2.5.2+圆与圆的位置关系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系

人教A版（2019）选择性必修一学习目标1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系，体现逻辑推理能力（重点）2.能用圆与圆的位置关系解决一些简单的问题，体现数学计算能力（难点）1新课导入上节课学习了运用直线和圆的方程，判断直线与圆的位置关系的方法，类比这种方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系？新课学习圆与圆位置关系1.外离：|O1O2|＞R＋rrRO1O22.外切：|O1O2|＝R＋rrRO1O23.相交：|R－r|＜|O1O2|＜R＋rrRO1O24.内切：|O1O2|＝|R－r|RO1O2r5.内含：0

≤

|O1O2|＜|R－r|RO1O2rRO1O2r新课学习3类比运用直线和圆的方程，研究直线与圆的位置关系的方法，如何利用圆的方程，判断它们之间的位置关系?因为两个圆的交点坐标就是两个圆的方程的公共解，所以我们可以根据两个圆的方程的公共解的个数判断它们之间的关系.具体情形如下：两圆相交⇔有两组公共解；两圆相切⇔有一组公共解；两圆相离⇔没有公共解.另外，根据圆的方程可以求得圆心和半径，也可以根据圆心距与半径之间的关系判断两圆之间的位置关系.新课学习例5：已知圆

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆

C1与圆

C2的位置关系．分析：思路1：圆

C1与圆

C2的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和

r1＋r2或两半径的差的绝对值|r1－r2|的大小关系，判断两圆的位置关系．新课学习例5：已知圆

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆

C1与圆

C2的位置关系．解法1：将圆

C1与圆

C2的方程联立，得到方程组①－②，得

x＋2y－1＝0，③由③，得把上式代入①，并整理，得

x2－2x－3＝0．④新课学习例5：已知圆

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆

C1与圆

C2的位置关系．方程④的根的判别式

Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16＞0，所以，方程④有两个不相等的实数根

x1，x2，把

x1，x2分别代入方程③，得到

y1，y2．因此圆

C1与圆

C2有两个公共点

A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交．本题只要判断圆

C1与圆

C2是否有公共点，并不需求出公共点的坐标，因此不必解方程④，具体求出两个实数根.新课学习例5：已知圆

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆

C1与圆

C2的位置关系．解法2：把圆

C1的方程化成标准方程，得

(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，圆

C1的圆心是(－1，－4)，半径

r1＝5．把圆

C2的方程化成标准方程，得

(x－2)2＋(y－2)2＝10，

新课学习例5：已知圆

C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆

C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆

C1与圆

C2的位置关系．

新课学习画出圆

C1

和圆

C2以及方程③表示的直线，说说有什么发现？B

AxyOC1C2因为由方程①②组成的方程组的解(x，y)必定满足方程③；而方程组有两组实数解，即两圆C1、C2有两个公共点A、B，这两个公共点必在方程③确定的直线上；又因为两点确定一条直线，因此方程③表示的直线就是两圆公共弦所在的直线.新课学习在解法1中，如果两圆方程联立消元后得到的方程的Δ＝0，它说明什么？你能据此确定两圆是内切还是外切吗？如何判断两圆是内切还是外切呢？当Δ＜0时，两圆是什么位置关系？当Δ＝0

时，方程组只有一组解，此时两圆相切，但不能确定两圆是内切还是外切.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内切；否则，两圆外切.当Δ＜0时，方程组没有解，此时两圆相离，但不能确定两圆是外离还是内含.若较小圆的圆心在另一个圆内，则两圆内含；否则，两圆外离.新课学习

分析：我们可以通过建立适当的直角坐标系，求得满足条件动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹；通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系.如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段

AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．由AB=4，得A(-2,0)，B(2,0)．新课学习

化简，得

x2－12x＋y2＋4＝0，即(x－6)2＋y2＝32．

因为两圆的圆心距为|PO|＝6，

xyMABOP新课学习

点

M的轨迹方程可化为

(k2－1)x2＋(k2－1)y2－4(k2＋1)x＋4(k2－1)＝0.当

k＝1时，方程化为

x＝0，其轨迹为

AB的垂直平分线，与圆

O相交；新课学习拓展：求轨迹方程的基本步骤1.建系，设点.求哪个点的轨迹方程就设该点的坐标为(x,y)；2.条件坐标化.即用坐标把题目中的关系表示出来.3.整理，化简.4.检验，说明.检验方程的解为坐标的点是否都满足