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文档简介

数值分析算法与上机实验指导书结果分析：当节点数$n$增大时，插值多项式在区间内部的误差通常减小，但在区间端点附近可能出现“龙格现象”（误差震荡放大）；若需避免龙格现象，可采用分段低次插值（如三次样条插值）或切比雪夫节点（非等距节点）。（二）实验二：线性方程组的迭代解法对比实验目的：对比雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代的收敛性，理解迭代矩阵谱半径对收敛速度的影响。实验内容：1.构造一个对角占优的$5$阶矩阵$A$（确保迭代法收敛），随机生成向量$b$，得到方程组$Ax=b$；2.分别实现雅可比迭代（$x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$）与高斯-赛德尔迭代（$x^{(k+1)}=(D+L)^{-1}(b-Ux^{(k)})$）；3.设定迭代初值$x^{(0)}$，迭代终止条件为$\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_2<10^{-6}$，记录迭代次数与最终解的精度；4.分析矩阵的对角占优程度、迭代矩阵的谱半径（可通过`numpy.linalg.eigvals`计算）与收敛速度的关系。四、常见问题与调试技巧（一）数值稳定性问题1.舍入误差累积：在循环计算（如迭代法、高精度插值）中，需关注中间结果的数量级。例如，高斯消元时若主元过小，会导致后续行变换的乘数过大，放大舍入误差。解决方法：采用列主元或全主元消元，或改用迭代法（如共轭梯度法）。2.溢出与下溢：计算指数函数、阶乘时易出现溢出（如$e^{100}$），或下溢（如$e^{-100}$被截断为0）。可通过变量替换（如对数值计算）或调整算法（如用对数求和代替指数求和）避免。（二）实验调试技巧1.单元测试：对算法的关键步骤（如基函数计算、矩阵行变换）单独测试。例如，验证拉格朗日插值在节点处的误差是否为0，确保插值多项式过已知点。2.可视化调试：绘制中间结果（如迭代法的残差$\|Ax^{(k)}-b\|$随迭代次数的变化曲线），直观判断算法是否收敛、步长是否合理。五、总结与拓展方向数值分析的核心在于“算法的数学合理性”与“计算的工程可行性”的平衡：理论上需推导算法的收敛性、误差阶，实践中需通过实验验证算法在有限精度下的表现。本指导书涵盖的插值、线性方程组求解、微分方程数值解法等内容，是工程计算的基础工具；未来可拓展至大规模稀疏矩阵求解（如电力网络、有限元分析）、优化算法的数值实现（如梯度下降的步长选择）等领域。拓展资源推荐书籍：《数值分析》（TimothySauer）、《矩阵计算》（GeneGolub）；工具库：Python的`scipy.linalg`（线性代数）、`egrate`（数值积分），MATLAB的`fsolve`（方程求解）、`ode45`（微分方程求解）；开源项目：PETSc（大规模科学计算）、FEniCS（有限元分析）。

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