福建省厦门市思明区第五中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷（含解析）

福建省厦门市思明区第五中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考卷一、单选题1.我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现.下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()2.如图，在VABC中，将VABC绕点A逆时针旋转得到VADE,点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角是()3.如图，OA、OB、OC均为0的半径，连接AB,BC,若AB=BC,∠BOC=36°,则∠AOCA.36°B.72°4.已知一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0),若9a+3b+c=0,则该方程一定有一个根为()A.-3B.3C.±3D.不能确定5.某种迫击炮发射炮弹的飞行高度Y米与飞行时间x秒的关系式为,一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为()6.关于反比例函数,下列说法不正确的是()A.点(3,-1)在其图象上B.当x>0时，y随x的增大而减小C.当x>3时，-1<y<0D.其图象在第二、四象限7.把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1),插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是()I/A↑2oI/A↑2o440P/WA.当P=440W时，I=2AC.I每增加1A,Q的增加量相同D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多8.根据下列表格的对应值可知，方程ax²+bx+c=0.05(a≠0,a、b、c为常数)一个解xA.3<x<3.2B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26二、填空题9.在平面直角坐标系中，点(5,-2)关于原点对称的点的坐标是10.若关于x的一元二次方程x²-3x+k=0的一个根为1,则k的值为·试卷第2页，共8页11.已知二次函数y=ax²+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的解为·12.把抛物线y=x²-2先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后得到的抛物线的解析式是13.读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物：而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.(诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3,个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄),设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则列得方程为14.如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm,瓶内液体已经过半，截面圆中弦AB的长为2√21,则最大深度CD的长为15.如图，将VABC绕点A顺时针旋转得到VADE,点C的对应点E落在CB的延长线上，连接BD.若BD=10,DE=6,CE=14,则AE16.已知抛物线y=a(x-m)²-3(a>0)上有点A(x₁,y)和B(x₂,y₂),对于任意实数m,若三、解答题(2)2x²+x-2=0.季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆.求前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率.试卷第4页，共8页21.已知关于x的一元二次方程mx²-3(m-1)x+2m-3=0.(2)若m为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数?请说明理由.22.育新书店发售一套儿童绘本，成本价40元/套，经市场调查，绘本售价每套50元/套，每天可以销售200套.若每套绘本涨价1元，日销量将减少10套.育新书店预计每天的销售量不少于100套.试卷第6页，共8页后，该书店每天的最大利润能否达到1690元?若能，求m的值；若不能，说明理由.23.已知抛物线y=ax²+bx+c开口向下，且经过M(m,n)和N(p,n)两点.素材1福州地铁某站在工作日早高峰(7:00-9:00)期间，地铁运营部门通过闸机感应系统统计发现，在7:00-9:00这两小时内，A出口的人流量y(人次)与时间t(分钟)存在如下关系：以7:00为起始时间点(t=0)t(分钟)0y(人次)任务请根据已知条件，在平面直角坐标系中描点，观察，猜想，求出y与12素材2福州凭借丰富的历史文化底蕴、美丽的自然风光以及特色美食，游玩.三坊七巷内人潮涌动；游客们穿梭于古街古巷，感受着福州的历史韵味；鼓山风景区迎来络绎不绝的登山客，俯瞰城市美景；烟台山的文艺街区也聚集了众多游客打卡拍照.某假期为吸引游客，福州地铁特推出免费乘车活动，使得客流量较平日呈现显著攀升态势，导致7:30后A出口在原有人流量基础上每分钟较前一分钟额外增加2人.例如7:31的人流量比原来增加2人，7:32的人流2任务2求7:30-9:00时段y与t的关系式，并指出人流量达到最大值时对应的具体时刻；3素材3在地铁大客流应对措施中，栏杆绕行是颇为常见且有效的一种手段.通常，地铁车站会选用可移动的金属安全围栏，也就是俗称的“铁马”来设置特定见的是设置“S”形铁马阵.3任务3为保障乘客安全和通行效率，若地铁运营规定，当出口闸门人流量达到或超过200人次/分钟时，需启动一级客流管控，工作人员会在安检通道摆放铁马，设置绕行，以减缓客流进入站台的速度.根据任务2中y与t的关系式，通过计算，直接写出该入口需要启动一级客流管控的持续时长.25.Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=α,点D是AB边中点，点E是BC边上一动点(不与点B、点C重合),连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转2α,得到线段DF,连接BF.(1)如图1,若点F刚好落在BC边上，连接AF,求证：AF=BF;(2)在图2中判断AC、BE和BF的数量关系，并证明；(3)若α=30°,AC=1,直接写出CF的最小值为_·试卷第8页，共8页12345678BCBBCBCD【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可.【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可.【详解】解：∵将VABC绕点A逆时针旋转得到VADE,【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理可得∠AOB=∠BOC,进而即可求出答案.【详解】解：∵AB=BC,【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键.由于当x=3时，9a+3b+c=0,则可判断该方程一定有一个根为3.【详解】解：当x=3时，9a+3b+c=0,所以若9a+3b+c=0,则该方程一定有一个根为3.故选B.答案第1页，共15页炮弹落地时高度为0,代入关系式求解一元二次方程即可.【详解】解：∵炮弹落地时y=0,解得x=0或x=80,∴落地时间为x=80秒；函数图象和性质是解答此题的基础.通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案.【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可.【详解】解：根据图1知：当P=440W时，I=2A,故选项A正确，但不符合题意；根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；答案第2页，共15页答案第3页，共15页键.根据二次函数y=ax²+bx+c-0.05图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0.05的根，从而可知交点的横坐标左右所取的x值代入y=ax²+bx+c-0.05得到的y值异号即可.x即方程ax²+bx+c=0.05(a≠0,a、b、c为常数)一个解x的范围是3.25<x<3.26,【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标.关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可得到答案.【详解】解：由题意得：点(5,-2)关于原点对称的点的坐标是(-5,2),【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键.将已知根代入方程，求解参数即可.【详解】解：将x=1代入方程x²-3x+k=0,得1²-3×1+k=0,整理得-2+k=0,解得k=2.故答案为：2.答案第4页，共15页【分析】本题考查了二次函数与x轴交点问题；二次函数y=ax²+bx+c中，当y=0时，ax²+bx+c=0,即所求解为二次函数中y=0时所对应的x的解.【详解】观察图象可知，对称轴为直线x=1,一个交点为(3,0),故答案为：x₁=3,x₂=-1.【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握变换规律是解题的关键.根据减.【详解】解：由题意得，平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-3)²-2-2=x²-6x+5.故答案为：y=x²-6x+5.年龄为10(x-3)+x,且个位数字的平方刚好是周瑜逝世的年龄，即x²,由此列式即可求解.【详解】解：个位数字为x,则十位数字为(x-3),故答案为：10(x-3)+x=x².即可求解.【详解】解：连接OA,故答案为：7cm【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，掌握旋转的性质，等腰三角形的定义即勾股定理求线段长度的计算是关键.根据旋转得到BC=DE=6,AC=AE,ACE是等腰直角三角形，从而得到BDE是直角三角形，由勾股定理得到BE的长，则CE=BE+BC,再运用勾股定理即可求解.【详解】解：∵将VABC绕点A顺时针旋转得到VADE,∴ACE是等腰直角三角形，在RtBDE中，DE=6,BD=10,答案第5页，共15页答案第6页，共15页【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线x=m,且开口向上，根据点A和点B的横坐标得当x=m+2时y=0,代入求解a.【详解】解：抛物线y=a(x-m)²-3(a>0)的对称轴为直线x=m,开口向上，点A(x,y)满足m-2<x₁<m-1,点B(x₂,y₂)满足x₂>m+2,点A关于对称轴的对称点为(2m-x₁,y₁),由x₁的范围得m+1<2m-x₁<m+2,代入解析式得0=a(m+2-m)²-3=a·2²-3=4a-3,解得二次函数的对称性推得y₁<0且y₂>0.②【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.(1)先移项，通过因式分解得到(x-3)²=0,开方求解即可；(2)先计算判别式△=b²-4ac,通过公式法进行求解即可.【详解】(1)解：x²-6x=-9答案第7页，共15页解得x₁=x₂=3;(2)解：2x²+x-2=0中，a=2,b=1,c=-2,【分析】本题考查的是分式的化简求值，以及二次根式的分母有理化，能够正确约分是解题的关键.先算括号内，再算除法，进行约分化简，再把x=√2-1代入化简后的代数式中再计算即可.【详解】解：19.前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为20%.【分析】设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x,由某品牌电动汽车在今年第一季度和第三季度的销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【详解】解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x,依题意得：2(1+x)²=2.88,解得：x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不合题意，舍去).答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.答案第8页，共15页【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定；(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°,根据同弧所对的圆周角相等可得∠B=∠ADC=30°,进而求得∠CAB;(2)连接OC,可得△AOC是等边三角形，根据E是OA的中点，根据三线合一可得CE⊥AO,进而根据垂径定理即可得证.【详解】(1)解：∵AB为0的直径，(2)解：如图，连接OC,21.(1)见解析(2)存在整数m,使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键.(1)根据根的判别式△=b²-4ac≥0解答即可；.(2)首先求出一元二次方程的两根，一根为1,一根为,只需要求出是正整数时m的值即可.【详解】(1)证明：∵△=[-3(m-1)²-4m(2m-3)=m²-6m+9=(m-3)²≥0.(2)解：存在整数m,使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下：即当m=-1或m=±3时，该方程的两个实数根均为正整数.数的性质求解.(1)根据销售量的限制条件列出不等式，求解得出每套绘本的最高售价；(2)建立利润的函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润，进而确定m的值.【详解】(1)解：设每套绘本售价为x元.由题意可得不等式方程，解得x≤60,故每套绘本售价应不高于60元；(2)解：设每天的利润为w元.每套的利润为(x-40-m)元，日销量为200-10(x-50)=700-10x套.=-10x²+(700+10(40+m))x-70=-10x²+(1100+10m)x-2800在此函数中，a=-10,b=1100+10m,所以答案第9页，共15页因为x≤60,且a=-10<0,该函数图象为开口向下的抛物线，所以当x=55+0.5m时，w取得最大值.将x=55+0.5m代入利润函数：Wmax=(55+0.5m-40-m)(700-10(55+解得m=4或m=56,当m=56时，每套利润为x-40-56=x-96,因为售价x≤60,所以x-96<0,当m=4时，每套利润为x-40-4=x-44,售价x=55+0.5×4=57,57-44=13>0,符合实所以能，m的值为4.的关键.(1)将M(m,n)和N(p,n)两点代入抛物线y=ax²+bx+c得到两个方程，令两个方程相减，(2)将点(1,-a)代入抛物线y=ax²+bx+c得到方程，结合(1)中的结论和韦达定理进行证明即可.【详解】(1)解：将M(m,n)和N(p,n)两点代入抛物线y=ax²+bx+c得：两式相减得：a(m²-p²)+b(m-p)=0,答案第10页，共15页答案第11页，共15页由于m≠p,则am+ap+b=0;设抛物线与x轴的交点为x₁、x₂,则因此，抛物线与x轴的两个交点都在正半轴.24.任务1:图见解析，验证见解析任务2:上午9:00达到最大值任务3:持续时长为20分钟【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键.任务1,经过描点，观察，发现各点的连线形状近似于抛物线，所以猜想y与t满足二次函任务2,根据题意，当30≤t≤120时，可列出,再根据二次函任务3,先判断只有当30≤t≤120时，才可能出现人流量达到或超过200人次/分钟的情况，再令y=20