阜师院数学教育学概论教案03数学教与学的原则与方法

第三章数学教与学的原则与方法§3.1数学教学原则教学原则是教学必须遵循的基本要求和基本原理，它主要阐明在选择教学手段和方法时，教师应当怎样依据教学规律进行教学活动。贯彻教学原则有利于提高教学效率，加速教学过程，提高教学质量，实现教育目标。数学教学原则是伴随着数学教学法从一般教学论中分离出来的。国内外数学教育界对数学教学原则非常关注，进行了广泛深入的探讨。在诸多的数学教学论著中，有的根据心理学，有的根据认识论，有的根据学校工作体系，有的着眼于知识，有的着眼于能力，有的着眼于教，有的着眼于学，提出了不尽相同的数学教学原则体系。1．什么是教学原则教学原则是指，根据教育教学目的和教学过程的客观规律制订的，教学经验的总结，指导教学工作的具有普遍适用意义的一般原理。教学原则之间的关系及特点：关系：彼此联系，形成一个体系，而不是各自孤立的，各条原则的贯彻是相辅相成的。特点：各条原则从不同的侧面反映了我们的教育目的，教学工作的客观规律性。并非一成不变，随着教育科学的不断发展，教学原则将不断改进。教学原则决定了教学方法，教学方法的建立，为的是保持以尽可能好的形式贯彻教学原则。数学教育学不仅依靠教学论而且依靠教育论，因为数学教学不仅应当完成教养的职能，而且应当完成教育的职能。教学原则，既体现了教学论要求，又体现了教育论的要求。本讲的目的是在一般教学论原则的指导下，具体讨论数学教学必须遵循的特殊要求，探讨中学数学教学的特殊的规律性。2．基本教学论原则（即教育学中教学论确立的原则）著名教育家、心理学家论述一般教学原则：夸美纽斯根据感觉论的认识论和当时兴起的自然科学，在《大教学论》中提出了大大小小的教学原则37条。第斯多惠（Diesterweg）根据学生、教师、教材和教学条件，在《德国教师教育指南》中提出了33条“教学规律”、“教学规则”等。布鲁纳和斯金纳都是根据心理学提出了各自的教学原则：斯金纳的积极反应、强化和小步子逐渐接近等原则，是从新行为主义心理学派的理论出发的；布鲁纳的结构原则，程序原则等是从认知心理学理论出发的。以凯洛夫（Kайров）为代表的教学论和以赞科夫（Зaнков）为代表的教学论则主要分别着眼于知识的学习和心理的发展而提出各自的教学原则体系。由原苏联引入我国的是柏拉基斯的数学教学原则体系，完全是凯洛夫体系的翻版，其后是奥加涅相等的体系。——在每条原则前加上定语“数学教学中”的。——包括斯托利亚尔的六原则，仍属一般教学论的原则体系。我们认为，学科教学应有自身的特点，遵循某些特殊要求，并以数学教学原则的形式规定下来。在这方面，前苏联的数学教学原则体系几乎没有任何反映，是个严重的缺陷。教育学中教学论确立的一般教学原则：①科学性与思想性相结合②理论联系实际③教师的主导（性）作用与学生主动性相结合④感知与理解⑤循序渐进性与系统性⑥掌握知识技能的巩固性原则⑦符合学生年龄特点和接受能力的原则⑧统一要求与因材施教这些原则是教学论对教学工作提出的统一要求，适用于任一门学科教学。3．数学教学原则基于两个原因：①数学内容的抽象性、严谨性和应用广泛性的特点；②中学生认识发展的基本特点及数学教学的基本目的，从而形成中学数学教学工作中所必须遵循的基本原则。十三院校编《中学数学教材教法总论》（四原则）严谨与量力性相结合抽象与个体性相结合理论与实际性相结合巩固与发展性相结合+数与形相结合，传授知识与发展能力相结合（李永新本）。[苏]斯托利亚尔《数学教育学》中之六原则：教学的科学性掌握知识的自觉性学生的积极性教学的直观性知识的巩固性个别指导《中学数学教材教法总论（上）》（李本）六原则：1．严谨性与量力性结合的原则2．抽象与具体相结合的原则3．理论与实践相结合的原则4．巩固与发展相结合的原则5．数与形相结合的原则6．传授知识与发展能力相结合的原则曹才翰、蔡金法《数学教育学概论》提出由三个层次的原则组成：第一层次称为目的性原则，包含思想性、科学性、教学与发展相结合三个个学原则，确定教学的方向；第二层次称为准备性原则，包括自觉性和积极性，可接受性，提供丰富直观背景材料、整体性，以广度求深度、理论联系实际，巩固性、教师主导作用和学生主动性；第三层次称为技术性原则，是数学教学特殊规律的反映，例如：具体与抽象相结合、严谨与量力相结合等等原则。并指出，这一层次的原则目前尚未建立完整的体系。[荷兰]费赖登塔尔（HansFreudenthal）的数学教育四原则（参见《教学笔记（一）P.97》）①大众数学（数学就是常识（experience）的系统化。数学学习中，不同的人可以达到不同的水平，但存在一个人人都能达到的水平。）②重新发现教学（数学学习作为一种活动，让学生通过教师的帮助，寻找到自己的道路。即通过重新发现来学习数学。）③数学化（抽象化、公理化、形式化、模型化，数学教学的基本思想就是使学生学习数学化。）④从现实中学习数学（数学产生于现实，存在于现实，而且应用于现实。）4．本课程提出的数学教学原则（参见田本P.158）[重点]属于技术性层面：1．具体性（模型）与抽象性（形式）相结合（形式与模型）2．归纳与演绎相结合（数学思维）3．形与数相结合（数学观念）4．数学建模与问题解决相结合（思想方法，主线说——待研究）属于准备性层面：1．严谨性与量力性相结合2．理论性与实践性相结合3．巩固性与发展性相结合以下重点讨论：所谓技术层面的数学教学原则一、具体模型与抽象形式相结合的原则（形式与模型）1、高度抽象性是数学学科有别于其他学科的一大特点。①数学抽象性把客观对象的所有其他属性抛开不管，而只保留其空间形式和数量关系进行研究；②数学之抽象性有丰富的层次，它的过程是逐级抽象，逐次提高；③高度抽象性件随着高度的概括性，抽象程度越高，其概括性也越强。2、数学的抽象性还表现为广泛且有系统地使用数学符号。数学符号（感）使字词、词义、符号三位一体，这是其他学科无法比拟的。例：“极限”——数例{an}的极限为A，用“”语言描述。其词义就是：“使n>N时，总有”。例：“垂直”——“⊥”，etc。3、数学的抽象性必须以具体的素材为基础，任何抽象数学概念、命题，包括数学思想和方法都有具体生动的现实原型。例：“对应”——以原始人的分配、狩猎或数数的具体活动为原型。例：“数式运算”←“函数”←“映射”←“以复数为自变量的函数”←“泛函”。抽象是相对的，以相对的具体作为基础。数学的抽象性不仅以具体性为基础，而且还以广泛的具体性为归宿。4、数学教学中，贯彻具体与抽象相结合的原则，应从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的数学概念，上升为理论，进行判断和推理，再由抽象到具体，应用理论去指导实践。如何处理好具体与抽象的关系呢？把握以下三点：①数学概念的阐述，注意从实例引入。通过具体的实物进行直观演示，也可利用图像直观，语言直观形成直观形象。例如：线、面、体等概念。②对于一般性的数学规律（如法则、公式等），注意从特例引入。例如“勾股定理”的讲解：可先从三角形的边分别为3、4、5或5、12、13等出发→阐明三边关系→证明一般规律：a2+b2=c2例如“同底数幂相乘”法则：先从：23×24=27，a3×a4=a7，am×an=am+n，其中m、n分别为正整数、o、负整数、有理数、无理数→实数。直观是从具体上升到抽象的辅助工具，特殊化是认识抽象结论的辅助手段，即使高一级的抽象也往往依赖于较低一级的具体。③注意运用有关的理论，解释具体的现象，解决具体的问题。直观具体仅是手段，培养抽象思维的能力才是根本目的。如果不注意培养学生的抽象思维能力，那么就不可能学好数学；相反，若不依赖于具体、直观，则抽象思维能力也难以培养。但如果只停留在感性阶段，那么必然会影响思维能力的进一步发展。只有不断做好具体与抽象相结合，才能使数学学习不断向纵深发展，使认识不断提高和深化。二、归纳与演绎相结合的原则（数学思维）1、人们认识活动的一般过程总是由特殊到一般或由一般到特殊，归纳和演绎就是这一认识活动的两种思维方法。数学概念的讲解，定理的证明，解题的思路都离不开它们。所以，归纳与演绎相结合是数学教学的又一基本原则。2、归纳是由特殊到一般或由个别到全体的思维方法①归纳是揭示数学规律的重要手段。例如：人们经过多次观察、比较，得出“不重合的两点可以确定一条直线”，“不在同一直线上的三点可以确定一个平面”；通过对各种三角形内角的度量，便得出“任何三角形的内角和等于180o”。②归纳是培养抽象概括能力的重要途径。在数学教学中，用归纳法引入数学概念、原理，有利于培养学生从个别问题中抽象概括一般结论的能力。例如：平面上一条直线，把平面分成2个区域，记作f(1)=2；两条相交直线，把平面分成4个区域，记作f(2)=f(1)+2=2+2=4；不共点的三条直线，两两相交，把平面分成7个区域，记作f(3)=2+2+3；--最后可抽象概括为：平面上，不共点的n条直线，两两相交，把平面分成f(n)=2+2+3+……+n=个区域。③归纳启发人们用特殊方法解决一般问题。事实上，研究特殊情况要比研究一般情况容易，而特殊情况的结论往往又是解决一般问题的桥梁。例如：证明是完全平方数。先考虑几种特殊情形：当n=1时，11―2=9=32当n=2时，1111―22=1089=332于是猜想：为证明这个结论，进一步考察特殊情况：考察数列：1，11，111，…与数列：2，22，222…的关系，不难得到它的通项。经过1与2，11与22，……的比较，可知：。这样问题的证明就显而易见了：由此可见，不搞特殊的枚举归纳（不完全归纳），就难以下手证明。演绎与归纳的思路正相反，它是由一般推到特殊，这在数学教学中也是常用的思维方法。3、归纳与演绎的关系。G．波利亚指出：用殴几里得的文体表述的数学，是系统的科学，但是数学在它的形成过程中，是实验的归纳科学。数学的这种观点如同数学科学本身一样，都是由来已久的。4、如何贯彻归纳和演绎相结合的教学原则。①演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备条件；归纳以演绎为指导，演绎给归纳提供理论根据。两者互相渗透，互相联系，互相补充。②在数学教学中，通常将两者结合使用。先由归纳获得猜想，作出假设，通过鉴别，获得结论，再给予演绎证明。③归纳与演绎相互渗透。必须看到，应用归纳和演绎进行推证，不都是先用不完全归纳法作出设想，然后对此进行演绎证明。有时，需对求证的问题进行分类，再对每一类情况分别地进行演绎证明。只有把各类情况都证明了命题才被证明。分类必须完全，又不能重复。有时，用演绎法进行推证，在获得结论时又必须分类归纳。这充分体现了二者之间的相互渗透。例如：圆周角定理：“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角一半”，其证明的过程是根据对圆周角的分类，然后分别地进行证明。圆周角：①圆心在其一条边上的圆周角②圆心在其内部的圆周角③圆心在其外部的圆周角（由分类→化归到第①种情况，得证）又例：通过分析、比较可将“相交弦定理”，“相交割线定理”，“相交切线定理”，“相交切、割线定理”分别加以证明，统一概括为“圆幂定理”（十三院校《总论》P98-99）。又例：通过归纳和系统化，可将三角函数的和、差、倍、半及和差化积、积化和差等公式建立起一个有机的知识链（把书由厚念薄——思维加工、组织的本领）。（十三院校《总论》P.100；曹才翰《中学数学教学概论》P255图7.9）例：对二元线性方程组解的情况。（曹本P255）可对其系数行列式及其元素，用二分法连续分类后进行讨论：方程组系数行列式D的情况解的情况D≠0有唯一解D=0Dx、Dy不全为0无解Dx=0Dy=0a1、b1、a2、b2不全为0有无穷多解a1、b1、a2、b2全为0c1=c2=0有无穷多解c1、c2不全为零无解三、形与数相结合的原则（基本数学观念）1．形数结合的原则，是数学方法的灵魂。数学家华罗庚曾指出：数形结合无限好，割裂分家万事休。法国数学家Lagrange认为：只要代数和几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它的应用就狭窄；但当两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力，就可以快速的步伐走向完善。数与形是数学中两个最基本的概念。数学的内容和方法都是围绕对这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。数学科学的发展，形与数常常是结合在一起的，内容上相互渗透，方法相互联系，在一定条件下相互转化。古今中外的数学史表明：早在数学的萌芽时期，人们计算长度、面积、体积，就把数与形联系在一起了。我国从北宋到元代前期，系统地引进了几何问题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形中的几何关系，表达成代数式之间的代数关系。例如：天元术，四元术。17世纪上半叶，法国数学家R.Descartes通过引入坐标系，建立了数与形的联系，创立了解析几何学。之后，几何学中许多长期不得解决的问题，如著名的尺规作图问题：“倍立方”，“化圆为方”，“三等分任意角”等三大难题，最终都借助于代数方法得到彻底解决。中学数学的重要内容是代数和几何。代数是研究数和数量关系的学科；几何是研究形和空间形式的学科；解析几何是把数与形结合起来研究的学科。事实上，中学数学的各学科都渗透和充满了数形结合的内容。例如实数与数轴上点的一一对应；复数与坐标平面上的点一一对应；函数可用图像表示；二元一次文程表示坐标平面上的一条直线；二元二次方程表示二次曲线。在数学教学中，把数与形结合起来研究，可以把图形的性质问题转化为数量关系的问题或将数量关系的问题转化为图形性质问题，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。例如已知a、b都是小于1的正数，求证：这道题似较复杂。但当我们把数形结合起来考虑，使较易处理。证：∵0<a<1，0<b<1，且题中的根号所表示的几何意义是直角三角形斜边的长。考虑边长为1的正方形ABCD（如图）。对角线AC=BD=，按题意，将这个正方形分成四个矩形，其对角线的长分别为：于是，问题便迎刃而解了。例当k为何值时，直线与直线的交点位于第一象限内？分析见到这道题，学生往往总是先解联立方程组，求出二直线的交点坐标，再解不等式组求出k的范围。这样可求解，但较麻烦。仔细观察和分析这道题，可以发现隐含着如下两个特点：第一，参数k即为动直线的斜率；第二，∵∴动直线过定点P（-2，1）抓住这两个特点，由图可知：，其中A、B为定直线与两坐标轴的交点。经简单计算可得：。2．数学教学中，如何贯彻该原则呢？·要求切实掌握形数结合的思想与方法；·以形数结合的观点深入钻研教材；·理解数学中的有关概念，公式和法则；·掌握形数结合进行分析问题和解决问题的思想方法；·教学过程中要注意做到“脑中有图”，“见数（式）联形”（由数构形，以形促数，或由形思数，以数论形）。例1、运用构图，领会、记忆、运用公式乘法公式： 矩形面积关系构图空间图形—实物（模型）教具例2、利用构图串联公式，密切教与学的关系（1）利用判断式考察图象，解的情况。（2）由图（直角三角形）→8个公式（同角三角函数关系式）例3、借助构图，引导学生自学（或复习）公式：[定理]“直角△斜边上的中线等于斜边的一半”与[定理]“矩形的两条对角线相等且互相平分”与下图中：同圆中，由“半径=直径之半”，即。——就此理解，可谓终生难忘。§3.2数学教学方法数学教学方法，是教师传授或师生共同讨论，学生学习数学基础知识、技能和发展能力的工作方式和手段的体系。其重要性：它在数学教学过程中起着重大指导作用（特殊重要作用），是决定教学质量的重要环节。这是因为数学工作既需要科学性又需要艺术性，是一种创造和艰苦的劳动，同一教材，同样知识水平的教师，由于教学方法上的得失（差异），其教学效果往往具有显著性差异。一、概述教学方法是指为达到教学目的，实现教学内容，运用教学手段而进行的，由教学原则指导的，一整套方式组成的，师生相互作用的活动。它不同于教学方式，教学法。二、传统教学方法1、启发式；2、讲解法；3、谈话法；4、作业指导法/讲授-问答-读书指导。三、当前教改中的主要教学方法1、读读、议议、练练、讲讲教学法——茶馆式教学法上海育才中学（段力佩校长）创造2、自学辅导教学法中科院心理所（卢仲衡研究员）提出3、引导发现法（研究性教学法——胡炯涛；辽宁省实验中学问题探索法、研究法）（上海师院附中）4、知识结构单元教学法（北京景山学校）5、尝试指导及信息回授法（上海青浦中学）顾泠元其他：发现法、讨论法、启研法、六课型单元教学法以及广州一中谢国生设计实践的“启、读、究、讲、练”教学法。四、教学方法的改革（曹本P.55）1、发现法（知识发生过程、问题情境）2、程序法（计算机辅助教学、课件）3、单元法（模块、结构）4、因材施教（个别化）5、现场教学（课例）6、掌握学习与目标教学法§3.3中学数学学习原则一、数学思维能力自我培养原则什么是数学思维能力数学思维能力，通常是指逻辑思维能力、形象思维能力和直觉思维能力，它既包括抽象概括的能力，也包括观察、实验、类比、归纳的能力以及猜测、想象、反驳的能力。数学是与思维联系密切的科学。无论是充满机智和活力的数学创造，还是一丝不苟的逻辑推理都是思维的结果。可以说，没有思维就没有数学的产生和发展，也就没有数学。对于数学学习而言，数学思维能力的培养是至关重要的，但这种能力的获得和提高主要不是来自老师的教导，而是来自学生本人的自我培养。研究表明，学生实际上是根据新的经验来建造自己的思维方式的，只有当学生本人能形成适合自己理解能力和智力状态的思维方式时，数学学习才变得富有成效。因此数学思维能力的自我培养原则，是数学学习的首要原则。五点贯彻要求①在数学学习中把提高数学思维能力放在首位，而把获取知识放在第二位；爱因斯坦说：“人们解决世上的所有问题是用大脑的思维能力和智慧，不是搬书本。”“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界上的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。”（《爱因斯坦文集》第1卷，P284，商务印书馆，1976年）②要重视数学基本思维方法的学习（包括抽象思维方法、逻辑思维方法、形象思维方法）；③培养思维的严密性（思维缜密、证明有据、表达清楚、层次分明、语言精确）；④自觉进行解题训练（“解题是人类最富有特征的一种智力活动”G.波利亚）；⑤学思结合（“学而不思则罔，思而不学则殆”《论语•为政》）。当然，数学思维能力的自我培养，并非不需要教师的指导。教师的指导可以为学生提供经验和教训，帮助学生学会思维。学生应当主动争取得到老师的帮助。二、循序渐进原则2000多年前，战国时期成书的世界最早的教育专著《学记》“大学之法”中提出；宋代大学者朱熹《读书之法》：“读书之法，在循序而渐进，熟读而精思”。（《四部备要•子部•朱子大全》第74卷，P1331，中华书局）——古老的学习原则，4个贯彻要求（开头下功夫努力打好学习基础；新旧联系温故知新；自我检查；实现教学的有序性）。三、模仿与创新相结合原则什么是模仿模仿，是指