2.5.2圆与圆的位置关系+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2圆与圆的位置关系

第二章

圆与方程选择性必修第一册•高二学

习

目

标123了解圆与圆的位置关系.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？情境导入观察与思考：你认为圆与圆之间存在几种的位置关系呢？

新知探究思考1：类比直线与圆的位置关系，思考：圆与圆有哪几种位置关系？两圆相交：2个交点两圆相切：1个交点两圆相离：0个交点新知探究

我们知道，两个圆之间存在以下三种位置关系：(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点.两圆相交两圆相切外切内切两圆相离外离内含通过观察我们可以发现，圆与圆之间存在五种位置关系：外离、外切、相交、内切和内含.

新知探究思考与探究：我们知道在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么该如何通过圆的方程去判断这两个圆之间的位置关系呢？第一步：计算两圆的半径r₁，r₂；第二步：计算两圆的圆心距

d；第三步：根据d与r₁，r₂之间的关系，判断两圆的位置关系.新知探究位置关系图形dr1r2dr1r2dr1r2dr1r2d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r1-r2|d<|r1-r2|外离外切相交内切内含d与r1,r2的关系dr1r2概念归纳根据上节课所学内容你是否还有第二种方法呢？●怎样根据方程来判断圆与圆的位置关系呢?在平面直角坐标系中，圆可以用方程来表示，那么，新知探究设圆C1

和圆C2

的方程分别为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.如果圆C1

和圆C2

有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是圆C1和圆C2

的公共点.圆C1

和圆C2

的方程联立方程组x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.我们有如下结论：方程组无解内含外切两个圆没有公共点两个圆有且只有一个公共点两个圆有两个公共点外离内涵外切内切相交概念归纳

练习

典例分析

典例分析判断两圆位置关系几何方法两圆心坐标及半径（配方法）

圆心距d（两点间距离公式）

比较d和r1，r2的大小，下结论代数方法

消去y（或x）

概念归纳

典例分析05作业布置与课后练习答案2.5.2圆与圆的位置关系课后作业答案练习（第98页）课后作业答案练习（第98页）课后作业答案练习（第98页）课后作业答案练习（第98页）方法技巧两圆相切问题题型一题型探究处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论.(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).例1

已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；将圆的方程整理成(x2＋y2－20)＋(－4x＋2y＋20)a＝0，故该圆恒过定点(4，－2).(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值.

B

ACD

两圆相交问题题型二题型探究方法技巧(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.例2

已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；解：设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，①－②，得x－y＋4＝0.因为A，B两点的坐标都满足此方程，所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.两圆相交问题题型二题型探究设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.即x2＋y2－x＋7y－32＝0.得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).方法二设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

C

练习

练习思考3：当利用代数法判断位置关系过程中，将两圆方程相减后所得方程表示什么图形？

练习练习思考3：将两圆方程相减后所得直线有什么特征呢？该直线总与两圆圆心连线垂直；当两圆相交时，该直线为两圆的公共弦；当两圆相切时，该直线为两圆的公切线.练习

练习

练习

练习

公切线的条数练习

练习两圆位置关系