《1.1 集合的概念》 （分层作业4基础题型+4提升题型+培优题）（原卷版及解析）数学人教A版2019必修第一册

集合的概念题型一：集合的定义判断1.下列说法正确的是（

）A．，，，是两个集合 B．中有两个元素C．是有限集 D．是空集2.下列说法正确的是（

）A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素3.下列各组对象可以构成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数4.下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（

）A．组 B．组 C．组 D．组题型二：列举法表示集合1.把集合用列举法表示为A． B． C． D．2.方程的解集是．A． B．C． D．3.把集合用列举法表示为（

）A． B．C． D．4.（多选）给出下列说法，其中不正确的是（

）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为为所有实数或C．方程组的解组成的集合为D．方程的所有解组成的集合为题型三描述法表示集合1.方程组的解集可表示为（

）A． B．C． D．2.集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为A．{x|x是不大于7的非负奇数}B．{x|1≤x≤7}C．{x|x∈N且x≤7}D．{x|x∈Z且1≤x≤7}3.已知集合，，则B中所含元素的个数为（

）A．3 B．6 C．8 D．104.由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}题型四：根据元素与集合的关系求参数1.若由a2，2025a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（

）A．0 B．2025C．1 D．0或20252.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为()A．-1 B．1 C．0 D．±13.已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4.已知元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3

题型一：判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用1.下列说法中正确的是（

）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合2.已知集合，若，求实数m的值．3.如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是．4.由实数，，，，组成的集合中最多含有个元素．题型二：列举法求集合中元素的个数、集合新定义1.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．2.（多选题）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．3.下列关系中，正确的有（）①；②；③；④.A．1个 B．2个C．3个 D．4个4.定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6题型三：利用集合中元素的性质求集合元素个数1.设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．72.若集合，集合，则（

）A． B． C． D．3.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．104.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15题型四：根据集合中元素的个数求参数1.已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在2.已知集合，若中只有一个元素，则的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或13.如果集合只有一个元素，则的值是A． B．或 C． D．或4.若集合中只有一个元素，则实数的值为（

）A． B． C． D．或

1.下面有四个结论:①集合中最小数为1；②若，则；③若，，则的最小值为2；④所有的正数组成一个集合.其中正确结论的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32.下列集合中有无数个元素的是（

）A． B． C． D．3.（多选题）若，则，就称A是伙伴关系集合．集合的所有非空子集中具有伙伴关系的是（

）A． B． C． D．4.（2010·福建·高考真题）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下三个命题：①若m=1，则S={1}；②若m=，则≤l≤1；③l=，则其中正确命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．3

集合的概念题型一：集合的定义判断1.下列说法正确的是（

）A．，，，是两个集合 B．中有两个元素C．是有限集 D．是空集【答案】C【知识点】判断是否为同一集合、判断元素与集合的关系、空集的概念以及判断【分析】根据集合的定义判断．【详解】在中，由集合中元素的无序性，得到，，，是同一个集合，故错误；在中，中有一个元素，故错误；在中，，2，3，，是有限集，故正确；在中，，，不是空集，故错误.故选：.【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键．2.下列说法正确的是（

）A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的定义，结合元素性质，即可容易判断.【详解】A项中元素不确定，故不能构成集合，故错误；B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等，故错误；D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素，故错误.不超过20的非负数组成一个集合，故正确.故选：.【点睛】本题考查集合的定义以及元素的性质，属简单题.3.下列各组对象可以构成集合的是（

）A．数学必修第一册课本中所有的难题 B．小于8的所有素数C．直角坐标平面内第一象限的一些点 D．所有小的正数【答案】B【知识点】判断元素能否构成集合【分析】根据集合的确定性逐项分析判断即可.【详解】对于选项A：“难题”的标准不确定，不能构成集合；对于选项B：小于8的所有素数有2，3，5，7，能构成集合；对于选项C：“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；对于选项D：没有明确的标准，所以不能构成集合．故选：B.4.下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（

）A．组 B．组 C．组 D．组【答案】A【知识点】判断元素能否构成集合【解析】根据集合元素满足确定性可判断①②③④⑤中的对象能否构成集合，即可得出结论.【详解】①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.题型二：列举法表示集合1.把集合用列举法表示为A． B． C． D．【答案】A【知识点】列举法表示集合、描述法表示集合【详解】解方程得，应用列举法表示解集即为故选A2.方程的解集是．A． B．C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合【分析】解方程组求得，利用点集表示出解集.【详解】由得：

解集为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用集合表示方程组的解集，属于基础题.3.把集合用列举法表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】列举法表示集合【分析】先解方程，再用列举法表示.【详解】或所以=故选：D【点睛】本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题.4.（多选）给出下列说法，其中不正确的是（

）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为为所有实数或C．方程组的解组成的集合为D．方程的所有解组成的集合为【答案】ABC【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合【分析】根据集合的概念，集合中元素的组成，以及集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由，即，解得或或，因为，所以集合用列举法表示应为，所以A错误；对于B中，集合表示中的符号“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而符号“”已表示所有的实数构成的集合，所以实数集正确的表示应为为实数或，所以B错误；对于C中，方程组的解是有序实数对，而集合表示两个等式组成的集合，方程组的解组成的集合正确的表示应为，所以C错误；对于D中，由，可得且，解得，所以组成的集合为，所以D正确．故选：ABC.题型三描述法表示集合1.方程组的解集可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】描述法表示集合、方程组的解【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解.【详解】由得，将代入得，所以，故选：D2.集合{1，3，5，7}用描述法表示出来应为A．{x|x是不大于7的非负奇数}B．{x|1≤x≤7}C．{x|x∈N且x≤7}D．{x|x∈Z且1≤x≤7}【答案】A【知识点】描述法表示集合【分析】对四个选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，集合的元素为，符合题意.对于B选项，集合的元素包括了小数，不符合题意.对于C选项，集合的元素包括不符合题意.对于D选项，集合的元素包括，不符合题意.综上所述，本小题选A.【点睛】本小题主要考查集合的表示方法，考查列举法和描述法，属于基础题.3.已知集合，，则B中所含元素的个数为（

）A．3 B．6 C．8 D．10【答案】B【知识点】描述法表示集合【分析】根据集合的形式，逐个验证的值，从而可求出集合中的元素.【详解】因为，所以时，；时，或；时，，或.所以，所以B中所含元素的个数为.故选：B.4.由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q}B．{x|﹣3＜x＜11}C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N}D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}【答案】D【知识点】描述法表示集合【详解】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合．解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11．即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}．故选D．点评：本题的考点是利用描述法表示集合．比较基础．题型四：根据元素与集合的关系求参数1.若由a2，2025a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是（

）A．0 B．2025C．1 D．0或2025【答案】C【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据集合的元素互异性判断即可.【详解】若集合M中有两个元素，则a2≠2025a.即a≠0且a≠2025.故选：C.2.已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为()A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据题意，令代入进行求解，依次赋值代入进行化简，把集合A中运算的所有形式全部求出，再求出它们的乘积即可.【详解】由题意，当时，，令替换中的a，则，则，则，即，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的应用问题，其中解答中正确理解题意，合作选择解答的方法是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3.已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解.【详解】由集合，且，可得，解得，即实数的取值范围为.故选：A.4.已知元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，则a的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，元素a∈{0，1，2，3}，且a∉{1，2，3}，∴a的值为0．故选A．【点睛】本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.题型一：判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用1.下列说法中正确的是（

）A．与定点A，B等距离的点不能构成集合B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形D．高中学生中的游泳能手能构成集合【答案】C【知识点】判断元素能否构成集合、集合元素互异性的应用【分析】根据集合元素的特征判断可得；【详解】解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C2.已知集合，若，求实数m的值．【答案】【知识点】根据元素与集合的关系求参数【分析】让集合的两个元素分别等于3，求出，并检验符合元素的互异性．【详解】解：由，可得，，此时，不合题意；或．（舍去）或．．故答案为：．3.如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是．【答案】且【知识点】利用集合元素的互异性求参数【分析】根据集合的元素的互异性列出不等式，解之即得.【详解】由集合元素的互异性可得，解得且.故答案为：且.4.由实数，，，，组成的集合中最多含有个元素．【答案】4【知识点】集合元素互异性的应用【分析】把，，，，分别可化为，，，，，根据集合中元素的互异性，即可求解，得到答案．【详解】由题意，可得，此时，，，，分别可化为，，，，，所以由实数，，，，组成的集合中最多含有4个元素．故答案为4．【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合中元素的特征的应用，其中解答中熟记集合的表示方法，以及集合中运算的互异性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．题型二：列举法求集合中元素的个数、集合新定义1.定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】列举法求集合中元素的个数、集合新定义【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为，，，所以，故集合中的元素个数为3，故选：C.2.（多选题）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知，，为“影子关系”集合，由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．故选：ABD3.下列关系中，正确的有（）①；②；③；④.A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】C【知识点】判断元素与集合的关系【分析】判断数所在数域，得到正确答案.【详解】为实数，①正确；是无理数，，②正确；是自然数，③正确；，④错误，故选：C4.定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【知识点】列举法表示集合、集合新定义【详解】试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．考点：元素的互异点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍题型三：利用集合中元素的性质求集合元素个数1.设A、B是非空数集，定义：AB={a+b|a∈A，b∈B}，若A={1，2，3}，B={4，5，6}，则集合AB的元素个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】由已知集合及新定义的运算可求集合AB，即得到元素个数【详解】∵AB={a+b|a∈A，b∈B}，又A={1，2，3}，B={4，5，6}∴AB={5，6，7，8，9}故AB的元素个数为5个故选：B【点睛】本题考查了集合的概念，运用新定义求集合，并应用集合的元素的互异性确定元素，从而求得元素个数2.若集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】列举法表示集合、利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】将集合中元素逐个代入中计算的值，然后根据元素的互异性得到集合的组成.【详解】由，得，当，1时，；当，0时，；当时，；当时，.故集合，故选C.【点睛】本题考查对集合的两种表示方法的理解，难度较易.通过运算得到函数值的集合时，注意利用互异性对函数值进行取舍.3.已知集合，集合，则集合中元素的个数为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】直接带值求出z可能的取值，即得B集合元素的个数．【详解】集合A＝{1，2，4，8}，集合B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈A}＝{1，2，4，8，16，32，64}，集合B中元素的个数为7．故选A．【点睛】本题考查集合的基本概念，考查集合的互异性,是基础题4.已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（

）A．3，6，9 B．6，9，12 C．9，12，15 D．6，12，15【答案】B【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、利用集合中元素的性质求集合元素个数【分析】先去掉绝对值，转化为两个方程，针对方程根的情况进行讨论．【详解】解：关于x的方程等价于①，或者②．由题意知，P中元素的和应是方程①和方程②中所有根的和．，对于方程①，．方程①必有两不等实根，由根与系数关系，得两根之和为6．而对于方程②，，当时，可知方程②有两相等的实根为3，在集合中应按一个元素来记，故P中元素的和为9；当时，方程②无实根，故P中元素和为6；当时，方程②中，有两不等实根，由根与系数关系，两根之和为6，故P中元素的和为12.故选：B．题型四：根据集合中元素的个数求参数1.已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】C【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可.【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素，所以，解得.故选：C2.已知集合，若中只有一个元素，则的值是（

）A． B．0或 C．1 D．0或1【答案】B【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了.【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解；（1）当时，方程化为，只有一个解；（2）当时，若只有一个解，只需，即；综上所述，可知的值为或.故选：B【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题.3.如果集合只有一个元素，则的值是A． B．或 C． D．或【答案】D【知识点】根据集合中元素的个数求参数【分析】由题意得知关于的方程只有一个实数解，分和两种情况讨论，可得出实数的值.【详解】由题意得知关于的方程只有一个实数解.当，，合乎题意；当时，则，解得.综上所述：或，故选D.【点睛】本题考查集合的元素个数，本质上考查变系数的二次方程的根的个数，解题要注意对首项系数为零和非零两种情况讨论，考查分类讨论思想，属于中等题.4.若集合中只有一个元素，则实数的值为（

）A． B． C． D．或【答案】D【知识点】根据集合中元素