2025年线性代数环境科学中的数据分析试题

2025年线性代数环境科学中的数据分析试题一、填空题（每小题6分，共30分）某湖泊监测站采集到5个采样点的水质数据（单位：mg/L），其中氨氮浓度向量为α=[1.2,0.8,1.5,0.9,1.1]，总磷浓度向量为β=[0.05,0.03,0.07,0.04,0.06]，则二者的内积α·β=__________，该值在环境科学中可用于评估两种污染物的__________程度。设矩阵A为3×3阶水质迁移矩阵，其元素(a_{ij})表示污染物从区域i向区域j的迁移系数，且每行元素之和为1，则矩阵A的一个特征值必为__________，对应的特征向量反映了污染物的__________状态。某污水处理厂使用3种工艺（A/B/C）处理废水，其去除COD（化学需氧量）的效率矩阵为[\mathbf{E}=\begin{bmatrix}0.85&0.12&0.03\0.08&0.75&0.17\0.05&0.20&0.75\end{bmatrix}]若初始COD浓度向量为x₀=[200,150,100]ᵀ（单位：mg/L），则经过1次处理后的浓度向量x₁=Ex₀=__________。已知某区域土壤重金属含量数据矩阵X（100个样本×5种重金属），通过主成分分析（PCA）得到协方差矩阵Σ的特征值为λ₁=12.8,λ₂=5.3,λ₃=1.2,λ₄=0.5,λ₅=0.2，则前2个主成分的累计贡献率为__________，可解释原始数据约__________%的信息。设某生态系统的物种相互作用矩阵为M，若满足M²-2M-I=0（I为单位矩阵），则矩阵M的逆矩阵M⁻¹=__________，该式在种群动态模型中可用于预测__________条件下的物种数量恢复能力。二、选择题（每小题5分，共25分）某城市空气质量监测网络有8个站点，其PM2.5浓度数据构成向量组α₁,α₂,...,α₈，若存在不全为零的常数(k_1,k_2,...,k_8)使得(\sum_{i=1}^8k_iα_i=0)，则该现象在环境科学中可解释为（）A.监测数据存在冗余站点B.污染物浓度呈线性增长C.站点间无空间相关性D.数据存在测量误差用二次型(f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+3x₂²+5x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃)描述某湖泊富营养化风险指数，其中x₁/x₂/x₃分别代表总氮、总磷、叶绿素a浓度。为使该二次型正定（风险指数无负值），需满足的条件是（）A.各变量系数均为正数B.矩阵顺序主子式均大于零C.特征值至少有一个为正D.变量间协方差为零已知线性方程组Ax=b中，A为5×4阶矩阵（5个监测指标，4个污染源），b为污染物浓度向量。若rank(A)=rank([A|b])=3，则方程组解的情况为（）A.无解B.唯一解C.无穷多解，含1个自由变量D.无穷多解，含2个自由变量在环境风险评估中，某化工厂的3种有毒物质泄漏概率向量为p=[0.2,0.5,0.3]，其对应的事故后果矩阵为[\mathbf{C}=\begin{bmatrix}100&50&20\80&120&40\30&60&90\end{bmatrix}]则综合风险向量R=pC的元素(R₂)（第2列后果）的值为（）A.50B.85C.92D.120下列哪种线性代数方法不适用于处理环境科学中的缺失数据问题？（）A.矩阵奇异值分解（SVD）B.最小二乘回归C.特征值分解D.初等行变换三、解答题（共45分）11.线性方程组与水质模型（15分）某流域有3个相互连通的水库（A/B/C），其污染物浓度（单位：mg/L）满足以下关系：[\begin{cases}x_A-0.2x_B-0.1x_C=5\-0.3x_A+x_B-0.2x_C=3\-0.1x_A-0.4x_B+x_C=4\end{cases}]其中(x_A,x_B,x_C)分别为A/B/C水库的污染物浓度。（1）用克拉默法则求解该方程组，得到各水库的污染物浓度；（2）若水库C的初始浓度变为5mg/L（即第三个方程等号右侧改为5），通过矩阵初等变换求新的浓度值。解析：（1）系数矩阵行列式[D=\begin{vmatrix}1&-0.2&-0.1\-0.3&1&-0.2\-0.1&-0.4&1\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot1-(-0.2)(-0.4))-(-0.2)\cdot((-0.3)\cdot1-(-0.2)(-0.1))+(-0.1)\cdot((-0.3)(-0.4)-1\cdot(-0.1))=0.824]解得(x_A=D_A/D=8.24/0.824=10)mg/L，同理(x_B=7)mg/L，(x_C=8)mg/L。（2）增广矩阵经行变换后可得新解(x_A=10.5),(x_B=7.8),(x_C=9.2)，表明水库C浓度升高会导致其他水库浓度显著上升。12.特征值与生态系统稳定性（15分）某草原生态系统的捕食关系可用矩阵表示为[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&-1&0\-1&3&-1\0&-1&2\end{bmatrix}]其中对角线元素为物种内禀增长率，非对角线元素为物种间竞争系数。（1）求矩阵A的特征值与特征向量；（2）判断该生态系统是否稳定（稳定条件：所有特征值均为正数）。解析：（1）特征方程(|\mathbf{A}-λ\mathbf{I}|=0)解得λ₁=1,λ₂=2,λ₃=4，对应的特征向量分别为v₁=[1,1,1]ᵀ,v₂=[1,0,-1]ᵀ,v₃=[1,-2,1]ᵀ。（2）所有特征值均为正数，系统稳定。其中λ₁=1对应的特征向量反映了物种数量的均衡分布比例。13.二次型与环境质量评价（15分）某地区土壤质量评价模型为二次型(f(x,y,z)=2x²+3y²+5z²+4xy-4xz)，其中x=pH值（标准化后），y=有机质含量，z=重金属污染指数。（1）写出二次型对应的矩阵A，并判断其正定性；（2）若某样本的指标向量为[1,0.5,0.2]ᵀ，计算其质量评分f(x,y,z)，并说明该值的环境意义。解析：（1）矩阵[\mathbf{A}=\begin{bmatrix}2&2&-2\2&3&0\-2&0&5\end{bmatrix}]顺序主子式Δ₁=2>0，Δ₂=2×3-2²=2>0，Δ₃=|A|=2×(3×5-0)-2×(2×5-0)+(-2)×(0+6)=16>0，故A正定，二次型值恒正，可作为质量评分。（2）代入得f=2×1+3×0.25+5×0.04+4×1×0.5-4×1×0.2=3.65，评分越高表明土壤质量越优。四、综合应用题（20分）14.主成分分析与大气污染物溯源（20分）某城市采集了100天的大气污染物数据（6种污染物：PM2.5/PM10/SO₂/NO₂/CO/O₃），经标准化处理后得到数据矩阵X（100×6），其协方差矩阵Σ的特征值与特征向量如下表：特征值λ贡献率累计贡献率特征向量（标准化后）3.2454.0%54.0%[0.42,0.45,0.38,0.35,0.30,0.32]1.8631.0%85.0%[-0.25,-0.22,0.18,0.20,0.50,-0.65]0.488.0%93.0%...（1）解释前2个主成分（PC1/PC2）的环境意义；（2）若某天的污染物浓度向量为x=[1.2,1.5,0.8,1.0,0.6,0.4]ᵀ，计算其主成分得分PC1和PC2，并判断该天的主要污染来源（PC1高值对应工业排放，PC2高值对应机动车尾气）。解析：（1）PC1的特征向量各元素均为正值，表明其为“综合污染因子”，反映整体污染水平；PC2中CO（0.50）和O₃（-0.65）载荷差异显著，可解释为“二次转化因子”（CO为前体物，O₃为二次污染物）。（2）PC1=0.42×1.2+0.45×1.5+...+0.32×0.4=2.31（高值，工业排放主导）；PC2=-0.25×1.2+...+(-0.65)×0.4=-0.52（低值，机动车影响较弱），故主要污染来源为工业排放。五、计算分析题（20分）15.矩阵迭代与生态修复模拟（20分）某湿地生态系统的植被恢复模型为xₖ₊₁=Mxₖ，其中xₖ=[芦苇,香蒲,菖蒲]ᵀ为植物生物量向量（单位：kg/m²），转移矩阵[\mathbf{M}=\begin{bmatrix}0.7&0.2&0.1\0.1&0.8&0.1\0.05&0.15&0.8\end{bmatrix}]（1）若初始生物量x₀=[0.5,0.3,0.2]ᵀ，计算第2年（k=2）的生物量x₂；（2）预测长期（k→∞）后该生态系统的生物量稳定分布。解析：（1）x₁=Mx₀=[0.5×0.7+0.3×0.2+0.2×0.1,...]ᵀ=[0.43,0.31,0.26]ᵀ，x₂=Mx₁=[0.394,0.313,0.293]ᵀ。（2）长期稳定分布对应矩阵M的特征值λ=1的特征向量，解得x=[0.4,0.4,0.2]ᵀ*，表明芦苇与香蒲将成为优势物种。六、拓展题（10分）16.张量分解与三维环境数据（10分）某海洋监测项目采集了三维数据张量T（时间×空间×深度），若使用CP分解（CANDECOMP/PARAFAC）将其表示为T≈\sum_{r=1}^Ra_r∘b_r∘c_r（∘为外积），则：（1）解释因