《微积分》-《微积分》思考题目参考答案

参考答案1-1

自然界中所有动物构成一个集合,时间是一个无限集合。参考答案1-2集合A：某班级的所有学生。集合B：该班级中的所有女生。集合B是集合A的真子集。既下雨又天晴的日子构成的就是空集。参考答案1-3参考答案1-4

略参考答案1-5

参考答案1-6

是，任意一个大于或等于3的正数。参考答案1-7不是参考答案1-8只有在定义域D上的严格单调函数才有反函数，其反函数也是

上的严格单调函数。

事实上，不妨设在D上是严格单调递减的，下面证明在上也是严格单调递减的。任取

且，依定义，对于，在D内存在唯一的，使得，于是；对于，在D内存在唯一的

，使得，于是。如果，则由的严格单调递减，必有；如果，则显然有。这两种情形都与假设不符，则必有，即。综上，证明了反函数在上也是严格单调递减的。

参考答案1-9不能，例如由函数，复合成，这是因为对任意，，不在函数的定义域内。参考答案1-10我们通常用绝对值来表示点a与点b之间的距离（即接近程度）。如果对于任意小的正数（无论它多么小），都有，就表明函数与常数A的“无限接近”，而绝对值无限增大的过程，就是说对任意给定的，总存在正数，满足

的一切实数，都有

。参考答案1-11，故不存在。参考答案1-12任意给定正数，作直线和。

对于给定的，存在着点的一个空心邻域，当x在的空心邻域内时，函数的图形完全落在直线和之间的带形区域内（如下图所示）。参考答案1-13因为，

，显然,

,所以不存在。参考答案1-14有界性是数列收敛的必要条件而非充分条件。例如，数列是有界的，但是并不收敛。参考答案1-15当,m

和n

为非负整数时，参考答案1-16无限个无穷小量的代数和不一定仍是无穷小量，比如而。参考答案1-17不一定等价，比如：

，显然,当时，，但是，，。此时，与不等价。参考答案1-18。

参考答案1-19。参考答案1-20连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。参考答案1-21因为在点处左、右极限虽然存在，但，所以为符号函数的跳跃间断点。~~e参考答案1-22如果函数在开区间内连续，函数在该区间上不一定有界，也不一定有最大值或最小值。例如，函数在开区间内是连续的，但它在开区间内无界且既无最大值又无最小值。参考答案2-1第一步，计算函数增量或；第二步，求比值；第三步，求极限。参考答案2-2函数在某点处连续，却不一定在该点处可导。如函数在点

处连续，但它在处不可导。参考答案2-3可以。参考答案2-4参考答案2-5参考答案2-6参考答案2-7证明：因为，所以

(x>0)

参考答案2-8不成立，因为是n阶导函数在处的值，而是一个常数，求导等于0，所以。参考答案2-9对数求导法除了用于幂指函数的导数计算外，还可以用于以乘、除、乘方、开方运算为主要结构的函数的导数计算。参考答案2-10,代入式（2-10）得：(t≠0,π,2π)参考答案2-11由定理2-7可知，，又因为，所以

。参考答案2-12查表得

，两者的近似程度非常高。参考答案3-1拉格朗日中值定理中的中值点可能不唯一。定理3-2说的是至少存在一点满足定理条件。参考答案3-2

拉格朗日中值定理其实是泰勒公式的一个特例。当泰勒多项式取一阶的时候，余项就是拉格朗日余项，这时候泰勒公式就退化成了拉格朗日中值定理的形式。也就是说，泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广，而拉格朗日中值定理是泰勒公式的一阶情况。参考答案3-3当导数的极限不存在，或者虽然导数存在但原极限存在，这时候用洛必达法则会失效，还有可能出现反复应用洛必达法则却无法化简的情况，比如就是这种震荡的函数。参考答案3-4不是，比如这个函数在R上单调递增，但是存在这一点使。参考答案3-5驻点或者一阶导数不存在的点都有可能成为极值点。参考答案4-1检验积分计算正确与否只需要对计算结果求导即可，如果求导结果等于被积函数，说明计算正确。参考答案4-2因为所做变量代换是在正弦函数的主辐角区间内，在开方的时候，，而这时t位于第一、四象限，始终是正数，所以直接等于。参考答案4-3一般在多次分部积分过程中，前后两次凑微分的函数应该是一样的，否则就会还原成最初的函数。参考答案5-1不需要等分。只要使得每个小区间的长度都越来越小，趋近于零就可以。参考答案5-2不是充要条件。当有意义时，还可得出在上有界且仅有有限个间断点，此时函数不一定连续，但是可积。参考答案5-3存在，在处连续且。参考答案5-4不是。仅仅是充分条件。参考答案5-5可以。只要把积分下限换成即可。参考答案5-6圆心在坐标原点，半径为的圆围成的平面图形在第一象限的部分面积。参考答案5-7是。参考答案5-8既不是无穷积分也不是瑕积分，而是两者的的复合。需要分区间讨论敛散性。，当且仅当右边两个广义积分都收敛时，原广义积分收敛。由于发散，因此原广义积分发散。参考答案5-9参考答案5-10参考答案5-11

参考答案6-19由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数在闭区域D上的二重积分平面薄片的质量是它的面密度在薄片所占闭区域上的二重积分。参考答案6-20X型区域D的特点是：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点；Y型区域D的特点是：穿过D内部且平行于x轴的直线与D

的边界相交不多于两点。参考答案6-21将区域进行分割，使得每个小区域是X型或者Y型区域，然后按照各自特点进行计算。参考答案6-22物体的质量可表示为

。参考答案7-1参考答案7-2参考答案7-3利用例7-4的方法，由于，而级数是收敛的，则根据比较审敛法的极限形式，级数是收敛的。同理，也因级数收敛而