北京市第十八中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷（含解析）

称图形的是()2.将抛物线y=x²向左平移3个单位长度得到的抛物线是()A.y=x²+3B.y=x²-3C.y=(x+3)²D.y=(x-3)²3.一元二次方程x²-4x-1=0配方后可化为().A.(x-2)²=5B.(x+2)²=5C.(x-2)²=4.如图，抛物线对称轴为直线x=1,与x轴交于点A(-1,0),则另一交点的坐标是()A.(3,0)B.(-3,0)C.(1,0)A.y₁<y₂<y₃B.y₂<y₁<y₃C.y₃<y₂<y₁7.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m³)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0°<x≤90°)近似满足函数关系y=ax²+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量Y的三组数据，根据上述函数模型和数灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()A.34°B.44°C.54°矩形，函数的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给出④△MON一定不是等边三角形.上述结论中，所有正确结论的序号是()答案第2页，共30页A.①③B.①④C.②③二、填空题12.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据13.如图，已知函数的图象经过点A(2,2),结合图象，请直接写出函数值y≥-2时，14.如图，将VABC绕点A顺时针旋转40°得到VADE,点B的对答案第4页，共30页15.二次函数y=-x²+4x+m满足以下条件：当-3<x<-2时，它的图象位于x轴的下方；作共需A,B,C,D,E,F,G,H,I九道工序，加工要求如下：①工序A必须是第一道工序，工序I必须是最后一道工序，工序A,I不能与其他工序同时②工序D,E需在工序B完成后进行，工序F需在工序C,D都完成后进行，工序G,H需工序ABCDEFGH所需时间/分钟346223三、解答题17.解方程：x²-3x=0.19.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-4,5),C(-5,2).(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A₂B₂C₂.20.关于x的一元二次方程x²-(m-1)x+(m-2)=0.(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；(2)已知方程有一根大于6,求m的取值范围.21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²+bx+c经过点A(2,0)和B(0,-2)两点.(1)求函数解析式，并在坐标系中画出函数图象；(2)点C(1,y)和点D(x₂,y₂)在抛物线上，若y₂<y₁,则x₂的取值范围是_·22.如图，一次函数y₁=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(m,3),B(-3,n)两(1)求一次函数的解析式；(2)观察函数图象，直接写出关于x的不等式的解集.答案第6页，共30页23.商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?(2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元?24.正方形ABCD的边长为3,E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°,将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM.(2)当AE=1时，求EF的长.答案第8页，共30页25.如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O的正上方4米处的A点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距OA所在直线水平距离为d米的地点，运动员距离地面高度为h米.获得如下数据：米02468米488空中线路示意空中线路示意A(起跳点)跳台0请解决以下问题：(1)结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为(3)运动员第二次滑下时路径形状可表示为C₂:当第一次和第二次距离OA所在直线的水平距离分别为d₁、d₂,且2≤d₁-d₂≤3时能成功完成空中动作，则该运动求a的取值范围.(2)点G为BC延长线上一点，连接AG交CF于点M.若M为AG的中点，用等式表示线段CE,MF,DE之间的数量关系，并证明.28.对于平面直角坐标系xOy内的点P和图形M,给出如下定义：如果点P绕原点O顺时旋转90°得到点P',点P'落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关答案第10页，共30页12345678BCAABDBC【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟知把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称心.根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案.D、图形不是中心对称图形，不符合题意.【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.【详解】解：将抛物线y=x²向左平移3个单位长度得到的抛物线是y=(x+3)².【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键.【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4,然后把方程左边写成完全平方形式即可.【详解】解：x²-4x-1=0,移项得：x²-4x=1,配方得：x²-4x+4=1+4,【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称.根据抛物线对称性及对称轴为直线x=1求解.【详解】解：抛物线对称轴为直线x=1,与x轴交于点A(-1,0),由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为(3,0),故选：A.【分析】本题考查了旋转中心的确定，熟练掌握旋转的性质，旋转中心是对应点连线的垂直平分线的交点是解题关键.要确定旋转中心，需连接对应点P与P'、N与N',分别作它们的垂直平分线，交点即为旋转中心.【详解】解：如图，由旋转可知P与P′为对应点，N与N′为对应点，连结PP'、NN′,作PP'、NN'的垂直平分线，两线交于点B,则点B为旋转中心.【分析】本题考查比较反比例函数的函数值，根据反比例函数的增减性，进行判断即可.【详解】解：,6>0,∴双曲线过一，三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，∵点(-1,y),(2,y₂),(3,y₃)都在反比例函数的图象上，-1<0<2<3,故选：D.【分析】】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称轴x的取值范围，从而可以解答本题.【详解】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得答案第12页，共30页,CN=a-b,,可用a,b表示出,即可判断①;用a,b表示出,可知当△MON与△MCN的面积相等时，M,N重合，与题意不符，可判断②;根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④,根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③,即可求解.,OA=BC=a,BN=b,,CN=a-b,答案第14页，共30页,故结论②正确；∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且对称轴都为直线y=x,△MON可能是等边三角形，故结论④错误；当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故结论③正确；综上，①④错误、②③正确.【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，数形结合是解题的关键.【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都【详解】解：P(-1,2)关于原点的对称点的坐标为(1,-2).故答案为：(1,-2).【分析】此题考查二次函数的性质，掌握y=a(x-h)²+k的已知抛物线为顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解.【详解】解：y=-3(x-2)²+1为顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(2,1).式为零，代入系数计算即可.【详解】解：对于一元二次方程其中a=1,一次项系数为b,常数项判别式△=b²-4ac,由于方程有两个相等的实数根，故△=0,即【详解】∵第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x.∵第三个月新建了500个充电桩，故答案为301(1+x)²=500.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长a(1+x)"=b,其中a表示变化前数量，b表示变化后数量，n表示增长次数.解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长.【详解】函数的图象经过点A(2,2),所以k=4,结合图像当y≥-2时，自变量x的取值范围是x≤-2或x>0【详解】根据旋转的性质得到AD=AB,∠ADE=∠B,根据等腰三角形的性质得到【解答】解：由旋转的性质可知，AD=AB,∠ADE故答案为：70.【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.由题意知，二次函数y=-x²+4x+m的图象开口向下，对称轴为直线根据抛物线的对称性可得当6<x<7时，它的图象位于x轴的下方，当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的上方，进而可得二次函数y=-x²+4x+m的图象与x轴的交点坐标为(6,0)和(-2,0),即可得答案.【详解】解：二次函数y=-x²+4x+m的图象开口向下，对称轴为直线∵当-3<x<-2时，它的图象位于x轴的下方；当5<x<6时，它的图象位于x轴的上方，∴当6<x<7时，它的图象位于x轴的下方，当-2<x<-1时，它的图象位于x轴的上方，答案第16页，共30页∴二次函数y=-x²+4x+m的图象与x轴的交点坐标为(6,0)和(-2,0),∴-x²+4x+m>0的解集是-2<x<6.故答案为：-2<x<6.【分析】本题考查了逻辑推理问题.根据加工要求得出价格顺序是解题关键.制条件则可合理分配两名同学的加工任务，求出最少所需时间.10+14+13+3+4+6+2+2+3=57(分钟)①甲同学单独做工序A,需要10分钟；②甲同学做工序C,同时乙同学做工序B,需要14分钟；③甲同学做完工序D后接着做工序F,乙同学同时做工序E,需要3+6=9分钟；④甲同学做工序G,同时乙同学做工序H,需要2分钟；⑤最后一道工序I由乙同学单独完成，需要3分钟；故若由两名同学合作完成一个“校服熊”的加工，则最少需要：10+14+9+2+3=38(分钟)故答案为：①57;②38;【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0,然后把方程左一元二次方程的解.利用因式分解法解方程即可.【详解】解：x²-3x=0,解得x=0,x₂=3.【分析】根据因式分解法即可求解.【详解】x²+6x+8=0答案第18页，共30页解得xɪ=-4,x₂=-2.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解方程.19.(1)详见解析；(2)详见解析.【分析】(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；(2)分别作出点A、B、C绕点O按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得.【详解】(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接，如图所示：【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键.【分析】(1)根据判别式△=[-(m-1)]²-4(m-2)=(m-3)²≥0即可得；(2)由求根公式得出x₁=-2,x₂=m-2,由方程有一个根大于6知m-2>6,解之可得.【详解】(1)证明：∵a=1,b=-(m-1),c=m-2,依题意，得△=[-(m-1)]²-4(m-2)=m²-6m+9=(m-3)²(2)解：由求根公式，得.∵方程有一个根大于6,【点睛】本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b²-4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△<0,方程没有实数根.(1)待定系数法求出函数解析式，五点作图法画出函数图象即可；(2)根据二次函数的增减性，进行判断即可.【详解】(1)解：把点A(2,0)和B(0,-2)代入函数解析式得：xL023L4004∴抛物线的开口向上，对称轴为直线.∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵点C(1,y₁)和点D(x₂,y₂)在抛物线上，且y₂<y₁,解得0<x₂<1.【分析】本题考查用一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法和观察函数图象的方法是解题的关键.(1)把A和B代入反比例函数解析式即可求得坐标，然后用待定系数法求得一次函数的解(2)不等的解集就是：对于相同的x的值，反比例函数的图象在上边的部分自变量的取值范围.【详解】解：(1)∵点A(m3),B(-3,n)在反比例函数的图象上，∴点A的坐标为(2,3),点B的坐标为(-3,-2),∵点A,B在y₁=kx+b的图象上，解得，∴一次函数的解析式是y₁=x+1;(2)观察图象得，不等式的解集为：0<x<2或x<-3.23.(1)降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；(2)每件商品应降价60元.【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用.(1)先求出每件的利润.再乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润；答案第20页，共30页(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.【详解】(1)解：由题意，得60×(360-280)=4800(元).答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；(2)解：设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价x元，由题意，得(360-x-280)(5x+60)=7200,解得：x=8,x₂=60.答：要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元.运用相关知识是解题的关键.利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，即得EF的长.【详解】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴△DEF≌△DMF(SAS).(2)解：设EF=x.即2²+(4-x)²=x².题的关键.(1)根据表中数据或者图象找出抛物线的对称轴即可得到最大值；(2)用待定系数法求解二次函数解析式即可；(3)令函数值为0,求出d值，然后作差看是否符合定义即可.(2)解：由(1)可得，抛物线的顶点坐标为答案第22页，共30页解得(3)解：令h=0,即解得d₂=12,∴该运动员能完成空中动作.26.(1)抛物线C₁对称轴是直线x=1(2①MN=2,△OM的面积是2;(开口方向的不同以及增减性的变化研究是解题的关键.(1)把A(-1,3a)的坐标代入y=ax²+bx,求得b=-2a,得到抛物线C₁的解析式为：P(t,0)点的坐标为(2,0),即可求得答案；②先求出M(t,at²-2at)和N(t,at²-2a),得到MN=|-2at+2a|,进一步证明抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，即可讨论抛物线的开口方向及画出图形：若a>0,且0≤t≤1时，MN=-2at+2a,此时,根据题意，可求得a的取值范围；若a>0,答案第24页，共30页且t>1时，MN=2at-2a,此时,但不符合题意；若a<0,则MN=2at-2a,,在点P的运动过程中始终满足题意；综合上述即可得出结论.【详解】(1)解：把A(-1,3a)的坐标代入y=ax²+bx,得a-b=3a,∴抛物线C₁得解析式为：y=ax²-2ax,(2)解：①当a=1,t=2时，抛物线C₁得解析式为：y=x²-2x,抛物线C₂得解析式为y=x²-2,P(t,0)点的坐标为(2,0),此时点P与点M重合，②把点x=t的坐标代入抛物线C₁:y=ax²-2ax,得y=at²-2at,把点x=t的坐标代入抛物线C₂:y=ax²-2a,得y=at²-2a,则MN=|(at²-2at)-(a²-2a)|=I-2at+2al,在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中，必须t>1,且2a≥1,△OMV的面积才随OP的长若a<0,则MN=|-2at+2a|=2at-2a,的面积总是随OP的长的增大而增大，综上所述，满足题意的a的取值范围是a<0或27.(1)见解析(2)2FM+DE=CE,证明见解析【分析】本题考查了