2025-2026学年山东省济南市长清区九年级（上）期中数学试卷

2025-2026学年山东省济南市长清区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。)1.(4分)2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动.如图(1)为中国空间站示意图(2)所示，则这个几何体的俯视图为()图(2)2.(4分)反比例函数的图象在()A.第一、二象限C.第一、三象限B.第二、三象限D.第二、四象限3.(4分)假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是()4.(4分)如图，直线l₁//L2//I₃,AC=6,DE=3,EF=2()AA.135°B.90°C.45°7.(4分)设m、n分别为一元二次方程x²-x-2=0的两个实数根，则2mn-m-n=()A.-5B.-1C.18.(4分)在同一直角坐标系中，函数，和y=kx-4的图象大致是()A.9.(4分)在□ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，BC于点M,N;②A.∠ABE=∠CBE]B.BC=510.(4分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(xi≠x2)均在函数的图象上，则下列结论：①若x1+x2=0,则y1+y2=0;②若x1+x2=2,若x2<xi<0,则(x2-x1)(y2-y1)<0.其中正确的个数是()二.填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案.)12.(4分)在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3个.13.(4分)如果关于x的方程x²-2x-m=0没有实数根，那么m的最大整数值是·14.(4分)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，C的横坐标都是4,BC=3,且其横坐标为1,若反比例函,D,则k的值是15.(4分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E在AB上，点H在CD上，使点A的对应点F落在DC的延长线上，EF交BC于点P,则折痕EH的长为·三、解答题(本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(7分)解下列方程：(2)x²-4x-3=0.17.(7分)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,对角线BD⊥DC.若AD=3,BC=618.(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(4,6),B(4,2),C(10,2),点A,B,C的对应点分别为点A′,C′,其中点B′的坐标是(2,1).(1)△A′B′C′与△ABC的相似比是;(2)请在图中画出△A′B'C′,并求出△A′B'C′的面积为_;(3)若边AC上有一点M(a,b),则在边A'C′上与点M对应的点的坐标是19.(8分)为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动.活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛.为了解学生答题情况(满分100分),制作出如下不完整的统计表和统组别人数5m(2)m的值是,扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为_;(3)若规定学生成绩x≥90为“优秀”,估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有人；(4)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七(1)班共有4名同学报名参赛，请求出乙和丙同时被选上的概率.20.(8分)如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀(1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式(不需写出x的取值范围);(2)出口C点距离水面的距离为1.5米，求B,C之间的水平距离；(3)若想要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点Q到BE的距离为2米21.(9分)今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，销售量y(千克)与销售单价x(元),如图是y与x的函数关系图象.(2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求x的值.y(千克)22.(10分)综合与实践视力表中蕴含的数学知识素材1对应顶点P¹,P2,O在一条直线上为止.这时我们说，视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同.(图1)任务1探究图中之间的关系，请说明理由；任务2若b1=1.6cm,b2=1cm,①号“E”的测量距离I₁=40cm,要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2.23.(10分)阅读理解：材料：对于一个关于x的二次三项式ax²+bx+c(a≠0解：令x²+2x+5=y∴y≥4,∴x²+2x+5的最小值为4.题一：如图1,在△ABC中，BC=10,矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上①用含x的代数式表示EF的长为;②求矩形EFPQ的面积最大值.图224.(12分)如图1,在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b与反比例函数交于点A和点B,点A的坐标为(-1,5),一次函数与x轴交于点C.(2)如图1,点D是第二象限内反比例函数上一动点，连接,求点D的坐标；(3)如图2,在(2)问的条件下，点E,且点E在点F的左侧，EF=1.求DE+EF+FB的最小值.25.(12分)【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结如图1,已知AD是三角形ABC的角平分线，可以得到,交AD的延长线于点E.∵AD是三角形ABC的角平分线，(1)请你帮龙龙完善证明过程：①,②;(2)请应用(1)的结论解决下列问题：①如图3,已知AE,AD分别是△ABC的中线和高线，AD=2,CD=1²-AE²的值；②如图4,在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AE⊥BC,垂足为点E.若AC=2,点F在BA的延长线上，若△CAF与△AED相似2025-2026学年山东省济南市长清区九年级(上)期中数学试卷一.选择题(共10小题)题号123456789ADCDCCABDB一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。)1.(4分)2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动.如图(1)为中国空间站示意图(2)所示，则这个几何体的俯视图为()图(2)【解答】解：几何体的俯视图为：2.(4分)反比例函数的图象在()A.第一、二象限B.第二、三象限C.第一、三象限D.第二、四象限【解答】解：∵反比例函数中，k=-5<4,∴函数图象的两个分支分别位于二四象限.3.(4分)假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是()【解答】解：把小正方形边长设为1,则黑色区域面积为4.5,大正方形面积3×3=3,4.(4分)如图，直线l₁//l₂//l₃,AC=6,DE=3,EF=2()即5.(4分)如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地则BE=BC+CE=15米，解得AB=8,即路灯的高AB为5米；6.(4分)如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF,则∠ABC+∠ACB的度A.135°B.90°C.7.(4分)设m、n分别为一元二次方程x²-x-2=0的两个实数A.-5B.-1【解答】解：由条件可知m+n=1,mn=-2,8.(4分)在同一直角坐标系中，函数，和y=kx-4的图象大致是()【解答】解：若k>0,则反比函数图象在第一，一次函数过第一、三；9.(4分)在□ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，BC于点M,N;②【解答】解：由作法得BO平分∠ABC,∴BC=4,所以B选项不符合题,所以D选项符合题意.10.(4分)已知点A(x1,y1),B(x2,y)(x1≠x2)均在函数的图象上，则下列结论：①若x1+x2=0,则y1+y2=0;②若x1+x2=2,则y1+y2=2;③若x₂>xi>1,则(x2-若x2<xi<0,则(x2-x1)(y2-y1)<0.其中正确的个数是()【解答】解：将函数的图象向右平移1个单位长度的图象，①当x7+x2=0时，二.填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分.直接填写答案.)【解答】解：12.(4分)在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.321个.∴估计袋子中黑球有30-9=21个，【解答】解：∵关于x的方程x²-2x-m=2没有实数根，故答案为：-3.14.(4分)在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，C的横坐标都是4,BC=3,且其横坐标为1,若反比例函数,D,则k的值是4.【解答】解：∵点B,C的横坐标都是4,AC平行于x轴，且其横坐标为1,∴C(4,m+3),m+5),15.(4分)如图，在矩形ABCD中，AB=6,点E在AB上，点H在CD上，使点A的对应点F落在DC 【解答】解：如图，过点H作HQ⊥AB于点Q,由题意可得：BE⁷+PB²=PE²,解得x₁=1,(不符合题意，三、解答题(本题共10小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(7分)解下列方程：(2)x²-4x-3=0.【解答】解：(1)2(x-1)⁸=18,解得：x₁=4,x7=-2;17.(7分)如图，在梯形ABCD中，AD//BC,对角线BD⊥DC.若AD=3,BC=618.(7分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A(4,6),B(4,2),C(10,2),点A,B,C的对应点分别为点A′,C′,其中点B′的坐标是(2,1).(1)△A′B'C′与△ABC的相似比是(3)若边AC上有一点M(a,b),则在边A'C′上与点M对应的点的坐标是【解答】解：(1)∵△A′B'C′与△ABC关于原点O位似，B(4,B'(2,故答案为：(2)如图，△A′B'C′即为所求.△A′B'C′的面积故答案为：6.(3)由题意得，在边A′C′上与点19.(8分)为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动.活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛.为了解学生答题情况(满分100分),制作出如下不完整的统计表和统计图.组别人数5m(1)一共抽取了50名学生的成绩；(2)m的值是_15,扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为36°;(3)若规定学生成绩x≥90为“优秀”,估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有900人；(4)“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七(1)班共有4名同学报名参赛，请求出乙和丙同时被选上的概率.A组B组B组C组【解答】解：(1)由题意得，一共抽取了5÷10%=50(名)学生的成绩.故答案为：50.(2)m=50-5-12-18=15.扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为360°×10%=36°.故答案为：15;36°.(3)(人).∴估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”约有900人.故答案为：900.解得k=12,(4)列表如下：甲乙丙丁甲(甲，乙)(甲，丙)(甲，丁)乙(乙，甲)(乙，丙)(乙，丁)丙(丙，甲)(丙，乙)(丙，丁)丁(丁，甲)(丁，乙)(丁，丙)共有12种等可能的结果，其中乙和丙同时被选上的结果有：(乙，(丙，共4种，∴乙和丙同时被选上的概率20.(8分)如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中BC段可看成是一段双曲线，矩形AOEB为向上攀爬的梯子，AB=2米.以点0为原点，水面所在直线为x轴建立如图的直角坐标系(1)求BC段滑梯所在的双曲线的解析式(不需写出x的取值范围);(2)出口C点距离水面的距离为1.5米，求B,C之间的水平距离；(3)若想要在滑梯BC上的点Q处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点Q到BE的距离为2米【解答】解：(1)∵OA=6米，AB=2米，∴点B的坐标为(5,6),设BC段滑梯所在的双曲线的解析式为(k为常数，将坐标(2)设点C的坐标为(m,8.5),5解得m=8,8-2=5(米),∴B,C之间的水平距离为6米.(3)设点Q的坐标为(a,b),将Q(a,b)代入解得b≥3,∴点Q到水面的距离至少3米.21.(9分)今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，销售量y(千克)与销售单价x(元),如图是y与x的函数关系图象.(2)若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求x的值.y(千克)【解答】解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将点(20,300)和点∴y与x的函数解析式为y=-2x+340,答：y与x的函数解析式为y=-2x+340,x的取值范围为20≤x≤40.(2)由题意得：(-2x+340)(x-20)=4050,解得x=35或x=155>40(不符合题意，舍去),答：x的值为35.22.(10分)综合与实践视力表中蕴含的数学知识素材1视力与在D2处用②号“E”(图1)任务1探究图中之间的关系，请说明理由；任务2若bi=1.6cm,b2=1cm,①号“E”的测量距离I₁=40cm,要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离l2.【解答】解：任务一：解得：l2=25,∴②号“E”的测量距离l4为25cm.23.(10分)阅读理解：材料：对于一个关于x的二次三项式ax²+bx+c(a≠0),除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法例：求x²+2x+5的最小值：解：令x²+2x+5=y∴y≥4,∴x²+2x+5的最小值为4.请利用上述方法解决下列问题：题一：如图1,在△ABC中，BC=10,矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上①用含x的代数式表示EF的长为②求矩形EFPQ的面积最大值.【解答】题一：图2.故答案为②设矩形EFPQ的面积为S,∴矩形EFPQ的面积最大值为20;根据题意得x(1-6x)=300,整理得3x²-Lx+300=5,而I>0,∴需要用的篱笆最少是60米.24.(12分)如图1,在平面直角坐标