2.2++基本不等式+复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

.2基本不等式一、知识梳理1.两个不等式重要不等式：当a、b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．基本不等式：当a>0，b>0时有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．精准点播“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.精准点播：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．3.几个重要的不等式①(沟通两和与两平方和的不等关系式)②(沟通两积与两平方和的不等关系式)③(沟通两积与两和的不等关系式)④重要不等式串：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).4.常见求最值模型模型一：，当且仅当时等号成立；模型二：，当且仅当时等号成立；模型三：，当且仅当时等号成立；模型四：，当且仅当时等号成立.考点分布考点一：对基本不等式的理解例题练习：1．设,,,则下列说法错误的是()A.ab的最大值为 B.的最小值为C.的最小值为9 D.的最小值为变式训练：2．已知,则()A. B.C. D.方法总结：(1)不等式成立的条件：a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：①当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.考点二：直接法求最值例题练习：3．已知正数满足,则下列选项正确的是()A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是4．已知，，且，则的最大值为________.变式训练：5．已知a,,,则()A.ab的最大值为2 B.的最小值为C.的最小值为4 D.的最小值为16考点三：凑配法求最值例题练习：6．(1)已知,求函数的最小值；(2)已知,求的最大值.变式训练：7．(1)已知,求的最小值；(2)若,求的最大值；方法总结：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．考点四：“1”的代换法求最值（常数的代换）例题练习：8．已知正数a、b满足,则的最小值是()A. B. C. D.变式训练：已知实数满足且,则的最小值为方法总结：(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值．考点五：二次商式求最值例题练习：10．回答下列问题.(1)已知正数x、y满足,求的最小值;(2)求函数的最小值.变式训练：11．函数的最小值为________.考点六：基本不等式的实际应用例题练习：12．如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制的矩形菜园,设菜园的长为,宽为．(1)若菜园面积为,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长最小；(2)若使用的篱笆总长度为,求的最小值．变式训练：13．某商家准备促销某商品,根据市场调查,当该商品的售价定为x元时,销售量可达到万件.已知该商品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分.其中固定价格为20元/件,浮动价格（单位：元/件）与销售量（单位：万件）成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每件商品的利润售价供货价格.(1)当每件商品的售价定为40元时,求该商家所获得的总利润；(2)该商品的售价定为多少元时,单件商品的利润最大?参考答案1．答案：D解析：因为,,,则,当且仅当时取等号,所以选项A正确；因为,故,当且仅当时取等号,即最小值,所以选项B正确；,当且仅当且即,时取等号,所以选项C正确；,故,当且仅当时取等号,即最大值,所以选项D错误.故选：D.2．答案：C解析：对于A,当时,,故A错误；对于BD,取,此时,,故BD错误；对于C,由基本不等式可得,故C正确.故选：C.3．答案：ABD解析：因为,所以,则,当且仅当时,等号成立,即的最小值是2,故A正确；因为,所以,当且仅当时,等号成立,即的最大值是1,故B正确；,当且仅当时,等号成立,即的最小值是2,故C错误；因为,当且仅当,即时等号成立,即的最大值是,故D正确,故选：ABD.4．答案：1解析：由，，且，得，当且仅当取等号，所以的最大值为1.故答案为：15．答案：AD解析：A选项,,解得,当且仅当时等号成立,故A选项正确；B选项,,当且仅当时等号成立,故B选项错误；C选项,,当且仅当时等号成立,则,故C选项错误；D选项,,故当时,的最小值为16,D选项正确；故选：AD.6．答案：(1)9(2)解析：(1),当且仅当即时等号成立.故的最小值为9.(2),,.当且仅当,即时,.7．答案：(1)9(2)(3)6解析：(1),当且仅当,即时取等号,所以的最小值为9；(2)因为,所以,所以,,当且仅当,当且仅当时等号成立,所以的最大值为；(3)由,得,所以,所以,所以或,又,,所以,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为6.8．答案：C解析：已知正数a、b满足,则,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值是4.故选:C.9．答案：解析：令,,则,,因,则,因,则,则,等号成立时,即,则的最小值为.故答案为：.10．答案：(1)(2)9解析：(1)因为,,,所以,,,所以,当且仅当,且,即,时,等号成立,故的最小值为;(2)因为,所以所以,当且仅当,即时,等号成立,故函数的最小值.11．答案：9解析：因为，则，所以，当且仅当即时等号成立，已知函数的最小值为9.故答案为：9.12．答案：(1),(2)．解析：(1)由已知可得,篱笆总长为．又因为,当且仅当,即时等号成立．所以当时,可使所用篱笆总长最小．(2)由已知得,又因为,所以,当且仅当,即,时等号成立．所以的