湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年高三下学期高考第三次模拟考试数学试卷及答案

湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年高三下学期高考第三次模拟考试数学试卷及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\lnx-2x+3$，则函数的零点个数为（）A.0B.1C.2D.32.设$a>0$，$b>0$，则$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2$的充要条件是（）A.$a=b$B.$a\neqb$C.$a^2+b^2\geq2ab$D.$a^2+b^2\leq2ab$3.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=40$，则$a_6+a_7+a_8=$（）A.15B.20C.25D.304.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f'(x)=（）A.$3x^2-6x$B.$3x^2-6x+4$C.$3x^2-6x-4$D.$3x^2-6x+3$5.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A.线段$[-1,1]$B.线段$[0,1]$C.圆心在原点，半径为1的圆D.圆心在原点，半径为2的圆6.已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，则$A_1B_1$的中点到$AB$的距离为（）A.$\sqrt{2}$B.$\sqrt{3}$C.$\sqrt{6}$D.$\sqrt{12}$7.已知$P(2,1)$是直线$y=kx+1$上的一点，则直线$y=kx+1$的斜率$k$为（）A.1B.2C.$\frac{1}{2}$D.$-\frac{1}{2}$8.已知等比数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=6$，$S_5=24$，则$a_4+a_5=$（）A.6B.12C.18D.249.已知函数$f(x)=e^{2x}-2e^x+1$，则$f'(x)=（）A.$2e^{2x}-2e^x$B.$2e^{2x}-4e^x+2$C.$2e^{2x}-4e^x$D.$2e^{2x}-2e^x-1$10.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是（）A.线段$[-1,1]$B.线段$[0,1]$C.圆心在原点，半径为1的圆D.圆心在原点，半径为2的圆二、填空题要求：将正确答案填入空格中。11.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(x)=__________$。12.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=40$，则$a_6+a_7+a_8=__________$。13.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，则$z$在复平面上的轨迹是__________。14.已知正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$的棱长为2，则$A_1B_1$的中点到$AB$的距离为__________。15.已知函数$f(x)=e^{2x}-2e^x+1$，则$f'(x)=__________$。三、解答题要求：解答下列各题，写出解答过程。16.已知函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$，求$f(x)$的单调区间。17.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_5=15$，$S_8=40$，求等差数列$\{a_n\}$的通项公式。18.已知复数$z$满足$|z-1|=|z+1|$，求$z$在复平面上的轨迹方程。四、计算题要求：正确计算下列各题的值。19.计算定积分$\int_0^{\pi}x\sinx\,dx$。20.求函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在区间$[0,2]$上的最大值和最小值。五、证明题要求：证明下列各题中的结论。21.证明：若$a,b,c$为等差数列的三项，则$ac-b^2=(a-c)^2$。22.证明：对于任意的实数$x$，都有$\sin^2x+\cos^2x=1$。六、应用题要求：根据题意解答下列各题。23.某公司计划用$10$万元购买机器设备。现有两种方案：方案一为购买甲种机器设备$10$台和乙种机器设备$2$台，方案二为购买甲种机器设备$6$台和乙种机器设备$10$台。若甲种机器设备每台$1$万元，乙种机器设备每台$0.5$万元，问应选择哪种方案购买？24.一块长方形地长$30$米，宽$20$米，现在要修建一条长为$40$米，宽为$1$米的道路。请问道路面积是多少？本次试卷答案如下：一、选择题1.答案：B解析：函数$f(x)=\lnx-2x+3$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x}-2$，令$f'(x)=0$，解得$x=\frac{1}{2}$。当$x<\frac{1}{2}$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$x>\frac{1}{2}$时，$f'(x)<0$，函数单调递减。因此，函数在$x=\frac{1}{2}$处取得极大值，且为函数的零点。2.答案：A解析：由均值不等式，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2$，等号成立当且仅当$a=b$。3.答案：C解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得$a_6+a_7+a_8=S_8-S_5=40-15=25$。4.答案：A解析：函数$f(x)=x^3-3x^2+4$的导数为$f'(x)=3x^2-6x$。5.答案：A解析：由复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示$z$到点$1$和点$-1$的距离相等，即$z$在实轴上，轨迹为线段$[-1,1]$。6.答案：C解析：正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$A_1B_1$的中点到$AB$的距离等于正方体棱长的一半，即$\sqrt{2}$。7.答案：B解析：将点$P(2,1)$代入直线$y=kx+1$，得$1=2k+1$，解得$k=0$。8.答案：D解析：由等比数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，得$a_4+a_5=S_5-S_3=24-6=18$。9.答案：C解析：函数$f(x)=e^{2x}-2e^x+1$的导数为$f'(x)=2e^{2x}-2e^x$。10.答案：A解析：由复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示$z$到点$1$和点$-1$的距离相等，即$z$在实轴上，轨迹为线段$[-1,1]$。二、填空题11.答案：$-\frac{2x}{x^2+1}$解析：函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=-\frac{2x}{x^2+1}$。12.答案：25解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得$a_6+a_7+a_8=S_8-S_5=40-15=25$。13.答案：圆心在原点，半径为1的圆解析：由复数的几何意义，$|z-1|=|z+1|$表示$z$到点$1$和点$-1$的距离相等，即$z$在以原点为圆心，半径为1的圆上。14.答案：$\sqrt{2}$解析：正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$A_1B_1$的中点到$AB$的距离等于正方体棱长的一半，即$\sqrt{2}$。15.答案：$2e^{2x}-2e^x$解析：函数$f(x)=e^{2x}-2e^x+1$的导数为$f'(x)=2e^{2x}-2e^x$。三、解答题16.答案：解析：函数$f(x)=\lnx-\frac{1}{x}$的导数为$f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$。当$x<1$时，$f'(x)<0$，函数单调递减；当$x>1$时，$f'(x)>0$，函数单调递增。因此，函数在$x=1$处取得极小值，且为函数的最小值。17.答案：解析：由等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得$a_6+a_7+a_8=S_8-S_5=40-15=25$。又由等差数列的性质，$a_6+a_8=2a_7$，得$a_7=8.33$。因此，等差数列$\{a_n\}$