微积分-课件8无穷级数

（第二版）微积分普通高等院校数学类规划教材主编阎慧臻刘超刘燕8.1常数项级数的概念与性质8.2正项级数及其审敛法8.3任意项级数8.4幂级数第8章8.5函数的幂级数展开及其应用无穷级数无穷级数是微积分的重要组成部分,它主要研究的是无穷多个数量或函数相加的问题,即一种数列的极限问题.无穷级数在解决经济、管理等方面的实际问题中有着广泛的应用,是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具.本章先讨论常数项级数,然后讨论幂级数及其应用.第8章8.1.1常数项级数的概念

这是一个无穷多个数量相加的问题.通常情况下,我们无法计算它的和,但是可先计算n天所取棰的总长,即然后把取棰的天数无限增多,即n→∞,则棰的原长即即又如,无理数π也可表示成无穷个数的和的形式,即定义1设给定一个数列

u1,u2,u3,…,un,…则由这个数列构成的表达式

u1+u2+…+un+…(1)无穷级数是无穷多项的累加,并不是所有无穷级数累加后都有一个固定的值.联系上面取棰的例子,我们用有限项相加求和,再对和式取极限的方法来讨论无穷多项累加是否有结果.作(常数项)级数(1)的前n项和

Sn

称为级数(1)的部分和.当n依次取1,2,3,…时,它们构成一个新的数列:

【例1】无穷级数称为几何级数(又称为等比级数),q

叫作级数的公比.试讨论该级数的敛散性.解如果q≠1,则部分和

【例2】证明算术级数

α+(α

+d)+(α

+2d)+…+α

+(n-1)d+…是发散的(其中a与d

不同时为零).证明级数的部分和

【例3】判别下列级数的敛散性:所以原级数收敛,其和为1.

【例4】证明调和级数是发散的.证明假设调和级数收敛,其和为S,则有而8.1.2常数项级数的基本性质性质1时有证明性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的敛散性.此性质是显然的,这是因为一个级数是否收敛要取决于n充分大以后的变化情况,而与前面有限项无关.但一般情况下它的和是会改变的.性质4收敛级数加括弧后所成的新级数仍收敛于原级数的和.性质5(级数收敛的必要条件).然有8.2.1正项级数8.2.2正项级数的比较审敛法

【例4】判别下列级数的敛散性:8.2.3正项级数的比值审敛法与根值审敛法(1)当ρ<1时,级数收敛;(2)当ρ>1(或为+∞)时,级数发散;(3)当ρ=1时,级数可能收敛,也可能发散.以上各种判别法,只适用于正项级数,各种判别法有一定的适用范围,但也有其局限性.上节讨论了正项级数的审敛法,本节讨论更一般的常数项级数———任意项级数的审敛法.8.3.1交错级数及其审敛法

定义1

各项正负交错的数项级数称为交错级数,它的一般形式为或其中un>0(n=1,2,…).以下我们以式(1)的形式来讨论.8.3.2绝对收敛与条件收敛下面讨论一般的数项级数

1.定义形如8.4.1幂级数的概念及其收敛域

2.收敛点与收敛域

3.和函数4.幂级数的收敛半径8.4.2幂级数的运算1.幂级数的代数运算性质2.幂级数和函数的运算性质上一节,我们讨论了幂级数的收敛域及其和函数的基本性质,并利用性质求得一些幂级数在其收敛域内的和函数,如上节例6中,有由于幂级数不仅形式简单,而且与多项式有相类似的性质,在实际应用中人们就会想到能否将给定的函数在某个区间用幂级数表示?如果能表示,又如何表示?表示形式是否唯一?这一节里,我们就一一回答上述问题.我们首先不证明地给出一个定理:的条件以及函数如何展开成幂级数.在式(1)中,设8.5.1泰勒级数8.5.2函数展开成幂级数的方法8.5.3函数的幂级数展开式的应用一个函数如果能展开成幂级数形式,无论在理论上还是在应用中都很有意义,下面举例说明幂级