直线AC1的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF求法向量套公式新知讲解（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：解题小结1.点线距APQ2.点到平面的距离αAQPd解题小结用向量法求平面α一个点P到平面α的距离的步骤：(3)利用点到平面的距离公式即可求出点到平面的距离d．(1)求出该平面α的一个法向量；αAQPd(2)找出从点P出发的平面的任一条斜线段对应的向量；1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面B1C的距离等于_____；直线DC到平面AB1的距离等于_______；平面DA1到平面CB1的距离等于_______.xyzA1D1B1DBCC1A1112.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;

(2)求直线FC1到直线AE的距离;

(3)求点A1到平面AB1E的距离;

(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.BAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(1)求点A1到直线B1E的距离;BAA1B1C1D1CDEFM2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(2)求直线FC1到直线AE的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.(3)求点A1到平面AB1E的距离;xyzBAA1B1C1D1CDEF2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点.

(4)求直线FC