辽宁省沈阳市第一二六中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷（含解析）

辽宁省沈阳市第一二六中学2025-2026学年上学期九年级数学一、单选题1.如图所示的几何体，其俯视图是()2.已知关于x的一元二次方程x²-4x-a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围()A.a≥-4C.a≥-4且a≠0D.a>-4且a≠03.下列判断错误的是()A.有两组邻边相等的四边形是菱形B.有一角为直角的平行四边形是矩形C.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D.矩形的对角线互相平分且相等4.如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是()A.①②③④B.④③②①C.④③①②D.②A.36.在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点CA.EB.FC.GD.H7.现有大小相同的正方形纸片20张，小凯用其中2张拼成如图所示的矩形，小明也想拼一个与它形状相同(相似)但比它大的矩形，则它至少要用m张正方形纸片(不得把每个正方形纸片剪开).则m的值为()A.6B.8C.128.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至F,使得EF=BE,以AF为边作正方形AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割点.若记正方形AFGH的面积为S₁,矩形BCIH的面积为S₂,则S₁与S₂的比值是()9.在同一平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y=ax+b的图象可能是()试卷第2页，共10页据作图痕迹判断，正确的是()B试卷第4页，共10页二、填空题11.如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1,若点A,B,C都在格点上，则cosB则cc13.如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点),它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米14.已知点A(-1,y₁)、B(a,y₂)在反比例函数的图象上，若y₂>y₁,则a的取值范围CC三、解答题16.解下列方程：(2)cos²30°+sin²45°-ta17.如图，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯泡发光.(1)求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率.(2)求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率.试卷第6页，共10页19.如图，已知直线l:y=ax+b与反比例函数的图象交于A(-4,1)、B(m,-4),且直线l与Y轴交于点C.(1)求直线l的解析式；(4)若直线x=n(n<0)与y轴平行，且与双曲线交于点D,与直线l交于点H,连接OD、OH,当ODH的面积是△OAB面积的时，直接写出n的值B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒.动点E到达点C时运动终止.连接DE、CD、AE.设运动的时间为t秒，解答下列问题：(1)BE=cm,BD=cm;(用含t的代数式表示)(2)求当动点运动时间t为多少秒时，VBDE与VABC相似；21.万凤塔位于陕西省延安市洛川县，塔身雕饰富丽，融合唐宋至明代建筑特点，是陕西北宋塔的代表.小辉和几位同学准备测量万凤塔AB的高度，小辉在点F处直立一根2米的标杆EF,小明在点C处发现A,E,C三点共线，经测量FC的长度为6米，∠AFB=21.8°,已知AB⊥BC,EFIBC,并且C,F,B三点在一条水平线上，请你帮助他们求出万凤塔AB的高度.(结果保留整数，参考数据：sin21.8°≈0.37,cos21.8°≈0.93,tan21.8°≈0.4)试卷第8页，共10页22.折纸是一种常见的游戏，九年级兴趣小组以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.【操作判断】备用图(1)如图1,在矩形纸片ABCD中，BC>AB,首先沿过点B的直线翻折，使点A落在BC的形状是哪种特殊的四边形?答：_·【深入探究】(2)继续沿过点E的直线翻折，使点C落在EF边上的点G处，折痕为EH,连接BG,CF,②猜想线段BM,FM和EM的数量关系，直接写出三者关系为_·【拓展应用】(3)在(2)的条件下：①延长BG交矩形ABCD的边于点N,若AB=4,DN=1,直接写出的值23.请问读下面材料：我们称函数为函数Y的m分函数(其中m为常数).例：关于x的一次函数y=x+4的3分函数为根据材料完成下列题目：(1)在平面直角坐标系中直接画出y=2x-3的4分函数图象，并结合图象回答下面问题：①已知当x<a时，y′随x的增大而增大，则a的取值范围为_;②当m≤x≤n时，-7≤y'≤5,则m+n的值为_;③若y′与一次函数y=kx-k-5的图象有且只有一个交点，则k的取值范围为_;(2)若点P(2,m)在关于x的正比例函数y=3x的2分函数图形N上，A(6,0),B(0,-3),连①请求出m的值；②若点Q为图形N上一点，当SABQ=18时，请直接写出点Q坐标;(3)若点M(-2,-1),N(4,1),连接MN,当关于x的一次函数y=-x+2的P分函数，与线段MN有两个交点，请直接写出P的取值范围试卷第10页，共10页123456789DBACADBDDB根据俯视图是从上面观察几何体，画出平面图形即可.【详解】解：俯视图是一个长方形，且中间有两条竖实线.的关键；由题意易得△=b²-4ac>0,然后进行求解即可.解得：a>-4;故选B.【分析】根据菱形，矩形，正方形的判定逐一进行分析即可.解题的关键.【分析】太阳光线下的影子是平行投影，就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-故选C.答案第1页，共26页【点睛】本题主要考查平行投影的规律，掌握“就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东”,是解题的关键.【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是掌握比例的基本性质.由已知比例,可设参数表示a和b,再代入所求表达式计算.【详解】解：∵∴【分析】连接AO并延长，根据位似变换的性质判断即可.【详解】解：如图，连接AO并延长，∵以点O为位似中心，点D是点C的对应点，∴位似比∴则点A的对应点是H,【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键.【详解】∵正方形纸片大小相同，∴拼一个与它形状相同但比它大的长方形，至少长和宽各是原来的2倍，∴需要正方形的纸片是2×4=8(张).答案第2页，共26页答案第3页，共26页【分析】根据H是AB的黄金分割点求出AH²=BH·AB,求出S₁=AH²,S₂=BH·BC=BH·AB,再得出答案即可.【详解】解：∵H是AB的黄金分割点，【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键.【分析】本题考查了反比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定反比例函数图象经过的象限是解题的关键.根据一次函数图象经过的象限即可得出a、b的正负，由此即可得出反比例函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论.【详解】解：A、∵一次函数图象过第一、二、四象限，∴反比例函数的图象应过二、四象限，故选项不符合题意；B、∵一次函数图象过第一、三、四象限，∴反比例函数的图象应过在二、四象限，故选项不符合题意；C、∵一次函数图象过第一、二、三象限，∴反比例函数的图象应过在一、三象限，故选项不符合题意；D、∵一次函数图象过第二、三、四象限，【分析】由题意及相似三角形的判定定理可知，当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，△BAD∽△CBD,然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案.【详解】解：当BD是AC的垂线时，即BD⊥AC时，△BAD∽△CBD,理由如下：A选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，故选项A不符合题意；C选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，故选项C不符合题意；D选项中，BD不与AC垂直，故选项D不符合题意；故选：B.【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质1,相似三角形的判定，作垂线(尺规作图),作角平分线(尺规作图)等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键.【分析】本题主要考查了求角的余弦值，利用网格过点A作AM⊥BM交BC的延长线于点M,再利用勾股定理求出BM,AB,再根据余弦的定义求解即可.【详解】解：过点A作AM⊥BM交BC的延长线于点M,答案第4页，共26页答案第5页，共26页∵每个小正方形的边长均为1,在RtABM中，故答案为：【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，解30°直角三角形等知识，分①如图，取AC中点E,得∴DE是VABC中位线，然后通过相似三角形的判定与性质即可求解；②如图，当DE₁与BC不平行时，在AC上取一点E,使得DE₁=DE,先求出∠A=30°,由上得DE是VABC中位线，所以∠DE₁E=60°,DE=DE₁=EE,从而求得然后代入即可求解.【详解】解：①如图，取AC中点E,CC答案第6页，共26页则②如图，当DE₁与BC不平行时，在AC上取一点E₁,使得DE₁=DE,则CC由上得DE是VABC中位线，然后将相关数据代入即可解答.可得DAEBAC,即CC故：灯泡距离桌面3米.故答案为：3.【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键.由点A和点B在反比例函数图象上，可求出y₁和y₂的值，再根据y₂>y₁列出不等式求解，需考虑a的取值范围及分母不为零的情况.【详解】解：∵点A(-1,y₁)在反比例函数的图象上，∵点B(a,y₂)在反比例函数的图象上，又∵y₂>y₁,当a>0时，不等式恒成立；解得a<-1.答案第7页，共26页故答案为a<-1或a>0.【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点D作DM//BC,交CA延长线于点M,过点D作DN⊥BC,交BC于点N,证明△MDF≌△CEF,得到CF=MF,DF=EF,设AF=1,AD=AM=MD=CE=x,则MF=CF=1+x,AB=BC=AC=2+x,BD=2+2x,根据等腰三角形的性质可求得BD=6,BN=3,EN=1,根据勾股定理可得DN=3√3,DE=2√7,再求得DF,即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键.【详解】解：如图，过点D作DM//BC,交CA延长线于点M,过点D作DN⊥BC,交BC于点N,VABC为等边三角形，∴△AMD为等边三角形，∴△MDF≌△CEF(ASA),∴CF=MF,DF=EF,答案第8页，共26页答案第9页，共26页BD=2+2x,【分析】本题考查了解一元二次方程、特殊角三角函数值，解决本题的关键是掌握特殊角三角函数值；(1)根据公式法解方程即可；(2)根据特殊角三角函数值进行计算即可；【详解】(1)解：x²+2√2x-4=0,方程有两个不相等的实数根，(2)cos²30°+sin²45°-t答案第10页，共26页【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，(1)根据图示，单独闭合A时小灯不亮，单独闭合B时小灯不亮，单独闭合C时小灯不亮，单独闭合D时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；(2)运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解【详解】(1)解：共有四个开关A,B,C,D,当闭合一个开关时，单独闭合A时小灯不亮，单独闭合B时小灯不亮，单独闭合C时小灯不亮，单独闭合D时小灯亮，∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是(2)解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，共有12中等可能结果，其中小灯泡发光的是(A,D),(B,D),(C,D),(D,A),(D,B),(D,C)共618.(1)证明见解析；(2)CE的长为4cm.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的性质，对顶角相等，掌握知识点的应用是解题的关键.(1)由DC//AB,∠BAF=∠CEF,由∠BFA=∠CFE,通过相似三角形(2)由△ABF∽△ECF,得,然后求出BF=4cm,再代入即可求解.【详解】(1)证明：∵DC//AB,(2)解：∵△ABF∽△ECF,(4)-1或-2或-5.函数图象解不等式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.(1)先求出B(1,-4),然后利用待定系数法即可求解；(2)根据图象即可求解；(3)由(1)得直线l的解析式为y=-x-3,B(1,-4),则有C(0,-3),所以OC=3,然后(4)由(1)得直线l的解析式为y=-x-3,则,H(n,-n-3),所以然后分当-4<n<0时和n≤-4时两种情况进行求解并检验即可.【详解】(1)解：∵反比例函数的图象过B(m,-4),答案第11页，共26页答案第12页，共26页解得∴直线l的解析式为y=-x-3;(2)解：由图象可知：不等式成立，则x的取值范围是x<-4或0<x<1,(3)解：如图，故答案为：7.5;(4)解：如图，答案第13页，共26页,H(n,-n-3),整理得：n²+3n+2=0,解得：n=-1或n=-2,经检验：n=-1或n=-2是原方程的解，解得：n=-5或n=2,经检验：n=-5或n=2是原方程的解，故答案为：-1或-2或-5.答案第14页，共26页②【分析】(1)由D、E的运动过程即可求解；(3)过E点作EF⊥AB交于F,由相似三角形的判定方法得△BEF∽△BCA,△ACD∽△FDE,由相似三角形的性质得·,即可求解；过E点作EF⊥AB交于F,由正切函数得,求出由tan∠ACD=tan∠EAF即可求解；过D作DH⊥BC交于H,设CH=x,则DH=x,由勾股【详解】(1)解：BE=2tcm,BD=(4-t)cm,故答案为：2t,4-t;解得：解得：故当动点运动时间或秒时，VBDE与V即过E点作EF⊥AB交于F,答案第15页，共26页答案第16页，共26页解得解得解得故当秒时，CD⊥AE;过D作DH⊥BC交于H,设CH=x,则DH=x,答案第17页，共26页整理得2x²=9+t²,整理得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等；能添加恰当的辅助线，构建相似三角形进行求解是解题的关键.21.万凤塔AB的高度约为12米.【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，证明△EFC∽△ABC,得到解直角三角形得到AB≈0.4BF,把数据代入求出BF,即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键.在RtABF中，∠ABF=90°,∠AFB=21.答：万凤塔AB的高度约为12米.22.(1)正方形；(2)①见解析；②BM=FM+√2EM;(3)①或②4√2-4②在BM上截取BW=FM,可证得△EFM≌EBW(SAS),从而EW=EM,∠BEW=∠MEF,当N在AD时，延长BN,CD,交于点W,设EG=EC=x,则FG=4-x,FN=x-1,②取BF中点0,则M,E在以BF为直径的0上，过点0作OK⊥EF交EF于点P,交0于点K,过M作MT⊥EF于点T,则MT≤PK,故当点M与点K重合时，MT取得最大则BC=BF=√2BE=4√2,可求EC=BC-BE=4√2-4,再由即可求解.【详解】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，(2)①证明：∵折叠，答案第18页，共26页答案第19页，共26页②解：如图1,在BM上截取BW=FM,∴WM=√EW²+EM²=√2EM,∴BM=BW+WM=FM+√2EM,(3)解：如图2,答案第20页，共26页当BG交CD于N时，此时CN=CD-DN=AB-DN=4-1=3.∴a₁=2,a₂=-6(舍去),如图3,当N在AD时，延长BN,CD,交于点W,∵四边形ABCD是矩形，(舍去),答案第21页，共26页综上